黃廣華

摘 ?要：學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)包括學(xué)科事實(shí)概念、學(xué)科思想方法以及學(xué)科價(jià)值觀念等。從某種意義上說(shuō)，從學(xué)科知識(shí)到核心素養(yǎng)的演變、轉(zhuǎn)化，其根本旨趣就在于讓數(shù)學(xué)教學(xué)超越傳統(tǒng)“雙基”的桎梏，用學(xué)科思想或價(jià)值觀來(lái)引領(lǐng)教學(xué)、引領(lǐng)學(xué)生活動(dòng)。在這個(gè)過(guò)程中，教師要超越“冰冷的知識(shí)”，激活學(xué)生“火熱的思考”。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成過(guò)程是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)被重新發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑、批判、思想的過(guò)程。

關(guān)鍵詞：學(xué)科知識(shí);核心素養(yǎng);學(xué)科教學(xué)

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是當(dāng)下課程與教學(xué)改革的總的方向。面對(duì)信息社會(huì)的挑戰(zhàn)，以學(xué)科知識(shí)為核心、為邏輯的課程與教學(xué)正越來(lái)越困窘、越來(lái)越尷尬?！皬膶W(xué)科知識(shí)到核心素養(yǎng)”不是一句口號(hào)，而是實(shí)實(shí)在在的發(fā)展、改革趨向?！皬年P(guān)注學(xué)科到關(guān)注人，從關(guān)注知識(shí)到關(guān)注素養(yǎng)” [1]，需要教師智性的教學(xué)實(shí)踐。核心素養(yǎng)需要知識(shí)，但知識(shí)絕不等于核心素養(yǎng)。以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，核心素養(yǎng)是學(xué)生適應(yīng)社會(huì)的必備品格和關(guān)鍵能力。有專家認(rèn)為，新課標(biāo)所提出的十大核心概念就是核心素養(yǎng)，具體包括數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí);也有專家認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括六大方面，就是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。無(wú)論怎樣分析，都表明數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是單一的，而是一個(gè)具有多層次、多結(jié)構(gòu)的復(fù)合體。本文以《圓的周長(zhǎng)》為例，試探學(xué)生掌握學(xué)科事實(shí)性知識(shí)到形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過(guò)程嬗變。

一、知性認(rèn)知：從核心素養(yǎng)視角設(shè)置教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)的原點(diǎn)和歸宿，對(duì)教學(xué)有著導(dǎo)向性作用。教學(xué)目標(biāo)不僅涉及知識(shí)性目標(biāo)，更涉及能力性目標(biāo)、情意性目標(biāo)等;不僅涉及基礎(chǔ)性目標(biāo)，而且涉及發(fā)展性目標(biāo)、提升性目標(biāo)等;不僅有短期目標(biāo)，更有長(zhǎng)期目標(biāo)等。盡管這些目標(biāo)內(nèi)容、表現(xiàn)形態(tài)不同，但都指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成。

確立數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，必須有兩方面的觀照：其一是對(duì)學(xué)科知識(shí)邏輯的觀照;其二是對(duì)學(xué)生具體學(xué)情的觀照 [2]。學(xué)科事實(shí)性知識(shí)邏輯屬于本體性知識(shí)，是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分。盡管學(xué)科本體性知識(shí)并不是學(xué)科素養(yǎng)，但學(xué)科素養(yǎng)一定離不開學(xué)科本體性知識(shí)。沒(méi)有學(xué)科本體性知識(shí)，學(xué)科素養(yǎng)就是無(wú)源之水、無(wú)本之木。由此，觀照數(shù)學(xué)學(xué)科本體性知識(shí)也就是確定教學(xué)目標(biāo)的必然。對(duì)于《圓的周長(zhǎng)》知識(shí)而言，教師既要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“周長(zhǎng)”“圓的周長(zhǎng)”等陳述性知識(shí)，也要讓學(xué)生掌握測(cè)量圓的周長(zhǎng)等操作性、程序性知識(shí);既要讓學(xué)生理解測(cè)量圓的周長(zhǎng)的化曲為直的顯性知識(shí)，要讓學(xué)生感悟圓出于方、方出于矩等蘊(yùn)含極限思想的隱性知識(shí)。這些程序性知識(shí)、隱性知識(shí)等是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)核，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)中慢慢感悟，對(duì)學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)揮著潛在作用。

