徐仁義

摘 要：“雞兔同籠”作為經(jīng)典名題，在小學(xué)三至六年級有層次地被學(xué)習(xí)。根據(jù)學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)巧用列表法、畫圖法、假設(shè)法和列方程等方法進(jìn)行解決，有效地滲透并發(fā)展了學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸枚舉、代數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

關(guān)鍵詞：雞兔同籠;數(shù)學(xué)思想;建模

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 收稿日期：2019-01-20 文章編號：1674-120X（2019）15-0060-02

“雞兔同籠”是我國古代非常有名的趣題，最早記載于《孫子算經(jīng)》中。當(dāng)下，雞兔同籠問題已經(jīng)編入數(shù)學(xué)課本。如何讓學(xué)生真正掌握雞兔同籠問題的解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想呢？

一、教材解讀

“雞兔同籠”作為經(jīng)典名題，在各版教材中都有編排，其目的是“介紹一些比較著名的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在解決這些問題的過程中，能主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度尋找解決問題的策略，在經(jīng)歷猜想、實驗、推理等數(shù)學(xué)探索的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的實踐經(jīng)驗和能力，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲”。（摘自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）

筆者對各版本教材有關(guān)雞兔同籠問題的內(nèi)容進(jìn)行了研讀，并統(tǒng)計成下表：

蘇教版六年級下冊將它作為一題練習(xí)題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略;北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學(xué)生學(xué)會表格列舉;而人教版更是濃墨重彩，從原來的六上調(diào)整到四下，教學(xué)要求也有所改變。六上要求學(xué)生掌握列表法、假設(shè)法、方程等方法，同時也蘊(yùn)含著豐富的思想方法：化歸、枚舉、數(shù)形結(jié)合、方程、建模等。四年級只需要掌握列表調(diào)整和假設(shè)法，其他方法不涉及。對四年級學(xué)生而言，經(jīng)歷猜測、嘗試、調(diào)整的過程，培養(yǎng)有序思考的習(xí)慣、體驗假設(shè)思想、積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗才是最重要的。

二、教學(xué)策略

人教版教材將“雞兔同籠”安排在四年級，其實它可以放在三至六年級進(jìn)行學(xué)習(xí)，體現(xiàn)層次性和系統(tǒng)性。

（一）三年級：巧用數(shù)形結(jié)合來表征

三年級學(xué)生初次接觸“雞兔同籠”問題，受所學(xué)知識的局限，如同一個手無寸鐵的小孩面對高大猙獰的“猛獸”，感到無助和害怕。要想戰(zhàn)勝它，只有通過數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用觀察、比對的思想方法，才能找到解決問題的突破口。

【例1】養(yǎng)殖場，養(yǎng)了雞、兔共8只，腳共有22只，問養(yǎng)殖場有雞、兔各多少只？

1.表格法

學(xué)生根據(jù)雞、兔共8只，可以得到下表：

再根據(jù)表中雞和兔的具體數(shù)量分別計算出每種情況腳的總數(shù)，最后根據(jù)腳的總數(shù)比較得到雞5只、兔3只。

采用表格法解題，優(yōu)點(diǎn)在于便于學(xué)生理解思路，掌握方法;缺點(diǎn)是當(dāng)數(shù)量較大時，計算麻煩。

2.畫圖法

用8個小圓圈表示8個動物的頭（如圖1）。

兩種動物混在一起，每種動物的腳數(shù)又不同，三年級學(xué)生思考起來比較復(fù)雜。為了將問題簡單化，先假設(shè)只有一種動物，假設(shè)都是雞，就在每個圓圈下面畫上2只腳（如圖2）。

假設(shè)：假設(shè)都是雞，雞的腳數(shù)一共：8×2=16（只）。

比較：與實際的22只腳相比少：22-16=6（只）。

找原因：把兔錯當(dāng)成了雞，每只兔錯當(dāng)成雞，就少算4-2=2（只）。

調(diào)整：把兔少算的2只腳補(bǔ)上去。每只雞補(bǔ)上2只腳就成了兔。

列式計算：兔的只數(shù)=相差總數(shù)÷每只相差數(shù)=6÷2=

3（只）（如圖3）。

學(xué)生借助作圖法解題，自主探索到“假設(shè)法”解題的思維過程。就這樣，學(xué)生運(yùn)用圖表直觀地表征了各種思想方法，經(jīng)歷了從“圖表化”到“數(shù)學(xué)化”逐步抽象的過程，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡潔而形象。

（二）四年級：巧用假設(shè)法來突破

學(xué)生初步感知了數(shù)形結(jié)合的解題方法后，面對“雞兔同籠”，再也沒有了“小孩面對猛獸”時的窘狀，倒像是手拿武器的戰(zhàn)士，充滿自信前去勇斗。四年級學(xué)生主要學(xué)習(xí)運(yùn)用比較和分類、分析和綜合等思想方法，掌握用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題的基本方法。

【例2】某養(yǎng)殖場，養(yǎng)了雞、兔共35只，雞的腳比兔的腳多22只。問雞、兔各多少只？

方法一：假設(shè)都是雞

（1）假設(shè)：雞腳比兔腳多：35×2-0×4=70（只）。

（2）比較：與實際的多22只腳相比相差：70-22=48（只）。

（3）找原因：把兔錯當(dāng)成了雞，每只兔錯當(dāng)成雞，就少算4+2=6（只）。

（4）調(diào)整：48里面包含幾個6，就是兔的只數(shù)。

（5）列式計算：

兔：（70-22） ÷（2+4）=8（只），雞：35-8=27（只）。

方法二：假設(shè)都是兔

雞：（35×4+22）÷（4+2）=162÷6=27（只）。

兔：35-27=8（只）

（三）五年級：活用假設(shè)法來拓展

通過四年級的學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決“雞兔同籠”問題不僅僅只有“假設(shè)法”，而 “假設(shè)法”也不是只能解答“雞兔同籠”。這好比一個剛從迷宮出來的人，突然覺得天地豁然開闊，感受到生活中很多問題，都能用“假設(shè)法”解決。

【例3】數(shù)學(xué)競賽中，有12道計算題，評分規(guī)定：每答對一道題得10分， 答錯一道題要倒扣 4 分。丁丁答了全部題目，但最后只得了50分，他答錯幾題？

思考：把什么類比成總頭數(shù)？把什么類比成總腳數(shù)？把什么類比成雞、兔的腳數(shù)？

方法一：假設(shè)都答對

答錯題數(shù)：（12×10-50）÷（10+4）=70÷14=5（題）。

方法二：假設(shè)都答錯

答對題數(shù)：（50+12×4）÷（10+4）=98÷14=7（題）。