蘇玖

真題展現(xiàn)

（2018全國卷I第6題）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB =（ ）

A.3/4AB-1/4AC

B.1/4AB-3/4AC

C.3/4+1/4AC

D.1/4AB+3/4AC

思維延伸

本題主要是兩次使用三角形中線對應(yīng)的向量，其實就是兩個向量的加法運算的幾何意義.如果點E不是中點，而是三等分點、四等分點等等，可以改編為：

（改編1）在△ABC中，E為BC邊上中線AD上的點，AE=2ED，BE=xAB十yAC，求x十y的值.

拓展：在△ABC中，E為BC邊上中線AD上的點，AE=xED，BE=xAB+yAC，求x+y的值.

如果把“BE”改為“過E點任作直線”，就改編為：

（改編2）在△ABC中，E為BC邊上中線AD上的點，AE=λED（λ為定值），過點E作直線分別交邊AB和邊AC于點M和點N，AB=xAM，AC=yAN，求證：x+y為定值.

如果改變圖形的形狀，由“三角形”改編為“平行四邊形”“梯形”等等，如：

（改編3）在平行四邊形ABCD中，AP=λAC（0<λ<1），過點P作直線分別交AB，CD所在直線于點M，N，AM=xAB，AN=yAD，求證：1/x+1/y為定值.

當(dāng)然也可以在三角形的一條邊上插多個等分點，研究一系列的向量之和與數(shù)量積，于是有：

（改編4）

如果三角形與圓整合，又可以有：

（改編5）

如果點O不是三角形外接圓的圓心，而是三角形內(nèi)任意--點，于是又可以為：

（改編6）

點撥解析

原題解析：抓住D為BC邊上的中點，E為中線AD的中點，于是有

改編1解析：

拓展解析：

改編2解析：

改編3解析：

改編4解析：（1）證明：因為點P1，P2，P3，…，Pn是邊AB上的n個等分點，所以

改編5解析：【解法一】取AB中點D，所以

【解法二】

解法二運算量較大.而解法一就是充分利用向量的幾何特征，簡潔明快，一目了然.

改編6解析：

回顧悟道

從上述各題的改編過程中可以看出，抓住平面向量的線性運算的幾何意義，進(jìn)行改編高考題或教材上的題目，是命題者常用的方法.改編途徑：一是改編一個點的位置比例;二是定點改為動點，常數(shù)改為字母參數(shù);三是改變平面圖形的形狀和特征，如三角形改為平行四邊形、矩形、梯形、菱形等;四是三角形與外接圓或內(nèi)切圓組合等等.

小試牛刀

題目：已知A，B，C為圓0上的三點，若AO=1/2（AB+AC），則AB與AC的夾角為____.

提示1：將三角形特殊化，改為正三角形，則有：

（改編1）_______

提示2：將三角形改為等腰梯形，則有：

（改編2）_______

答案與解析

原題解析：

（改編1）

（改編2）