劉新春

許多數(shù)學(xué)問題常常因為發(fā)現(xiàn)不了隱含條件而無法求解或方法繁復(fù)，耗時太多.如能將題目中的各個條件用幾何化、圖表化、代數(shù)化、模式化、結(jié)論化的形式相互轉(zhuǎn)化，往往能發(fā)現(xiàn)隱含條件，找到解題思路.下面以解析幾何問題為例說明如何發(fā)現(xiàn)隱含條件.

一、數(shù)形結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)化

例1已知直線l1：ax-by+4=0與直線l2：（a-1）x+y+b=0平行，且原點到兩直線的距離相等，求實數(shù)a，b的值.

分析本題中有兩個條件，條件（1）：兩直線l1與l2平行;條件（2）：原點到兩直線的距離相等.如能將兩個條件直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的兩個方程（數(shù)量表征），即可求出a，b的值.但如何轉(zhuǎn)化、表示為二元方程，因轉(zhuǎn)化策略和方法不同，難易差異很大.

條件（1）即

條件（2）即OM=ON.直接應(yīng)用可得到如下解法：

簡解由l1//l2可得：

又因為原點到兩直線的距離相等，可得：

化簡得16（a-1）2+16=b2（a2+b2）②.

由①②解得a=2/3，b=2或a=2，b=-2.

上述解法中，OM=ON是最容易想到的直接條件，但也是形式最繁的數(shù)量關(guān)系式，求解a，b的值非常煩瑣;若結(jié)合圖形可知：O點到兩直線的距離相等即兩直線關(guān)于原點對稱，這是隱藏在條件OM=ON后的隱含條件，而OA=OB是隱含條件“兩直線關(guān)于原點對稱”的直接推論，即為|4/b|=|-b|（b≠0），簡潔明了，立即可求得b=±2.

比較上述兩種解法可知，只有抓住題目中兩個條件的本質(zhì)屬性——幾何特征——兩直線關(guān)于原點對稱這一隱含條件，并用最簡單的數(shù)量關(guān)系表示，才能快捷地獲得簡單的解題方法和簡明的解題過程.

二、變換圖形，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)

例2在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關(guān)于原點0對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-1/3.

（1）求動點P的軌跡方程;

（2）設(shè)直線AP與BP分別與直線x=3交于點M與點N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標;若不存在，說明理由.

分析（1）（x2+3y2=4且x≠±1）;（2）此題的關(guān)鍵是如何表征“△PAB與.△PMN的面積相等”這一條件.

在上述幾種表征形式中，表征（1）抓住圖形中三角形的邊的特征給出數(shù)量關(guān)系，最接近題中原始條件，也最容易想到，但計算M，N兩點的縱坐標步驟較繁，運算過程也非常復(fù)雜;表征（2）抓住了∠APB=∠MPN這一條件，從角的特征出發(fā)，把面積相等表征為三角形邊長的乘積關(guān)系，再運用線段在同一條直線_上的射影的比值相等，因而思路巧，方法簡，運算少;表征（3）與表征（1）類似;表征（4）抓住圖形的整體特征，充分運用B點是AD的中點條件，從兩個三角形的面積相等關(guān)系挖掘出P點為△ADN的重心這一隱含條件，題目中條件的本質(zhì)屬性更加凸顯.

三、特殊引路，直覺猜想

例3如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2+y2=4，F(xiàn)（0，2），點A，B是圓O上的動點，且FA·FB=4，是否存在與動直線AB恒相切的定圓？若存在，求出該圓的方程;若不存在，請說明理由.

分析直覺告訴我們，若定圓存在，應(yīng)與圓心O或定點F有關(guān).因為A，B是動點，若取FA=1，F(xiàn)B=4，可知∠FAB=90°.點F到AB的距離為1，點O到AB的

距離為1/2（中位線）.再令FA=FB=2，可算得點F和點O到AB的距離均為1.合情猜想，點F到AB的距離為定值1.換句話說，AB與以點F為圓心，1為半徑的圓相切.這就是本題中的核心隱含條件.如何證明？聯(lián)想FA·FB=4、三角形的面積公式、余弦定理等條件可得以下證明：

作FH⊥AB于點H，連結(jié)OA，OB.設(shè)△ABF的面積為S，

則

由余弦定理得

與（*）聯(lián)立可得FH=1.

從而所求定圓的方程即為x2+（y-2）2=1.

本題的求解思路其關(guān)鍵是通過直覺判斷、特殊引路、合情猜想、推理論證等環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)并證明隱含條件“定點到直線的距離為定值1”.可從上述探究過程中體會如何探索幾何圖形的本質(zhì)特征.

四、抓住“有界”，化隱為顯

例4如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4），

（1）（2）略.

（3）設(shè)點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得TA+TP=TQ，求實數(shù)t的取值范圍.

分析實數(shù)t滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系，本試題的已知條件中沒有直接給出，但從向量關(guān)系中不難發(fā)現(xiàn)：TA=TQ-TP=PQ，P，Q是圓上兩點，其長度不超過直徑，即|TA|=|PQ|≤10，從而發(fā)現(xiàn)了本題中的關(guān)鍵隱含條件：“|TA|≤10”.

即（t-2）2+（0-4）2≤100，解得t∈[2-2√2I，2+2√21].

在求解解析幾何問題時，經(jīng)常會運用圖形特征中的限制條件，如圓上兩點的距離范圍，橢圓、雙曲線、拋物線上點的坐標的限制條件，求離心率或其他參數(shù)的范圍等問題.解析幾何問題中的隱含條件首先是圖形中隱含的幾何特征，抓住最本質(zhì)的幾何特征，就能發(fā)現(xiàn)隱含條件.其次是尋找同一個幾何特征的不同數(shù)量關(guān)系，有些是顯而易見的，有些是深藏不露的，需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn).