☉浙江省溫嶺中學(xué) 陳 艷

突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，加強數(shù)學(xué)內(nèi)容重心的講解是我們教師的職責(zé)所在.章建躍曾說：數(shù)學(xué)教育要著重于“三個理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教育.對數(shù)學(xué)概念的理解是對數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)；對數(shù)學(xué)任務(wù)的理解是對學(xué)生理解的前提；對數(shù)學(xué)及學(xué)生的理解是對教育理解的根本.創(chuàng)立和剖析數(shù)學(xué)的內(nèi)容重心是對這“三個理解”的最好詮釋.

在數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)中，那些組成數(shù)學(xué)關(guān)鍵的結(jié)合點，例如定理、公式及概念，我們需要重點把握.有些結(jié)合點之間會有中斷，這就是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維中斷點，也是我們教學(xué)中的難點，學(xué)生的易錯點，所以這些中斷點就是我們教學(xué)中的關(guān)鍵點.本文將三角函數(shù)、函數(shù)、隨機變量等數(shù)學(xué)知識的中心內(nèi)容結(jié)合實踐來創(chuàng)立并剖析數(shù)學(xué)的重心——思維中斷點.

一、思維中斷點的創(chuàng)立和剖析——函數(shù)

在學(xué)習(xí)函數(shù)時，主要有這兩個中斷點：一個是函數(shù)有無解析式；一個是對f（x）的理解.初中是利用運動的觀點，從變量的角度給出函數(shù)的概念，這樣學(xué)生都只碰到類似于等這樣有具體解析式的函數(shù).但并不是所有的函數(shù)都有對應(yīng)關(guān)系，也不是所有的解析式都有兩個變量，這就是我們函數(shù)學(xué)習(xí)中的一個思維中斷點.

（1）下表是9名同學(xué)的考試成績，這是函數(shù)嗎？

高一某次檢測中某班第一小組9名學(xué)生的成績單學(xué)號 12 13 14 15 16 17 18 19 20成績 86 78 87 73 72 91 58 67 73

（2）圖1是股票的分時圖，這是函數(shù)嗎？

對于這兩道題而言，大部分高一的學(xué)生會覺得無從下手，因為這不符合他們初中所學(xué)的函數(shù)知識.因此，我們在教學(xué)過程中，要讓學(xué)生了解到并不是每一個函數(shù)都有它的解析式，也并不是每一個函數(shù)都能用圖像來表示.

圖1

學(xué)習(xí)函數(shù)時的另外一個思維中斷點是對f（x）的理解，這是因為f（x）可以是任何一個函數(shù)，而且學(xué)生也很難搞清楚何為f.其實f就是function的首字母，也就是功能，是將集合A中的x轉(zhuǎn)變成集合B中的f（x），也就是說f（x）是集合B與集合A中x相對應(yīng)的那個數(shù).從而讓學(xué)生了解到當(dāng)x確定了，f（x）也就確定了.

二、思維中斷點的創(chuàng)立和剖析——三角函數(shù)

在初中的課程中，學(xué)生學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，而從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的過程中就出現(xiàn)了一個中斷點，這也是我們在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)時的一個思維中斷點，同時也是教學(xué)中的重難點.所以，讓學(xué)生對銳角三角函數(shù)有一個新的認(rèn)識，是我們在講授這一內(nèi)容時的重中之重.

在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)時還存在一個思維中斷點，就是將終邊上的任一點放于單位圓和終邊相交的位置，這樣的點在學(xué)生眼中并不是任一點.所以，對于這樣的問題，要引導(dǎo)學(xué)生從相似三角形的角度來看待這個問題，讓他們理解一點：一個角的終邊的變化并不會改變這個角，而確定的角的三角函數(shù)也是唯一的.課堂上，可以通過坐標(biāo)、終邊及化簡這三個方面來講解任意三角函數(shù)的思維中斷點.我們在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)學(xué)過了函數(shù)，我們知道函數(shù)認(rèn)知的關(guān)鍵點在于它的三要素，那么對于三角函數(shù)而言也是一樣的，可具體的三角函數(shù)的三要素是什么還需要老師慢慢的引導(dǎo).

三、思維中斷點的創(chuàng)立和剖析——直線和平面垂直的判定

在直線和平面垂直的判定的學(xué)習(xí)過程中也有這樣幾個思維中斷點：①直線和平面垂直的定義.②用個別直線來取代平面內(nèi)的任意直線.在教學(xué)中，由于平面中的直線很難直觀看到，所以學(xué)生也就很難理解“直線與平面內(nèi)的所有直線垂直”，更何況平面內(nèi)的直線是無窮無盡的，無法通過幾條特殊直線來以偏概全.因此，課堂上可以通過圖2這種“立竿見影”的題目，讓學(xué)生加深理解.

