王思儉

鈴聲響起，考試結束，教室里頓時沸騰起來，七嘴八舌，議論紛紛：

這道平面幾何與向量數量積結合的題目我又沒有做出來;

那道類似于2018年某省市的高考題，我足足做了15分鐘，結果還是以失敗告終;

這道題我一開始就是利用基底求解，但無法表示所要研究的兩個向量，后來又建立直角坐標系，寫點的坐標時又陷入困境，最終選擇放棄;

……

對這類問題，我們應該怎樣思考呢？鑒于此，我組織幾位同學結合此次測驗，圍繞“如何思考平面向量問題"展開討論與交流，旨在幫助同學們學會思考問題，當遇到困難時，學會尋找突破的策略.

生甲：如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，LBAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，E是BC邊上的一點，則AE·DE的取值范圍為_____.

這道題我整整花了20分鐘也沒有攻克下來，關鍵是怎樣學會思考呢？

生乙：如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點，則AE·BE的最小值為（）

A.21/16

B.3/2

C.25/16

D.3

答案是21/16，選A，但本題的圖形有變化，而且要求數量積的范圍，確實有難度，我也是花了好長時間沒有求出結果.

教師：由已知條件，你們可以先求出哪些幾何量？生甲先講你的解題思路，在何處受阻.

生甲：發(fā)現△ACB與△ACD為全等三角形，從而推出∠CAB=∠CAD=60°，計算出AC=2，BC=DC=√3.雖然設AB=a，AD=b，所以|a|=|b|=1，a·b=-1/2，但AE與DE怎么才能用所設的基底向量表示呢？又換思路，改設AB=a，BC=b，顯然有a·b=0，還是無法進行下去，該怎么思考呢？

教師：就前一個思路而言，BC是否可以用a與b表示呢？如果可以，那么BE就可以用BC表示，這樣AE與DE都可以表示出來了.于是我們要考慮幾何特征，要對BC進行平移，利用向量加法的幾何意義，充分利用平面幾何性質.

生丙：用平面幾何方法可以做的，運算量蠻大的.如圖3，作AF//BC且AF=BC，所以四邊形ABCF是矩形，延長CF交AD的延長線于點G，所以AF⊥CG.因為∠GAF=30°，∠CAF=∠ACB=30°，所以∠CAG=60°.又因為∠AGF=60°，所以△ACG為等邊三角形，所以F是CG中點，所以GF=CF=AB，且GF//AB，所以四邊形ABFG為平行四邊形，所以AG=2b，GF=a，所以AF=BC=a+2b.設BE=λBC=λ（a+2b）（0≤λ≤1），所以AE=AB十BE=（λ+1）a+2b，DE=AE-AD=（x+1）a+（2λ-1）b.所以AE.DE=[（2+1）a+2λb]·[（λ+1）a+（2λ-1）b]=3λ2-3-λ+3=3（x*-2++），當λ=1時，AE·DE有最大值3;當λ=1/4時，AE·DE有最小值21/16，所以AE·DE的取值范圍是[21/16，3].

眾生：這種幾何法要作這么多條輔助線，根本想不出來啊！

教師：生丙的思路清晰，結果正確！他的平面幾何的知識很扎實！求解向量問題，一要考慮基底向量，二要考慮坐標表示.

生?。阂婚_始也是利用基底向量做，沒搞出來，再換思路——建立直角坐標系求解.由對稱性可知，B，D關于AC對稱，設AC與BD相交于點O，AC=2，OA=1/2，OC=3/2，BD=√3，現以O為原點，DB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立如圖4所示的直角坐標系，所以A（0，-1/2），B（√3/2，0），D（-√3/2，0），C（0，3/2），BC方程為：y=-√3x+3/2（0≤x≤√3/2）.

設E（x，y），AE=（x，y+1/2），DE=x+√3/2，y），所以AE·DE=x（x+√3/2）+y（y+1/2）=x2+y2+√3/2x+1/2y.又因為y=-√3x+3/2（0≤x≤-√3/2），所以AE·DE=x2+（-√3x+3/2）+√3/2x+1/2（-√3x+3/2）=4x2-3√3x+3（0≤x≤√3/2）.所以當x=0時，AE·DE有最大值3;當x=3√3/8時，AE·DE有最小值21/16，所以AEDE的取值范圍是[21/16，3].

生乙：也可以以C點為原點，以AC所在直線為y軸，建立直角坐標系，如圖5，所以A（0，-2），B（√3/2，-3/2），lBC：y=-√3x.設E（x，-√3x），0≤x≤√3/2，下同生丁.

生戊：以A為原點，AC所在直線為y軸，建立直角坐標系，如圖6，所以A（0，0），B（√3/2，1/2），D（-√3/2，1/2），C（0，2），lBC：y=-√3x+2，設E（x，-√3x+2），0≤x≤√3/2下同前文.

教師：坐標法是很簡單，三位同學都是抓住對稱性，很快就寫出了相關點的坐標，將幾何問題轉化為代數問題，最終也是轉化為二次函數在指定閉區(qū)間上求解.

生甲：以D為原點，以DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，建立如圖7所示的直角坐標系，所以D（0，0），A（1，0），B（3/2，√3/2），C（0，√3），lBC：y=-√3/3x+√3，設E（x，-√3/3x+√3），0≤x≤3/2，下略.

