賴琪雯

【摘要】“平均分”是小學數學教學中與除法運算、用除法解決問題密切相關的重要概念。教材十分重視平均分物的教學活動對除法概念理解的支持作用。在教學中，教師要注重情境選取、過程經歷和多元表征，進行單元整體設計，幫助兒童建立“平均分”與“除法”之間的聯系。

【關鍵詞】平均分 除法 單元整體 等分 包含

“平均分”是小學數學教學中的一個重要概念，與除法運算、除法問題的解決、分數的認識等內容密切相關。各版本教材都將“平均分”編排在“除法的初步認識”之前，在認識平均分的兩種現實原型（等分、包含）之后引入除法，提出“（平均分的情況）可以用除法表示”。

這樣的設置引發(fā)筆者思考：平均分和除法之間有什么關系？為什么除法可以表示平均分？從平均分過渡到除法的認識，兒童理解嗎？在《平均分》的具體教學中，教師可以怎樣為除法意義的認識做鋪墊呢？

一、教材分析與備課思考

縱觀各版本教材，“平均分”這一內容的編排有以下共同點：在情境選取上，采用分水果、分糖果、分圓片等可操作性強的具象情境;在概念引入和下定義時，呈現均分與不均分的情境圖加以對比，并用“每份分得同/一樣多”來定義平均分;在概念理解方面，借助卡通人物的語言、虛線、箭頭等形式凸顯平均分的過程;在處理平均分兩種現實原型時，先呈現“等分”的例子，再呈現“包含”的例子;在引入除法時，結合均分的情境直接呈現除法算式和各部分名稱，提出“（平均分）可以用除法來表示”。

教材雖如此編排，但若實際教學也這樣引入除法，就會讓人感覺中間斷了一截。要想讓平均分與除法的聯系更緊密、過渡更順暢，勢必要先對兩者的本質進行挖掘。關于平均分，它是一個兼具過程和結果的二重性概念，既表述了分的過程——等分或包含，又概括了分的結果——每份分得同樣多。只要是把一個整體平均分成若干相同的部分，這個過程/結果就是平均分。除法，從運算的角度上說，它是減數相同的連減的簡便運算。至此，從“分”和“減”這兩個字眼，我們終于找到了平均分與除法之間的關聯。基于此，筆者進行了整體教學探索與嘗試。

二、整體教學“三步走”思路

第一步：動手操作，思維外顯，初識概念

課時主要目標：結合情境，通過動手操作，經歷分的過程，認識平均分的兩種現實原型，初步理解平均分的含義。

【教學片段一：等分】

師：有一堆蘿卜，要分給3只小兔，每只小兔分到的要一樣多，怎么分？

（學生事先不知道蘿卜的總數量，用小棒代替蘿卜，獨立操作，再展示交流。）

生1每次給每只小兔各分1根（一根一根地分），分了4次;生2兩根兩根地分，分了2次;生3先各分3根，剩下的剛好各分1根，分了2次;生4先數出蘿卜的數量是12根，再想乘法口訣三幾十二，直接給每只小兔分4根，分了1次。