這種題目通常會問這樣幾個問題：①圖2中AB與其地面上的影子BC形成了多少度的角？②隨著太陽的移動，AB在地面上的影子BC也會相應(yīng)的改變，那么改變后的影子還與AB垂直嗎？③AB與其地面上的影子BC始終垂直，那地面上不經(jīng)過B點的直線還與AB垂直嗎？

圖2

為了讓學(xué)生更好地理解這兩個思維中斷點，我們可以通過設(shè)置這樣一些問題來引導(dǎo)他們.

（1）直線和平面垂直可以只通過直線垂直平面內(nèi)的一條直線來判定嗎？

（2）直線和平面垂直可以通過直線垂直平面內(nèi)的兩條直線來判定嗎？

（3）直線和平面垂直可以通過直線垂直平面內(nèi)的無數(shù)條直線來判斷嗎？

（4）直線和平面垂直至少要直線與平面內(nèi)的幾條直線垂直？

（5）直線和平面垂直要滿足直線與平面內(nèi)的什么直線垂直？

四、思維中斷點的創(chuàng)立和剖析——隨機變量

學(xué)生通過學(xué)習(xí)早已將隨機變量印在自己的腦海以及意識中，并且在遇到一些問題時能夠隨機運用，只是可能學(xué)生自己心里還沒有一個清晰的認(rèn)知，沒有意識到自己已經(jīng)將隨機變量運用到自己的生活中了.因此雖然學(xué)生已經(jīng)在不知不覺中運用了隨機變量，但是要讓他們自己想出來，并將所有的試驗結(jié)果都數(shù)字化還是有一定難度的.這是因為要將所有的試驗結(jié)果數(shù)字化是需要學(xué)生對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一個很好的認(rèn)知，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)隨機變量時就出現(xiàn)了這樣的一個思維中斷點，將隨機變量的無意識運用轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸舛鵀橹@樣的一個過程.在平時的教學(xué)過程中，應(yīng)該不斷地通過一些具體的實例來促進學(xué)生對數(shù)量化意識的塑造，以及隨機變量意識的塑造.比如這樣一個簡單的試驗：拋擲一枚一元硬幣，拋擲硬幣的結(jié)果只會出現(xiàn)一正一反這兩種結(jié)果，可是這一正一反的結(jié)果并不具備數(shù)量的本質(zhì)，那要讓學(xué)生怎么順其自然地想要通過一些方法進行下一步的研究并且用很簡便的數(shù)字來體現(xiàn)一正一反的結(jié)果呢？在教學(xué)中，不斷拋出以下這樣的問題來讓學(xué)生自己思考何為隨機變量，以及它的定義是什么.

第一個問題：如果我們拋擲一枚骰子，那么可能會出現(xiàn)哪些結(jié)果，而又有哪些數(shù)字可以用來表示這些結(jié)果呢？

第二個問題：如果我們選擇一個英文字母來體現(xiàn)這些數(shù)字，就像我們選擇x來代表這些數(shù)字，那么x可以取哪些數(shù)值呢？

第三個問題：英文字母x具備哪些特點，而這些特點我們又可以怎樣理解呢？

以上的三個問題都可以構(gòu)造隨機變量概念上的形式.當(dāng)然，要對隨機變量進行更加深刻的理解，僅僅依靠這樣幾個問題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們還應(yīng)當(dāng)結(jié)合函數(shù)的知識點，同時還要探究離散型隨機變量的分布列等.

要結(jié)合函數(shù)的知識點來加深對隨機變量的理解，這又給學(xué)生在學(xué)習(xí)隨機變量上帶來了另一個思維中斷點.這是因為，函數(shù)代表的是變量之間確定的關(guān)系，但隨機變量代表的是變量之間并沒有確定的關(guān)系，隨機變量只是用來表示隨機現(xiàn)象所展現(xiàn)的規(guī)律，并不是想通過隨機變量來預(yù)料可能會出現(xiàn)的結(jié)果.有一點特別重要，我們通過隨機變量了解到結(jié)果的可能性或者說是結(jié)果的規(guī)定，但這并不意味著我們就能改變結(jié)果的隨機性.想通過一節(jié)課的時間就讓學(xué)生理解到概率統(tǒng)計中的不確定性是不可能的，這只能在漫長的學(xué)習(xí)生活中慢慢滲透.

我們在學(xué)習(xí)中的思維中斷點不可能只存在于這幾個地方，還有可能存在于一些銜接的知識點上.在教學(xué)中，我們應(yīng)該多多關(guān)注知識的思維中斷點，更好地銜接前后知識，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，讓他們更有動力地去學(xué)好數(shù)學(xué).講解這些思維中斷點是為了更好地理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，而思維中斷點的講解離不開綜合把握.這也就要求我們要在教育中，更多地關(guān)注學(xué)生的綜合發(fā)展，選擇與他們認(rèn)知規(guī)律一致的教學(xué)內(nèi)容和活動，讓他們的身心與學(xué)問共同發(fā)展.對老師而言，在教學(xué)中多多關(guān)注思維中斷點也能夠使其在教學(xué)中更加自然流暢；對學(xué)生而言，老師多多講解他們的思維中斷點，也能加強他們理解的效率，使課堂與教材銜接得更加自然.