孫朝仁

摘要：從培養(yǎng)思維的角度看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)包括嵌入式、融入式和附加式三種普遍范式。利用這三種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)范式可以有效培養(yǎng)學(xué)生的“可逆思維”，包括在因材施教中培養(yǎng)可逆思維，在學(xué)會(huì)思考中培養(yǎng)可逆思維，在問(wèn)題解決中培養(yǎng)可逆思維。通過(guò)對(duì)“可逆思維”的培養(yǎng)研究有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維暢通。

關(guān)鍵詞：可逆思維;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)思考

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2019）06A-0064-04

初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是初中階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程的一種補(bǔ)充，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)、感悟數(shù)學(xué)思想和積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，其內(nèi)容的選取要有利于引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，特別要有利于促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。從認(rèn)知心理學(xué)看，思維包括分析、綜合、比較、抽象、概括判斷和推理等基本過(guò)程。這里既有正向思維，也有逆向思維，反映出“思維的可逆性”特征，思維的可逆性也是思維靈活性的一種表現(xiàn)。

在皮亞杰看來(lái)，思維可逆性是“指具體運(yùn)算和形式運(yùn)算階段兒童思維的一種基本特征”[1]。他把思維階段劃分為“前運(yùn)算思維、具體運(yùn)算思維和形式運(yùn)算思維”三個(gè)階段。后兩個(gè)思維階段就是具體形象思維和抽象邏輯思維階段，而達(dá)到形式運(yùn)算思維階段的年齡約為15歲，他得出結(jié)論：思維的可逆性“只有到具體運(yùn)算思維階段才形成并發(fā)展起來(lái)”。由此可見(jiàn)，初中階段是培養(yǎng)學(xué)生思維可逆性的最佳時(shí)期。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)就是“操作—思考”，正是幫助學(xué)生在直觀操作后可以“在心理上設(shè)想一個(gè)動(dòng)作的倒轉(zhuǎn)順序，而無(wú)須具體執(zhí)行這些動(dòng)作”的一種有效方式。實(shí)踐研究表明，通過(guò)嵌入式、融入式和附加式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有針對(duì)性地因材施教、數(shù)學(xué)思考和問(wèn)題解決是培養(yǎng)思維可逆性的有效路徑，有助于實(shí)現(xiàn)認(rèn)知需要、獨(dú)立思考和反思意識(shí)的課程教育目標(biāo)。筆者認(rèn)為，學(xué)生的思維具有可逆性就初步形成了可逆思維。本文以“特殊四邊形”的概念教學(xué)為例，談可逆思維的培養(yǎng)。

一、利用“嵌入式”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)可逆思維，因材施教，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知目標(biāo)

因材施教是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則，為中國(guó)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。因材施教意味著讓學(xué)生基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和“思維事實(shí)”，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的獲得和技能的形成。比如，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室、數(shù)學(xué)活動(dòng)、課題學(xué)習(xí)以及研究性學(xué)習(xí)就是中觀的因材施教。當(dāng)然，讓學(xué)生在各自的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和思維事實(shí)層面，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論，這就是一種正向思維的培養(yǎng)，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之后判斷結(jié)論的正確性，本身就需要一種逆向思維的參與?；谶@一認(rèn)識(shí)，具有個(gè)性化特征的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程對(duì)于思維的培養(yǎng)是“雙向的”，也是“可逆的”。換言之，因材施教的過(guò)程也是一種思維可逆性的培養(yǎng)過(guò)程。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式數(shù)學(xué)和因材施教。這里的“因材施教”包括兩個(gè)層面的含義：一方面，是學(xué)生在因材施教中獲得“應(yīng)知應(yīng)會(huì)”的可能發(fā)展，讓學(xué)生通過(guò)“動(dòng)手——做數(shù)學(xué)”獲得不同層面的數(shù)學(xué)感悟或數(shù)學(xué)認(rèn)知，就是一種可能的發(fā)展;另一方面，是讓學(xué)生在因材施教中獲得“最近發(fā)展區(qū)”中的進(jìn)一步的發(fā)展可能。