比如測(cè)量圓的周長(zhǎng)的程序性知識(shí)，就需要引導(dǎo)學(xué)生思考“怎樣才算滾了一整圈”（做記號(hào)、滾動(dòng)時(shí)不能打滑等），引導(dǎo)學(xué)生思考“用線繞著圓一周時(shí)要注意什么？”（線要盡量貼著圓的周長(zhǎng)等）。在這個(gè)過(guò)程中，有學(xué)生甚至感悟到“應(yīng)該用盡量大一些的圓做實(shí)驗(yàn)，因?yàn)閳A越大誤差越小因而探究出的圓周率越精準(zhǔn)”。再比如感悟極限思想的隱性知識(shí)，需要教師運(yùn)用多媒體課件動(dòng)態(tài)展示劉徽的割圓術(shù)，從正六邊形到正十二邊形，從正十二邊形到正二十四邊形……。在割圓的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)“看”，能對(duì)“正多邊形無(wú)限接近圓”“正多邊形就是圓”等形成本質(zhì)直觀，進(jìn)而感悟到“極限”的鮮活思想。這種極限思想的感悟，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)圓的面積、圓柱的體積等都具有重要的意義和價(jià)值。

觀照學(xué)生具體學(xué)情，主要是指教師要認(rèn)識(shí)學(xué)生“已經(jīng)認(rèn)識(shí)了什么”“還應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)什么”“怎樣進(jìn)行這種認(rèn)識(shí)”等，在知識(shí)上、技能上、思想方法上，等等。如筆者在教學(xué)前，通過(guò)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)知道了圓周率的存在，部分學(xué)生知道圓周率用π表示，少部分學(xué)生知道圓周率就是圓的周長(zhǎng)和直徑的比值，但學(xué)生對(duì)圓的周長(zhǎng)沒(méi)有進(jìn)行過(guò)動(dòng)手的探究，因而對(duì)圓周率的理解比較膚淺，停留在“知道”層面。從效果上說(shuō)，學(xué)科知識(shí)邏輯是確定教學(xué)目標(biāo)的邏輯起點(diǎn)，而學(xué)生具體學(xué)情是確定教學(xué)目標(biāo)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。

基于對(duì)學(xué)科知識(shí)邏輯和學(xué)生具體學(xué)情的把脈，筆者在教學(xué)中設(shè)置了這樣的教學(xué)目標(biāo)：①在感知圓滾動(dòng)過(guò)程中認(rèn)識(shí)圓周上的點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線，并能描述這種路線;②通過(guò)“滾圓法”“繞圓法”探索圓的周長(zhǎng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、操作、分析、比較的能力;③深入理解圓周率的意義，感受、體驗(yàn)圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。這樣的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置，既關(guān)注了數(shù)學(xué)知識(shí)，更關(guān)注了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、智性實(shí)踐：從核心素養(yǎng)視角展開教學(xué)設(shè)計(jì)

理性思考是智性實(shí)踐的前提。只有對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行深度思考，才能展開有效的教學(xué)設(shè)計(jì)。如果說(shuō)教學(xué)目標(biāo)是一種規(guī)劃，那么教學(xué)設(shè)計(jì)就是構(gòu)建藍(lán)圖 [3]。核心素養(yǎng)視野下的教學(xué)設(shè)計(jì)是基于教學(xué)目標(biāo)的，是為了學(xué)生發(fā)展的，是指向?qū)W生、借助學(xué)生、成全學(xué)生的。從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，在學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上展開。通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，從而建構(gòu)學(xué)生可能性學(xué)習(xí)。

1. 在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”中形成學(xué)法

①看一看：課件出示學(xué)生生活中圓形物體中的圓，比如圓鏡的鑲邊框，讓學(xué)生感知圓的周長(zhǎng)，也就是一周邊線的長(zhǎng)度。

②摸一摸：教師出示學(xué)生已學(xué)圖形，要求學(xué)生指出它們的周長(zhǎng)。在此基礎(chǔ)上出示圓形，同樣要求學(xué)生指出周長(zhǎng)。在比畫過(guò)程中，學(xué)生能感受、體驗(yàn)到已學(xué)圖形的周長(zhǎng)（直線）和圓形周長(zhǎng)（曲線）的聯(lián)系和區(qū)別。

