孟小燕 　朱鐵鋒

[摘 要]線性代數(shù)是一門重要的工具性課程，其高度抽象性，大量的概念、性質、定理，繁雜的運算給學生學習增加了難度.從課程特點出發(fā)，著眼于課程的整體結構，建構知識關聯(lián)，由此增加教與學的連貫性、系統(tǒng)性，是提高學生理解能力和拓展學生思維的有效途徑;在夯實基礎的前提下，注重實際問題研究，借助數(shù)學軟件、數(shù)學實驗化解計算問題，使抽象概念直觀化，均可有效提高線性代數(shù)課程的教學質量和效率.

[關鍵詞]線性代數(shù);關聯(lián)性;整體性;知識結構;教學方法

[中圖分類號] G642.3 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）07-0118-03

線性代數(shù)幾乎是所有高校理工科及經(jīng)管專業(yè)都會開設的一門專業(yè)基礎課程.如果說微積分采用“由曲化直”的思想將非線性的問題轉化為線性問題，如變速直線運動的路程、弧長、曲邊梯形的面積、曲頂柱體的體積等，線性代數(shù)則是研究線性問題的重要工具，廣泛應用于自然科學和社會科學中，特別是在圖形編程與機器學習領域的應用無處不在，對學生后續(xù)的專業(yè)學習具有重要的基礎性意義.從初等數(shù)學到線性代數(shù)的思維跨度要比高等數(shù)學、概率與數(shù)理統(tǒng)計大得多.初入大學校門，很多學生不難理解并接受函數(shù)、數(shù)列、極限、導數(shù)等概念，但卻對線性代數(shù)的各種符號、運算望而生畏.線性代數(shù)具有高度的抽象性與邏輯性，根據(jù)課程的特點，找到知識內(nèi)容的邏輯脈絡，疏通概念間的關聯(lián)，將零散的知識點進行整合，并加以分析、總結歸納是促進學生對課程的理解，培養(yǎng)他們良好的邏輯思維能力、分析解決問題能力的重要途徑.

一、線性代數(shù)課程部分知識內(nèi)容建構

線性代數(shù)的特點之一是概念多、性質定理多、運算規(guī)律多、運算量大，各章內(nèi)容看似相互獨立，實則前后知識銜接緊密.以同濟大學數(shù)學系主編的《工程數(shù)學—線性代數(shù)》第六版為藍本，其主要內(nèi)容包括六部分即行列式、矩陣、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變化，其所使用的研究工具則是矩陣和行列式，這些看似不相關的內(nèi)容在其表現(xiàn)形式上存在著一一對應的關系[1]：如線性方程組與矩陣，矩陣與向量組，矩陣的秩、初等變換與向量組的秩、線性方程組解的結構，行列式與n元一次線性方程組、方陣、可逆矩陣、特征多項式等.在教學中，教師可以將其中一項內(nèi)容作為課程內(nèi)容的出發(fā)點，建構與其他各分支的關聯(lián)，逐層遞進，從而形成系統(tǒng)的知識體系，化解抽象概念多的難題.

（一）以線性方程組為出發(fā)點，建構線性方程組—矩陣間的知識脈絡

由于學生原有的認知結構中已經(jīng)具備了方程組的知識，二元、三元一次線性方程組的解法學生非常熟悉.因此，將線性方程組的高斯消元法引入課程較符合學生的認知規(guī)律.將線性方程組中未知數(shù)的系數(shù)、常數(shù)項按原有的位置順序保持不變，排成一個數(shù)表，進而順其自然地引入矩陣的概念.通過線性方程組消元法的復習回顧，可以引導學生發(fā)現(xiàn)解方程組的過程事實上就是同解變形的過程，而這一過程參與運算的只有未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項，對應矩陣的三種行變換即對換變換（[ri?rj]）、倍乘變換（[ri×k，k≠0]）、倍加變換（[rj+kri]），也就是矩陣的初等行變換，與初等列變換一起統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.通過矩陣的初等變換可以將矩陣化為行階梯形矩陣，進而化為行最簡形矩陣，由此解決求逆矩陣、求矩陣的秩等問題.從矩陣的乘法運算規(guī)律出發(fā)，又可以將[n]元線性方程組簡寫成[Ax=b]的形式，其中[A]是方程組的系數(shù)矩陣，[x]，[b]分別是未知數(shù)、常數(shù)項所組成的列矩陣，從而利用矩陣初等變換求[A-1]的方法關聯(lián)解線性方程組;同時可以利用矩陣初等變換求秩的方法與線性方程組[Ax=b]解的結構建立關聯(lián).如圖1所示.

（二）以行列式為起點，建構行列式—線性方程組、矩陣間的知識脈絡

行列式和矩陣都是線性代數(shù)中的重要工具.如果說利用矩陣的初等變換可以解決廣義的[n]元線性方程組求解問題，那么當遇到方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同的情形時，還可以利用行列式來解線性方程組，即用克拉默法則求解.從二階、三階行列式引入高階行列式的定義，進而探討行列式的性質、展開法則、運算技巧等.行列式的計算并不是課程的主要內(nèi)容，但作為后續(xù)方陣相關運算的鋪墊或是[Cramer]法則求解的先導知識，還是需要作為一塊獨立的內(nèi)容加以說明.從本質上講行列式是一個數(shù)，矩陣是一個數(shù)表，二者本沒有什么關聯(lián)，當矩陣的行數(shù)與列數(shù)相同時，如果引入[n]階方陣的概念，矩陣和行列式之間就會建立關聯(lián).研究方陣的行列式，利用行列式判斷矩陣是否可逆;矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積[AB=AB];利用伴隨矩陣[A*]求逆矩陣，伴隨矩陣[A*]又是由[A]的各個元素的代數(shù)余子式[Aij]構成的;求矩陣的特征多項式[A-λE]、求特征根;相似矩陣的行列式值相等;正交矩陣其行列式的值為[±1]等，可以通過梳理各部分知識的關聯(lián)，幫助學生建立清晰的邏輯結構.如圖2所示.