“嵌入式”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的同時(shí)開(kāi)展思維教學(xué)，以學(xué)科知識(shí)和學(xué)科知識(shí)體系為思維技能訓(xùn)練載體，旨在以知識(shí)技能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知需要和深度理解。片段式實(shí)驗(yàn)是“嵌入式”實(shí)驗(yàn)的常見(jiàn)范式?！读x務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（蘇科版）八年級(jí)下冊(cè)“實(shí)驗(yàn)5：平分圖形的面積”，就是片斷式實(shí)驗(yàn)的樣例，有助于學(xué)生領(lǐng)悟“中心對(duì)稱圖形”的本質(zhì)。嵌入式實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是在產(chǎn)生概念過(guò)程中嵌入實(shí)驗(yàn)，有助于實(shí)施因材施教。比如，讓學(xué)生觀察圖片抽象出平行四邊形的形象，這就是遵循學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律的因材施教。二是在使用概念過(guò)程中嵌入實(shí)驗(yàn)，落實(shí)認(rèn)知需要目標(biāo)。比如，讓學(xué)生使用一張矩形紙片折出菱形的實(shí)驗(yàn)，就是通過(guò)使用概念來(lái)促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知需要。三是在解釋概念過(guò)程中嵌入實(shí)驗(yàn)，落實(shí)可逆思維的培養(yǎng)。比如，通過(guò)“折紙活動(dòng)”，探索“中點(diǎn)四邊形的形狀”的實(shí)驗(yàn)，就是通過(guò)概念解釋促進(jìn)可逆思維發(fā)展的表現(xiàn)形式。

比如，在研究“特殊四邊形”概念起始課時(shí)，就是基于因材施教的原則，通過(guò)嵌入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的可逆思維。具體來(lái)說(shuō)，首先是讓學(xué)生任意畫(huà)一個(gè)不規(guī)則三角形，選擇一個(gè)頂點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)180°后的圖形，由此判斷得到的四邊形的形狀，并要求學(xué)生說(shuō)出理由;其次是讓學(xué)生任意畫(huà)一個(gè)等腰三角形和直角三角形，以等腰三角形的底邊所對(duì)的頂點(diǎn)或直角三角形的直角頂點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，判斷得到的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由;再次是讓學(xué)生任意畫(huà)一個(gè)等腰直角三角形，以直角頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)180°，判斷旋轉(zhuǎn)后得到的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由;最后是讓學(xué)生在經(jīng)歷上述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)畫(huà)圖、觀察、猜想、驗(yàn)證等思維活動(dòng)，讓學(xué)生概括表征特殊四邊形的原始概念，進(jìn)一步理解“事實(shí)概念”。從認(rèn)知心理學(xué)說(shuō)，“畫(huà)圖實(shí)驗(yàn)”與“說(shuō)明理由”所隱含的思維就是可逆思維，從一般到特殊的不同層次實(shí)驗(yàn)有助于實(shí)施因材施教。從思維學(xué)習(xí)論看，“任意畫(huà)→旋轉(zhuǎn)變換→形狀判斷→說(shuō)明理由”是嵌入實(shí)驗(yàn)的有效路徑。從思想方法論看，“不規(guī)則三角形→等腰三角形+直角三角形→等腰直角三角形”的特殊到一般的思維，形成事實(shí)概念，也是一種綜合正向思維和逆向思維于一體的培養(yǎng)過(guò)程，有助于學(xué)生將認(rèn)知需要轉(zhuǎn)化為實(shí)踐行為，這就是嵌入式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)施的本體價(jià)值。

二、“融入式”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)可逆思維，激活思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考目標(biāo)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“數(shù)學(xué)思考”維度明確指出，“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法;學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和基本思維方式。”其中，“實(shí)驗(yàn)→猜想→證明”是獨(dú)立思考的常見(jiàn)活動(dòng)載體，有助于培養(yǎng)可逆思維。具體來(lái)說(shuō)，猜想的過(guò)程就是一種逆向思維訓(xùn)練的過(guò)程，證明的過(guò)程是一種正向思維運(yùn)行的過(guò)程，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是由“猜想”到“證明”的路徑，所以說(shuō)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既是獨(dú)立思考的思維載體，又是學(xué)會(huì)思考的有效路徑。從學(xué)習(xí)論視角來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本身就是一種“學(xué)為中心”的教學(xué)實(shí)踐模式，有助于學(xué)生在獨(dú)立思考中形成可逆思維。因此，在“生本主體”行為理念下，在數(shù)學(xué)思考的參與下，“學(xué)為中心”的核心是以學(xué)生的自主參與學(xué)習(xí)為中心，鼓勵(lì)學(xué)生自己學(xué)是起點(diǎn)，教會(huì)學(xué)生如何學(xué)是關(guān)鍵，最終實(shí)現(xiàn)今后不教也能學(xué)的目標(biāo)[2]。就這一認(rèn)識(shí)來(lái)說(shuō)，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)領(lǐng)悟概念的發(fā)生過(guò)程，有助于學(xué)生在獨(dú)立思考中獲得一些啟示。比如，在研究“特殊四邊形”概念的過(guò)程中，基于“畫(huà)圖→概括”，讓學(xué)生在畫(huà)圖中獨(dú)立思考，在學(xué)會(huì)思考中有序畫(huà)圖，在概括中領(lǐng)悟與發(fā)現(xiàn)，這種知覺(jué)認(rèn)知行為就是一種典型的“融入式”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有助于學(xué)生形成可逆思維。

