☉北京豐臺(tái)二中 甘志國

當(dāng)a是已知數(shù)時(shí)，如何求函數(shù)f（x）=sinx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，這是一個(gè)棘手的問題，文章將巧妙解決這一問題.

定理：（1）當(dāng)|a|≥1時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-ax有唯一零點(diǎn)，且為0.

（2）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-ax有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且為kπ（k∈Z）.

①若m∈N*，則函數(shù)f（x）=sinx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4m-1；

②若m?N*，則函數(shù)f（x）=sinx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4［m］+1.

①若n∈N*，則函數(shù)f（x）=sinx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4n+1；

②若n?N*，則函數(shù)f（x）=sinx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4［n］+3.

證明：（1）當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）=cosx-a≤0，所以f（x）是減函數(shù)；當(dāng)a≤-1時(shí)，f′（x）=cosx-a≥0，所以f（x）是增函數(shù).故得f（x）是單調(diào)函數(shù)，因而欲證結(jié)論成立.

（2）顯然成立.

（3）如圖1所示，若直線y=ax與曲線y=sinx（2kπ＜x≤（2k+2）π，k∈N） 相切，可得切點(diǎn) 的橫坐標(biāo) x0∈=k+1.

圖1

當(dāng)［m］∈N*時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于t的方程的根分別-1＜a＜0）是增函數(shù)，可得t［m］-1＜a＜t［m］，此時(shí)直線y=ax在兩條切線之間，進(jìn)而可得（fx）=sinx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4［m］+1.

（4）如圖2所示，若直線y=ax與曲線y=sinx（2kπ＜x≤（2k+2）π，k∈N） 相切，可得 切點(diǎn)的橫坐標(biāo) x0∈所 以x=2kπ+arccosa，0

圖2

當(dāng)［n］∈N*時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于t的方程+1（0＜t＜1）的根分別是t［n］，t［n］+1，再由y（0＜a＜1）是減函數(shù)，可得t［n］+1＜a＜t［n］，此時(shí)直線y=ax在兩條切線之間，進(jìn)而可得（fx）=sinx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4［n］+3.