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        例談化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

        2019-06-25 02:40:54姬小光
        讀寫算 2019年2期
        關(guān)鍵詞:化歸思想中學(xué)數(shù)學(xué)解題

        姬小光

        摘 要 化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中常用的一種重要思想,在解題時(shí)的應(yīng)用十分廣泛。本文通過例舉化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,如:解方程,求數(shù)列通項(xiàng),處理含參不等式,解三角函數(shù),解應(yīng)用題等。通過對這些題目的逐一分析,繼而總結(jié)出化歸思想解題的一般規(guī)律與原則,即通過將未知的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的知識、將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為簡單問題。

        關(guān)鍵詞?化歸思想;中學(xué)數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用

        中圖分類號:B027 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1002-7661(2019)02-0075-01

        化歸思想的最終目的是為了簡化求解過程,實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化?;瘹w思想以其高度的實(shí)用性和有效性,贏得了師生的一致認(rèn)可,是實(shí)現(xiàn)對學(xué)生綜合素養(yǎng)教學(xué)的重要手段。

        一、化歸思想的基本概念

        化歸思想是處理數(shù)學(xué)問題的一般思想方法,其核心是:在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),常常是將要解決的問題A通過某種轉(zhuǎn)化手段,歸結(jié)為另一個(gè)問題B,而問題B是相對較易解決或已有固定解決程式的問題,且通過對問題B的解決可得原問題A的解答?;瘹w的基本功能是:生疏化成熟悉、復(fù)雜化成簡單、抽象化成直觀、含糊化成明朗。

        二、化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

        (一)解方程

        例1.解方程(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15=0

        解:原方程可化為:

        (x2+8x+7)2+8(x2+8x+7)+15=0

        令y=x2+8x+7這樣,我們將解方程

        (x2+8x+7)(x2+8x+15)+15=0

        轉(zhuǎn)化為規(guī)范化方程y2+8y+15=0的形式。

        對于方程y2+8y+15=0可化為(y+3)(y+5)=0,

        可得方程的解為:?y=-3或y=-5。

        所以我們有x2+8x+7=-3或x2+8x+7=-5,繼而接著解兩個(gè)方程可得原方程的解:

        從上題我們可以看出:在解方程時(shí)對方程變量進(jìn)行替換把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程,再對低次方程進(jìn)行變形化為一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),使之納入原有的已經(jīng)解決的知識結(jié)構(gòu),這就是化歸。

        (二)求數(shù)列通項(xiàng)

        例2:設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,又 ???????,求an

        分析:因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí),an=Sn-S(n-1),所以2Sn=

        ,所以2Sn2-2SnSn-1=(Sn-Sn-12+1,所以Sn2-Sn-12=1,所以數(shù)列{Sn}的平方數(shù)列{Sn2}是公差為1的等差數(shù)列,易求S1=1,所以Sn2=n,因?yàn)閍n>0,所以 ?????,所以 ??????????????????。

        從上述兩題我們看到不少既非等差又非等比的數(shù)列,卻可以通過適當(dāng)?shù)淖冃危瘹w為一個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列或一個(gè)通項(xiàng)易求的數(shù)列,從而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式。

        (三)處理含參不等式

        函數(shù)與不等式關(guān)系密切,尤其是含參數(shù)的不等式問題,變量較多。遇到這類問題時(shí),我們應(yīng)如何處理呢?

        例3:如果2x-1>m(x2-1)對任意m∈[-2,2]都成立,求x的范圍。

        分析:解題時(shí)易想到,由原不等式解出x,再根據(jù)m的范圍確定x的范圍??梢韵胂?,此法解題過程非常煩瑣,很難解出結(jié)果。應(yīng)如何考慮呢?注意到m的范圍已確定,轉(zhuǎn)換一下角度,把所給不等式看成m的不等式如何?

        解:原不等式變形為:

        m(x2-1)-(2x-1)<0

        左邊顯然是m的一次函數(shù),記作f(m),

        由題知,f(m)<0對任m∈[-2,2]恒成立,由一次函數(shù)性質(zhì)只需

        即可,這樣便可解這個(gè)關(guān)于x的不等式組,從而得解:

        從上例可以看出,處理這類問題時(shí)我們不妨換個(gè)角度,可通過化歸思想,把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,反客為主。把我們熟悉的未知數(shù)看作參變量,而把原來的參數(shù)看作主元未知數(shù),分離變量,利用轉(zhuǎn)化思想把它化歸為函數(shù)問題,利用函數(shù)性質(zhì)即可輕松獲解。這樣處理,不但方法巧妙,而且過程簡單,有利于培養(yǎng)思維能力,提高解題能力。

        例4:某商店進(jìn)貨每件50元,據(jù)市場調(diào)查,銷售價(jià)格(每件x元)在50≤x≤80時(shí),每天售出的件數(shù)P=????。若想每天獲得的利潤最多,銷售價(jià)格每件應(yīng)為多少元?

        這是一個(gè)u關(guān)于????的二次函數(shù),當(dāng) ??????????????。

        即x=60(x∈[50,80])時(shí),u取最大值,故每件定價(jià)為60元時(shí),利潤最大為2500元。

        在這一題中我們先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,使之能用數(shù)學(xué)理論解決具體的實(shí)際問題,再在數(shù)學(xué)問題的解決中繼續(xù)應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化的思想,盡管上述方法轉(zhuǎn)化方向各不相同,但其實(shí)質(zhì)都是一樣的:盡量轉(zhuǎn)化為熟悉的知識或方便求解的問題上。

        從以上幾道例題我們可以總結(jié)出化歸思想解題的一般規(guī)律,即:生疏化成熟悉、復(fù)雜化成簡單、抽象化成直觀、含糊化成明朗。

        化歸思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,在數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)中有著十分重要的作用。通過分析化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用,我們總結(jié)出了化歸思想解題的一般規(guī)律,即對題目自身的特點(diǎn),遵循熟悉化、簡單化、特殊化等原則,化繁為簡,化難為易,從而達(dá)到解題的目的。

        參考文獻(xiàn):

        [1]凌健.化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008(2):115-117.

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