融入式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)在三個(gè)維度：一是在數(shù)學(xué)抽象中融入實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在“做”中建立概念表象，落實(shí)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)目標(biāo);二是在數(shù)學(xué)思考的過(guò)程中融入實(shí)驗(yàn)，緩解學(xué)生思考的壓力，讓學(xué)生不斷地深度思考，培養(yǎng)“知其所以然”的逆向思考力;三是在概念使用模塊中融入實(shí)驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為深度理解概念的加速器。以色列的哈帕斯認(rèn)為，思維學(xué)起步于“授之以竿”的思維技能教學(xué)，發(fā)展于“授之以餌”的思維傾向教學(xué)，回歸于“授之以漁”的知識(shí)理解教學(xué)[3]。這里，我們把“授之以竿”理解成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本身，把“授之以餌”理解成獨(dú)立思考，而“授之以漁”則可以理解成可逆思維的培養(yǎng)及其背后的學(xué)會(huì)思考目標(biāo)。因此，“授之以竿→授之以餌→授之以漁”是融入式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本步驟，有助于學(xué)生在“做實(shí)驗(yàn)”中進(jìn)行獨(dú)立思考和學(xué)會(huì)思考。同時(shí)，思考力的發(fā)展又具有反哺融入實(shí)驗(yàn)的能力。很顯然，在上述過(guò)程中，體現(xiàn)的正是思維的雙向性和可逆性。

例如，在研究“特殊四邊形”的基本性質(zhì)時(shí)，我們基于可逆思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生在融入式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，獲得獨(dú)立思考和學(xué)會(huì)思考的能力。具體實(shí)驗(yàn)步驟如下：首先，讓學(xué)生將“牙膏盒的頂口”剪平（去掉頭部），并進(jìn)行條件性擠壓變形，使其呈現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的不同狀態(tài)，然后將抽象出來(lái)的“特殊四邊形”分別畫(huà)出來(lái);其次，讓學(xué)生聯(lián)結(jié)每一個(gè)特殊四邊形的對(duì)角線，在客觀驗(yàn)證（度量、疊合、折疊、旋轉(zhuǎn)等）的思維環(huán)境下，給出邊、角、對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中分別概括出平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì);最后，讓學(xué)生在探究特殊四邊形關(guān)系的過(guò)程中，發(fā)展可逆思維，即平行四邊形、矩形、菱形、正方形的結(jié)構(gòu)關(guān)系（平行四邊形包含矩形和菱形，既是矩形又是菱形的四邊形是正方形），以及添加怎樣的條件，能使得平行四邊形成為矩形、菱形和正方形等半開(kāi)放問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)學(xué)會(huì)思考等可逆思維的培養(yǎng)目標(biāo)。

融入式實(shí)驗(yàn)是一種新的實(shí)驗(yàn)朝向，有助于學(xué)生“看得見(jiàn)”思維、“看得見(jiàn)”思考和“看得見(jiàn)”能力。融入實(shí)驗(yàn)不止于“看得到”，更重要的是依托于現(xiàn)在“看得到”和以前“看得到”，進(jìn)行雙向思考，促進(jìn)可逆思維能力的培養(yǎng)，這才是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)。如果說(shuō)從“牙膏盒的變形”到“特殊四邊形概念的抽象”是在數(shù)學(xué)抽象中融入實(shí)驗(yàn)，那么“發(fā)現(xiàn)→概括→驗(yàn)證”是在數(shù)學(xué)思考中融入實(shí)驗(yàn)，而“結(jié)構(gòu)關(guān)系建立→半開(kāi)放條件添加”則是在使用概念的過(guò)程中助推學(xué)生逆向思維的發(fā)展。

三、利用“附加式”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)可逆思維，學(xué)會(huì)反思，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決目標(biāo)

人本主義心理學(xué)家馬斯洛認(rèn)為，“學(xué)習(xí)具有發(fā)自內(nèi)心的生長(zhǎng)潛力，教師的任務(wù)不只是教學(xué)生知識(shí)，更重要的是為學(xué)生設(shè)置良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生自行學(xué)習(xí)”[4]。這里的“良好的學(xué)習(xí)環(huán)境”包括客觀的課堂物理環(huán)境和問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思維環(huán)境。只有創(chuàng)設(shè)問(wèn)題“思維塊”，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中形成良好的“思維憤悱”狀態(tài)，才能發(fā)揮附加式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教育功能，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的可逆思維。比如，探討矩形中點(diǎn)四邊形問(wèn)題時(shí)，通過(guò)“畫(huà)圖→猜想→驗(yàn)證”等活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)論?；谶@一認(rèn)識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在“逆向思考”中，探討滿足什么條件的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形。毋庸置疑，問(wèn)題解決不止于解決問(wèn)題，更在于給了學(xué)生創(chuàng)設(shè)提出問(wèn)題的情境，讓學(xué)生有創(chuàng)造性思考的機(jī)會(huì)，這里的思考就需要具有逆向思維的能力。從這個(gè)意義上講，提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要，提出問(wèn)題是人發(fā)揮創(chuàng)造性的開(kāi)始，同時(shí)提出問(wèn)題又是附加式實(shí)驗(yàn)的結(jié)果形態(tài)。