③測(cè)一測(cè)：這些圖形的周長(zhǎng)怎樣測(cè)量呢？已學(xué)的直線圖形的周長(zhǎng)可以運(yùn)用直尺直接測(cè)量，而圓形的周長(zhǎng)是曲線，又應(yīng)怎樣測(cè)量呢？從而激發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生探究，從而導(dǎo)引出“滾圓法”和“繞圓法”。

通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生已學(xué)會(huì)了測(cè)量圓的周長(zhǎng)。通過(guò)測(cè)量，學(xué)生能深刻感受、體驗(yàn)到圓是一種曲線圖形，領(lǐng)悟到“化曲為直”的思想方法。

2. 在“圓的軌跡”中激發(fā)沖突

對(duì)于教學(xué)來(lái)說(shuō)，測(cè)量圓的周長(zhǎng)不是目的，而是探究圓周率的手段。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，有學(xué)生會(huì)形成這樣的認(rèn)知，即對(duì)于任何一個(gè)圓，都可以運(yùn)用測(cè)量的方法求得周長(zhǎng)。教學(xué)中，筆者設(shè)置了這樣的環(huán)節(jié)：

1. 轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：用一個(gè)細(xì)的繩子系住重物，然后甩動(dòng)重物，形成一個(gè)圓形的軌跡。

2. 想一想：對(duì)于軌跡圓，如何“測(cè)量”出其周長(zhǎng)呢？什么決定圓的周長(zhǎng)的長(zhǎng)短？

3. 猜一猜：探究圓的周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系，或者探究圓的周長(zhǎng)和半徑的關(guān)系。

4. 算一算：圓的周長(zhǎng)和直徑的商。

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生計(jì)算圓的周長(zhǎng)和直徑的比值一定會(huì)產(chǎn)生不一致。具體而言，這是由于兩方面的原因：其一是由于學(xué)生測(cè)量工具、測(cè)量材料、觀察等主觀性因素的影響;其二是由于圓周率π本身就是一個(gè)無(wú)理數(shù)（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)），這就從根本上決定了學(xué)生計(jì)算圓的周長(zhǎng)和直徑的比值不是一個(gè)確定的數(shù)。面對(duì)不一致，教師不是被動(dòng)回避，而是正面引導(dǎo)，讓學(xué)生深度思考：為什么圓的周長(zhǎng)和直徑的比值是一個(gè)不確定的數(shù)。如此，不僅提升學(xué)生的操作技能，而且有助于激發(fā)學(xué)生思考。

3. 在“數(shù)據(jù)思辨”中建構(gòu)知識(shí)

教學(xué)中，筆者設(shè)置了這樣的一個(gè)環(huán)節(jié)，就是讓學(xué)生對(duì)每個(gè)小組計(jì)算的圓的周長(zhǎng)和直徑的比值進(jìn)行研討。

問(wèn)題1：圓的周長(zhǎng)與直徑之間有沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系？

問(wèn)題2：如果有倍數(shù)關(guān)系，為什么會(huì)各不相同？如果沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系，為什么又會(huì)接近某一個(gè)數(shù)值？

通過(guò)這樣的思辨，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓的周長(zhǎng)和直徑之間有著明確的倍數(shù)關(guān)系，但是這種倍數(shù)關(guān)系不同于以前的整數(shù)倍、小數(shù)倍，而是不同的數(shù)，從而讓學(xué)生感受、體驗(yàn)圓周率的存在。

4. 在“歷史回望”中清晰認(rèn)知

在學(xué)生感受到圓的周長(zhǎng)和直徑的比值的存在后，筆者運(yùn)用多媒體課件向?qū)W生介紹圓周率，從而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)求真精神。比如向?qū)W生介紹《周髀算經(jīng)》中的“周三徑一”說(shuō)法，向?qū)W生介紹劉徽的“割圓術(shù)”，向?qū)W生介紹祖沖之對(duì)圓周率的探索，向?qū)W生介紹英國(guó)數(shù)學(xué)家瓊斯用π來(lái)表示圓周率的故事，向?qū)W生介紹德國(guó)數(shù)學(xué)家朗伯證明圓周率π是一個(gè)無(wú)理數(shù)的故事，向?qū)W生介紹德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明圓周率是一種超越數(shù)的故事，向?qū)W生介紹現(xiàn)代計(jì)算機(jī)已經(jīng)將圓周率計(jì)算精確到小數(shù)點(diǎn)后十萬(wàn)億位，等等。