（三）以向量組為起點，構建向量組—矩陣—線性方程組的知識脈絡

《向量組的線性相關性》一章涉及的概念非常多，學生接受起來尤其困難.“線性組合”“線性表示”“向量組等價”“線性相關”“線性無關”等概念“如濃濃迷霧滾滾而來”[2]，學生深陷其中，茫然不知所云.事實上，向量組、矩陣、線性方程組之間存在著緊密的聯(lián)系，只要注重內(nèi)容的整體性，深入淺出地闡明它們之間的關系，便可以有效突破學習內(nèi)容的重點與難點.

首先是向量組與矩陣間存在一一對應的關系，其實質上就是矩陣按行或按列分塊的問題.從分塊矩陣的角度按列劃分，一個[n]行[m]列矩陣[A]可以看成是含[m]個[n]維列向量的向量組[A：a1，a2，…，am]，反之含有有限個向量的向量組總可以構成一個矩陣.明確這一對應關系，對于進一步探討向量組的線性關系起到重要的鋪墊作用.

綜上可得，線性方程組[Ax=b]解的結構以及與秩的關系是研究向量組線性相關性的重要基礎.線性組合、線性表示可以轉化為線性方程組[Ax=b]是否有解的問題;向量組等價可以轉換為矩陣方程[Ax=B]是否有解的問題;線性相關、線性無關可以轉化為齊次線性方程組[Ax=0]有非零解、有唯一零解的問題;向量組的線性相關性從向量的角度重新刻畫了線性方程組的解，并給出其通解的結構，與矩陣的秩三大重要的知識模塊相互銜接，彼此滲透，形成一個有機整體，無法割裂開來單獨研究.如圖3所示.

二、理清知識脈絡，把握整體內(nèi)容格局

縱觀各章，可以發(fā)現(xiàn)線性方程組及其相關內(nèi)容是線性代數(shù)課程的教學主線.《行列式》一章中克萊姆法則解決的是方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)且系數(shù)行列式不為零的線性方程組的解;矩陣及其運算中，矩陣乘法為線性方程組提供了一種簡潔的表示方法;矩陣的初等變換除給出了廣義的線性方程組的求解方法外，同時總結出矩陣的秩與線性方程組解的關聯(lián);向量組的線性相關性從向量的視角探討了線性方程組解的結構;相似矩陣及二次型、線性變換是承接基本概念與典型應用的重要知識點，與前面諸多內(nèi)容都存在內(nèi)在聯(lián)系.

在教學中，教師應采用啟發(fā)式與參與式教學方法，從宏觀上把握教學主線，從微觀上引導學生梳理各章節(jié)的知識脈絡，深入淺出地揭示不同概念、原理間的聯(lián)系，從而使學生在頭腦中逐步建立清晰的知識結構，思維得到拓展，分析處理問題的能力有所提升，有效完成知識、問題間的相互轉化，化難為易，增強學習成就感.

三、夯實基礎，優(yōu)化教學方法

學生的學習困惑除來源于線性代數(shù)課程中大量的概念、性質、定理、推論以及令他們無法想象的抽象符號外，還來源于他們現(xiàn)有的認識水平很難找到將線性代數(shù)用于解決實際問題的情境.在授課中，結合學生所學專業(yè)，引入實例，闡明背景，讓學生認識到課程的有用性，幫助學生建立正向的學習動機，也是課程教學體系的重要組成部分，而不僅僅是理論、方法的灌輸.線性代數(shù)課程中煩瑣的運算也是令學生望而生畏的原因之一，會影響課堂效率.借助數(shù)學軟件，既可以解決復雜的計算問題，更能給學生帶來更加直觀的學習體驗。在課程教學中融入計算機技術、數(shù)學實驗也能激發(fā)學生的學習積極性.

四、結語

線性代數(shù)是一門重要的基礎課程，其抽象性決定了其學習的難度，其廣泛的應用性又同時要求學生必須掌握相關知識，做到學以致用.對課程內(nèi)容的關聯(lián)性的研究是解決其抽象性的有效路徑，同時在夯實基礎，明晰課程知識結構的前提下，結合課程內(nèi)容，注重實例研究，借助數(shù)學實驗突破學習難題，切實做到教與學有的放矢，這些教學方法都為線性代數(shù)教學實踐帶來巨大推動力，有助于更好地提高課程教學質量和效率.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 金英善，賈睿.線性代數(shù)教學方法改革實踐探索[J].遼寧科技大學學報，2013（5）：541-544.

[2] 朱琳，蔣啟芬.國外線性代數(shù)的教學研究述評[J].數(shù)學教育學報，2018（1）：79-84.

[3] 同濟大學數(shù)學系.工程數(shù)學線性代數(shù)[M].6版.北京：高等教育出版社，2014：81-107.

[4] 江蓉，王守中.矩陣的秩在線性代數(shù)中的應用及其教學方法的探討[J].西南師范大學學報（自然科學版），2012（8）：175-180.

[責任編輯：龐丹丹]