附加式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是在各級(jí)各類(lèi)“小結(jié)”和“反問(wèn)監(jiān)控”中，讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，獲得系統(tǒng)知識(shí)的能力，實(shí)現(xiàn)“知其然、知其所以然和知其所不然”的系統(tǒng)目標(biāo)，進(jìn)而使得學(xué)生從“逆向思維”走向“元認(rèn)知”的發(fā)展?；谶@一認(rèn)識(shí)，可以說(shuō)附加式實(shí)驗(yàn)至少包括兩個(gè)維度的思維形態(tài)。一方面是在“反問(wèn)監(jiān)控”時(shí)附加實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生知道知識(shí)的來(lái)龍去脈;另一方面是在“結(jié)課模塊”，讓學(xué)生在反思中進(jìn)行思維實(shí)驗(yàn)，形成系統(tǒng)思維?？梢哉f(shuō)，所有的思維形態(tài)，都是問(wèn)題解決的思維產(chǎn)物。正如《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出的那樣，“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，提高實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神;獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí);初步形成合作、評(píng)價(jià)與反思意識(shí)?！睘榇?，進(jìn)行附加式實(shí)驗(yàn)，需要做好三個(gè)層面的工作：一是讓學(xué)生在問(wèn)題解決中附加實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力;二是在激發(fā)思維憤悱狀態(tài)中附加實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;三是在反思評(píng)價(jià)中附加實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和元認(rèn)知的進(jìn)一步發(fā)展。

例如，在研究“特殊四邊形”的形成條件時(shí)，就是基于“問(wèn)題解決”，在思維的參與下，實(shí)施層級(jí)性附加實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力。具體實(shí)驗(yàn)步驟為：某校八（3）班幾位同學(xué)嘗試用矩形紙片ABCD（見(jiàn)圖1）折出常見(jiàn)的中心對(duì)稱圖形。基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)：小明將矩形紙片先對(duì)折，使AB和DC重合，展開(kāi)后得折痕EF，再折出四邊形ABFE和CDEF的對(duì)角線，它們的對(duì)角線分別相交于點(diǎn)G、H（見(jiàn)圖2），最后將紙片展平，判斷四邊形EGFH的形狀（菱形，判斷依據(jù)是四邊相等的四邊形是菱形等）。附加實(shí)驗(yàn)1：點(diǎn)E、F分別為矩形紙條ABCD的邊AD、BC上的點(diǎn)，小華將矩形紙片沿EF翻折，使點(diǎn)C、D分別落在矩形外部，記為點(diǎn)C′、D′，F(xiàn)C′與AD交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)D′E交BC于點(diǎn)H（見(jiàn)圖3），求證：四邊形EGFH是菱形（判斷依據(jù)：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）。附加實(shí)驗(yàn)2：小麗將矩形紙片兩端向中間翻折，使得點(diǎn)A、C落在矩形內(nèi)部，分別記為點(diǎn)A′、C′，點(diǎn)B、D落在矩形外部，分別記為點(diǎn)B′、D′，折痕分別為EF、GH，且點(diǎn)H、C′、A′、F在同一條直線上（如圖4），試判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力?！鄙鲜龅摹罢奂垖?shí)驗(yàn)”就是數(shù)學(xué)與生活關(guān)聯(lián)的典型，是一種有效的附加實(shí)驗(yàn)，穿插在“中心對(duì)稱圖——平行四邊形”的小結(jié)與思考模塊中，為后續(xù)提出問(wèn)題做好鋪墊。如果說(shuō)，基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)是注重問(wèn)題解決的話，那么附加實(shí)驗(yàn)1是激活思維的有效載體，而附加實(shí)驗(yàn)2則是反思評(píng)價(jià)的表現(xiàn)形式，有助于學(xué)生在做中反思，在反思中評(píng)價(jià)，在評(píng)價(jià)中培養(yǎng)思維，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)實(shí)踐創(chuàng)新和問(wèn)題解決的目標(biāo)。正如有學(xué)者所言，“有趣的思考勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ)的贊美，學(xué)習(xí)成就高的學(xué)生，并不是預(yù)期會(huì)得到贊賞，而是將學(xué)習(xí)當(dāng)成一趟有趣的發(fā)現(xiàn)之旅，不斷地發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣”[5]。這就是附加式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐意義，能讓學(xué)生站在系統(tǒng)思維層面，發(fā)展可逆思維和創(chuàng)造性思維。

參考文獻(xiàn)：

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