教師：很好！生甲利用垂直建立直角坐標系，也很快求解了，但比較而言，還是利用對稱性較快.請看變題1：

在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，點E和點F分別是BC邊和DC邊上的點，BE=λBC，DF=λDC（0≤λ≤1），求AE·AF的取值范圍.

生?。喝鐖D8，建立平面直角坐標系.因為BE=λBC，DF=λDC，所以EF//BD，所以E，F關于y軸對稱，設E（xx，-3x+-），所以F（-x，-√3x+-號）.又因為A（0，--），所以AE=（x，-√3x+2），AF=（-x，-√3x+2），因此AE.AF=-x2+（-√3x+2）2=2x2-4√3x+4，0≤x≤Y√3，所以當x=3時，AE·AF取最小值一;當x=0時，AE·AF取最大值4，所以AE·AF的取值范圍為[-1/2，4].

教師：正確！抓住EF//BD，使得問題更加清晰，因此解題要先思考如何轉化題目中的各種信息，如何挖掘隱含信息，這是解題的關鍵.請看變題2：

在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，點E和點F分別是BC邊和DC邊上的點，BE=λBC，CF=λCB

生丙：如圖9，建立平面直角坐標系，則

所以當λ=1/2時，AE·AF取最大值。;當λ=0或1時，AE·AF取最小值1，所以AE·AF的取值范圍為[1，11/8]

教師：很好！變題2相對復雜一點，生丙先利用線性運算，再利用坐標運算，求出AE與AF的坐標表示.如果將E，F點放在同一條邊上，又可以有變題3：

平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC.⊥AB，CD.⊥AD，點M和點N都在邊BC上，且MN=√3/2，求AM·AN的取值范圍.

生甲：如圖10，建立平面直角坐標系，設

接下去該怎么辦呢？

生乙：這里0≤x2

教師：答案正確，但過程上存在問題，你們發(fā)現嗎？

生丙：x2=√3/2不成立，而定義域為[0，√3/4]，由于二次函數圖象的對稱軸為x=3√3/8，√3/4與√3/2關于直線x=3√3/8對稱，因此得出同樣的結論.

教師：分析正確！--定要注意消元后的自變量的取值范圍，也就是x1的范圍交給x2控制了，所以x2的取值范圍為[0，√3/4].

生戊：將MN=√3/2投影到水平方向和豎直方向，利用點M的坐標表示點N的坐標，設M（x，y），M在邊BC上，且MN=V3，所以N（x-√3/4，y+3/4），求出√3/4≤x≤√3/2.于是AM·AN=x（x-√3/4）+（y+4/5）=4x2-5√3x+11/2.所以當x=√3/4時，AM·AN取最大值5/2;當x=√3/2時，AM·AN取最小值1.所以AM·AN的取值范圍為[1，5/2].

教師：很好！他的解法就是減少自變量，其實也就是向量MN的正交分解.

生己：原題的基底向量法中，不需要做這么多的輔助線，抓住AC=4AO，而2AO=a+b，因此AC=2（a+b），所以BC=a+2b.（下略）

教師：太棒了！生己的向量加法的幾何意義非常熟練，他抓住AC與AO的長度關系，挖掘題目的隱含條件，這樣就大大減少了運算量.因此，在求解平面幾何中的向量問題時，如果遇到困難，要注意思考以下問題：

1.題目所提供的信息都轉化成數學符號語言了嗎？這些信息之間的聯系“橋梁”是什么？

2.哪些線段是我們要研究的？題目中的主要線段的位置關系如何？幾何量之間有什么隱含關系？

3.我們利用什么策略求解？怎樣選擇基底向量？要研究的向量又如何線性表示呢？我們研究的平面圖形是正三角形、直角三角形、矩形、正方形、菱形、箏形等，就要考慮能否建立坐標系解決呢.

4.本題還有其他解法嗎？哪種方法最好？哪種方法是通性通法？

5.本題能否推廣？能否改編呢？等等.

實戰(zhàn)演練

1.如圖11，在△ABC中，C=90°，且AC=BC=3，點M滿足BM=2MA，則CM·CB=_____.

2.如圖12，在等腰直角三角形ABO中，OA=OB=1，C為AB上靠近點A的四等分點，過點C作AB的垂線l，P為垂線上

任一點，則OP·（OB-0A）=_____.

3.如圖13，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AD·AB=_____.

22，則AP·BP的值是

答案與解析

1.解析法一如圖14，建立平面直角坐標系.由題意知：A（3，0），B（0，3），設M（x，y），由BM=2MA，得

即M點坐標為（2，1），所以CM·CB=（2，1）·（0，3）=3.

法二CM·CB=（CB+BM）·CB=CB2+CB·（2/3BA）=CB2+2/3CB·（CA-CB）=1/3CB2=3.

2.解析依題意AB=√2，∠OAB=45°，又CP⊥AB，AC=1/4AB，所以OP·（OB-OA）=（OA+1/4AB+CP）·AB=OA·AB+1/4AB2+CP·AB=-1/2.

3.解析由題圖可得，AP=AD+DP=AD+1/4AB，BP=BC+CP=BC3/4CD=AD-3/4AB.所以AP·BP=（AD=1/4AB—）·（AD-3/4AB）=AD2-1/2AD·AB-3/16AB2=25-1/2x-3/16x=2.