三、理性思考：從核心素養(yǎng)視角促發(fā)教學(xué)反思

對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，圓周率知識(shí)屬于一種“超驗(yàn)性”知識(shí)，但卻可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)性猜想、驗(yàn)證、探究等活動(dòng)，讓學(xué)生觸摸到圓周率內(nèi)核、靈魂。著眼于“圓周率”這樣的學(xué)科本體性知識(shí)，教師完全可以運(yùn)用“單刀直入”式的教學(xué)方式，在學(xué)生測(cè)量、計(jì)算基礎(chǔ)上告訴。但這樣的教學(xué)，不利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括主動(dòng)質(zhì)疑、理性思辨、深度探究等能力，對(duì)此學(xué)生不得不向教師妥協(xié)。而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓周率知識(shí)進(jìn)行深度探究，讓學(xué)生經(jīng)歷人類探索知識(shí)的歷程，重走人類探究圓周率的關(guān)鍵之路，就能提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) [4]。

學(xué)科核心素養(yǎng)至少呈現(xiàn)為三種形態(tài)，即“結(jié)果形態(tài)”“過(guò)程形態(tài)”和“價(jià)值形態(tài)”。從結(jié)果上看，學(xué)科核心素養(yǎng)是由事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)以及方法性知識(shí)、價(jià)值性知識(shí)等構(gòu)成的一種“層級(jí)結(jié)構(gòu)” [5]。就《圓的周長(zhǎng)》這一課的教學(xué)而言，認(rèn)識(shí)圓周長(zhǎng)、認(rèn)識(shí)圓周率π都是一種事實(shí)性知識(shí)，而探究圓的周長(zhǎng)、計(jì)算圓的周長(zhǎng)和直徑的比值等是一種方法性知識(shí)，如何運(yùn)用圓周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算的知識(shí)則屬于一種價(jià)值性知識(shí);從過(guò)程上看，學(xué)科核心素養(yǎng)是由事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)以及方法性知識(shí)、價(jià)值性知識(shí)等組成的“順序結(jié)構(gòu)”，比如從“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”到“認(rèn)知沖突”，從“數(shù)據(jù)思辨”到“歷史回望”，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)逐步提升、深化的過(guò)程。比如對(duì)于圓的周長(zhǎng)與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系進(jìn)行思辨，就具有一種問(wèn)題價(jià)值，正是通過(guò)思辨圓的周長(zhǎng)和直徑之間的倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生才能感悟到圓周率的真諦，即圓周率既是客觀存在的，其小數(shù)部分的數(shù)的出現(xiàn)又是沒(méi)有規(guī)律的。而運(yùn)用軌跡圓喚起學(xué)生對(duì)圓的周長(zhǎng)與直徑關(guān)系、圓的周長(zhǎng)與半徑關(guān)系的猜想，就具有很深的價(jià)值旨趣，它讓學(xué)生明確了為什么要探究圓的周長(zhǎng)與直徑之間的關(guān)系;從價(jià)值上看，學(xué)科核心素養(yǎng)是事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)以及方法性知識(shí)、價(jià)值性知識(shí)組成的“層核結(jié)構(gòu)”，其中以探究圓周率為載體，讓學(xué)生形成“極限思想”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)核，這個(gè)內(nèi)核具有包攝性、遷移性，是一種“高觀點(diǎn)”“大觀念”“深思想”，這些觀點(diǎn)、觀念、思想等就是學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，它們是超越數(shù)學(xué)事實(shí)性知識(shí)的。

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)包括學(xué)科事實(shí)概念、學(xué)科思想方法以及學(xué)科價(jià)值觀念等。從某種意義上說(shuō)，從學(xué)科本體知識(shí)到核心素養(yǎng)的演變、轉(zhuǎn)化，其根本旨趣就在于讓數(shù)學(xué)教學(xué)超越傳統(tǒng)的“雙基”的桎梏 [6]，用學(xué)科思想或?qū)W科價(jià)值觀來(lái)引領(lǐng)教學(xué)，從學(xué)科思想和學(xué)科價(jià)值觀角度來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)或者說(shuō)來(lái)引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)。在這個(gè)過(guò)程中，教師要超越“冰冷的本體性知識(shí)”，激活學(xué)生“火熱的數(shù)學(xué)思考” [7]。在數(shù)學(xué)本體性知識(shí)被重新發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑、批判和運(yùn)思過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)悄然生成！

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