師：你們的方法各不相同，但分的時候卻有一樣的地方。

生：（要么）一根一根，（要么）兩根兩根，（要么）三根三根，沒有一下一根、一下兩根、一下三根的。

師：也就是說，要想每只小兔最后分到的一樣多，就得讓它們每次分到的一樣多。

【教學片段二：包含】

師：有15根骨頭，每只小狗分3根，可以分給幾只小狗？

生：老師，有幾只小狗?。浚▽W生受“等分”情境的影響，對這種問題的理解需要指導）

（生用小棒代替骨頭，獨立操作，再展示交流）

師：小朋友們的方法都一樣，都是3根3根地拿，怎么不像分蘿卜那樣1根1根、2根2根地分呢？

生：因為每只小狗要3根。

（初步感知兩種分物活動的不同）

【教學片段三：認識平均分】

師：分蘿卜和分骨頭，分的總數不同，兔子、小狗的數量也不同，但有什么相同的地方？

生1：兔子有3只，小狗有3根骨頭，兩個3是相同的。

生2：每只小兔分到4根，每只小狗分到3根，小兔和小兔一樣多，小狗和小狗一樣多。

師：像這樣，每只小兔分到的一樣多，每只小狗分到的一樣多，每份分得一樣多，叫作平均分。

設計意圖：本課時主要通過經歷等分、包含這兩種情況的分物過程，再勾連其相同之處，初步體會平均分的含義。

第二步：多元表征，溝通切換，體會內涵

課時主要目標：在操作的基礎上，通過多元表征方式凸顯分的過程、表達分的結果，深入理解平均分的內涵。

【教學片段一：圖畫表征】

師：上節(jié)課，小朋友們通過擺小棒、互相交流，能讓小伙伴清楚自己是怎么分蘿卜的，如果讓你用畫的方式來分，可以嗎？（生自主畫圖）

師：通過圖畫，你能讀懂這些小朋友是怎么分蘿卜的嗎？

（同樣，分骨頭的過程也可以用圖畫來表示。）

【教學片段二：語言表征】

師：回憶分蘿卜、分骨頭的過程，我們分別分什么？怎么分？結果是什么？請你和小朋友們交流這3個問題。

生：分蘿卜，1根1根地分，或2根2根地分，……最后每只小兔分到4根蘿卜。

生：分骨頭，每只小狗分3根，3根3根地拿，最后分給5只小狗。

師引導提煉：

12根蘿卜，平均分給3只小兔，每只小兔分到（4）根。

15根骨頭，每只小狗分3根，可以分給（5）只小狗。

【教學片段三：算式表征】

師：通過動手擺、動筆畫、動口說，小朋友們都把平均分弄清楚了。其實，平均分的過程還可以用算式記錄下來。

等分：每次給每只小兔分1根，每次分掉3根，12-3-3-3-3=0。12連續(xù)減去4個3后，沒有剩余。所以，每只小兔分到4根蘿卜。

包含：每只小狗分3根，15-3-3-3-3-3=0。15連續(xù)減去5個3后，沒有剩余。所以，可以分給5只小狗。

設計意圖：本課時是在初步認識平均分后，在較熟練操作的基礎上，探索呈現圖畫、語言、算式多元表征，并互相勾連，加深對平均分內涵的認識。其中，圖畫表征是基礎，用語言清晰地表達出圖畫意思是關鍵，而算式是較高層次的抽象概括，能檢驗學生是否理解平均分的內涵。這三種表征方式都能為后面除法的引入做鋪墊。

第三步：增大數目，靈活應用，初步體驗試商過程

課時主要目標：增大總體的數目，通過多次嘗試，能靈活選取每次分的數量，從而減少分的次數，掌握大數目平均分的方法，為今后試商做鋪墊。

【教學片段】

師：50顆糖果平均分給4個人，每人得到幾顆？你是怎么分的？

（生用50根小棒代替糖果實際操作，可能出現不同的分法：1根1根地分、2根2根地分、3根3根地分、5根5根地分、10根10根地分，等等。）

師：當分的物品數量越來越多，再像這樣用小棒操作會怎么樣？

生：麻煩，出錯……

師：你能不能用表格記錄的方式，把每次分給每個小朋友的糖果數量記錄下來？

設計意圖：本課時通過經歷大數目物品的平均分過程，對比不同學生每次分糖的數量、分的總次數，形成方法：第一次要用較大的計數單位，盡可能多分一些，使剩下的盡可能少一些。每次分掉多少、剩下多少，可以用數數的知識或乘、加運算的知識。這其實是試商的過程，意在拓展學生對平均分的認識，靈活應用方法，同時培養(yǎng)數感，為今后除法試商做鋪墊。

三、整體教學過程實施策略

不同教材在編排“平均分”時，都安排了不少于兩課時的內容。在關聯前后、整體教學的過程中，教師應注重以下三條策略，幫助學生深入理解平均分的內涵，并順利過渡到除法意義的認識。

1.注重情境選取，提供具象可操作情境

情境是數學的承重墻，合理恰當的數學情境能為學生提供豐富的學習資源，激發(fā)學生的學習興趣。二年級學生心中雖已有了抽象的概念，但其思維仍處于具體運算階段，需要具體事物的支撐。在平均分的概念教學中，教師要注重情境選取，提供具象的、可操作的情境，使情境與數學問題有機整合，從而幫助學生理解概念。例如：教師可以設計動物樂園美食分享會的故事情境，給小狗、小兔、松鼠、小猴等動物提供骨頭、蘿卜、松果、桃子等食物，用連貫的分食物情境串聯一節(jié)課，設計多次分物活動。在情境的支撐下，學生能直觀地理解數學問題、明確探究任務，在解決問題時也有話可說、有理可循。

2.注重過程經歷，積累基本活動經驗

動手操作是新課程倡導的重要學習方式之一，是學生建構知識的重要方法，對發(fā)展學生的“創(chuàng)新精神和實踐能力”具有重要意義。二年級學生雖然已經有了較強的“平分”意識，在生活中也積累了較豐富的“平分”經驗，但他們大多滿足于追求平分的結果，而對分配過程的關注度不夠、表達還很模糊。上文提到，平均分是一個二重性概念，如果只關注結果，而不充分經歷分配的過程，沒有積累分物的活動經驗，學生就難以建構平均分的意義和概念，也不利于后續(xù)將平均分轉化成除法，建立平均分與除法之間的聯結。更有甚者，缺乏對過程的關注還會導致后續(xù)遇到大數目物品的平均分時無從下手。因此，教師在教學時應注重過程經歷，幫助學生積累基本活動經驗、探尋平均分的概念本質。

3.注重多元表征，“圖—話—式”多渠道表達

數學概念是生活中事物抽象概括的結果，小學生建構概念離不開多種表征方式的輔助。在平均分的教學中，我們不難發(fā)現，學生們都會操作、會分物，也在教師的引導下學會了畫圖表達。但是，有時學生會畫圖，并不代表他能用語言表述。平均分有三要素，即均分主體、均分方法、均分結果，這三要素對應了總數、份數和每份數，也與除法算式中的被除數、除數、商相關聯。因此，在會操作、會畫圖之后，還要引導學生用語言清晰地提煉這三個問題。這樣有助于學生將動手操作、動筆涂畫、動口表達有機結合，將模糊的感知轉化為內部的思維活動。

其次，算式表征是從操作到直觀圖畫，再到清晰的語言之后更高層次的抽象概括。平均分和除法算式的勾連在于，分物的過程是從總體里去掉部分的過程，也就是做減法;而除法是減數相同的連減的簡便運算。因此，在平均分概念的建構過程中，算式表征十分重要，有助于學生從平均分轉化到除法，從而輔助理解除法運算的意義。