薛占熬，呂敏杰，韓丹杰，張 敏

1.河南師范大學(xué) 計算機與信息工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007

2.“智慧商務(wù)與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)”河南省工程實驗室，河南 新鄉(xiāng) 453007

1 引言

粗糙集由Pawlak[1]提出，主要用于處理不完備、不確定、不精確性信息。近年來，粗糙集發(fā)展非常迅速，被廣泛應(yīng)用到其他領(lǐng)域，且得到很多粗糙集擴展模型。比如，程度粗糙集[2]、粗糙直覺模糊集[3-5]和雙論域粗糙集[6-7]等。Xue等[4]將覆蓋、多粒度理論引入到粗糙直覺模糊集模型中，提出了多粒度覆蓋粗糙直覺模糊集模型。薛占熬等[5]進一步研究和討論了粗糙直覺模糊集截集理論，將其應(yīng)用于評估小麥生長趨勢。另外，劉慧等[7]用矩陣研究了雙論域粗糙集，并通過實驗驗證該方法可簡化下、上近似的表達方式。Lu等[8]討論了二型模糊粗糙集的粒度結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了雙論域二型模糊粗糙集模型。Luo等[9]提出了雙論域粗糙直覺模糊集模型，研究了相關(guān)的不確定性度量。雙論域粗糙集[10]理論被應(yīng)用于處理實際問題。Sun等[10]結(jié)合了多粒度模糊粗糙集與雙論域理論，構(gòu)造了基于雙論域的多粒度模糊粗糙集模型，應(yīng)用其處理衣服排序多標(biāo)準(zhǔn)群體決策問題。

Yao等[2]于1996年提出了粗糙集的擴展模型——程度粗糙集。很多學(xué)者對程度粗糙集[11-15]進行了研究，取得了豐碩的成果。張賢勇等[11]從廣義程度粗糙集出發(fā)，定義了程度粗糙集，且對程度粗糙集的內(nèi)部構(gòu)造、算子進行了研究，同時討論了知識約簡的內(nèi)容。Huang等[12]將直覺模糊β鄰域理論與直覺模糊β覆蓋粗糙集結(jié)合，提出了直覺模糊程度覆蓋粗糙集理論。沈家蘭等[13]和汪小燕等[14]分別構(gòu)造了可變程度多粒度粗糙集和不完備加權(quán)程度多粒度粗糙集。另外，以程度粗糙集和雙論域為基礎(chǔ)，閻瑞霞等[15]研究了雙論域粗糙集的不確定性度量。Huang等[16]以直覺模糊信息系統(tǒng)為基礎(chǔ)，研究了優(yōu)勢關(guān)系，分別提出了優(yōu)勢直覺模糊信息系統(tǒng)的概念和優(yōu)勢直覺模糊信息系統(tǒng)的廣義優(yōu)勢粗糙集模型。

在直覺模糊序信息系統(tǒng)上，本文將程度粗糙集與粗糙直覺模糊集結(jié)合，引入優(yōu)勢關(guān)系，構(gòu)造出基于優(yōu)勢關(guān)系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集模型。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合雙論域理論，構(gòu)造了基于優(yōu)勢關(guān)系的I型、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集模型。并進一步研究了基于優(yōu)勢關(guān)系的雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵。最后，通過實例分析驗證了所提模型的有效性。

2 基礎(chǔ)知識

為更好地處理不確定性問題，Yao等[2]提出了程度粗糙集模型。Rizvi等[17]于2002年提出了粗糙直覺模糊集模型及直覺模糊信息系統(tǒng)。具體定義如下：

定義1[2](U,R)為近似空間，設(shè)k是非負整數(shù)，R是論域U上的等價關(guān)系，X?U，在論域U上定義X關(guān)于k的下近似和上近似分別為：

定義2[17]設(shè)(U,R)為一個近似空間，R是U上的一個等價關(guān)系，設(shè)B是一個直覺模糊集，則B關(guān)于(U,R)的一對下近似和上近似分別為：

定義3[17]直覺模糊信息系統(tǒng)是一個四元組(U,A,V,f)，其中U是一個非空有限論域，A是一個非空有限屬性集，V是所有直覺模糊值組成的集合，信息函數(shù)f是一個從U×A到V的映射，使得對任意的x∈U和a∈A，有fa(x)=(μa(x),νa(x))∈V，其中，ua(x):U→[0,1],νa(x):U→[0,1]分別稱為論域U中元素x關(guān)于屬性a的隸屬度和非隸屬度。顯然A(x)= {＜x,μa(x),νa(x)＞|x∈U}，是論域U上的一個直覺模糊集。

定義4[18]設(shè)(U,A,V,f)是一個直覺模糊信息系統(tǒng)，若在某個屬性值域上建立偏序關(guān)系，則稱這個屬性為一個準(zhǔn)則。當(dāng)直覺模糊信息系統(tǒng)中所有的屬性都為準(zhǔn)則時，則稱該系統(tǒng)為直覺模糊序信息系統(tǒng)，記作I≥=(U,A,V,f)。

3 基于優(yōu)勢關(guān)系的程度粗糙直覺模糊集模型

若記

3.1 基于優(yōu)勢關(guān)系的I型程度粗糙直覺模糊集

定義6設(shè)(U,A,V,f)是一個直覺模糊序信息系統(tǒng)，設(shè)X?U，a∈A，R是論域U上的等價關(guān)系，集合X關(guān)于知識R形成程度粗糙集。設(shè)μB(x)、νB(x)為論域U上元素x關(guān)于屬性a形成的一個直覺模糊集B的隸屬度和非隸屬度，則關(guān)于k（k為非負整數(shù)）的基于優(yōu)勢關(guān)系的I型程度粗糙直覺模糊集的下、上近似定義為：

當(dāng)k≥1時：

其中：

當(dāng)k=0時，程度粗糙集退化為經(jīng)典粗糙集，則μB′(y)和νB′(y)退化成由經(jīng)典粗糙集計算的閾值，此時模型仍具有有效性。

3.2 基于優(yōu)勢關(guān)系的II型程度粗糙直覺模糊集

定義7設(shè)(U,A,V,f)是一個直覺模糊序信息系統(tǒng)，其中X?U，a∈A，R是論域U上的等價關(guān)系，集合X關(guān)于知識R形成程度粗糙集。B為論域U上元素x關(guān)于屬性a形成的直覺模糊集，則關(guān)于k（k為非負整數(shù)）的基于優(yōu)勢關(guān)系的II型程度粗糙直覺模糊集定義為：

當(dāng)k≥1時：

其中：

當(dāng)k=0時，程度粗糙集退化為經(jīng)典粗糙集，則μB′(y)和νB′(y)就退化成由經(jīng)典粗糙集構(gòu)造的閾值，此時模型仍具有有效性。

例1設(shè)(U,A,V,f)是一個直覺模糊序信息系統(tǒng)，其中a∈A,?B∈IF(U),X?U，其中論域U上的劃分C={{x1,x2,x5},{x3,x4},{x8,x9},{x6,x7,x10}},X={x3,x6,x8,x10}。設(shè)論域U上的直覺模糊集B為：

計算B的基于優(yōu)勢關(guān)系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集。

步驟1設(shè)k=1，則可以計算出μB′(y)和νB′(y)為：

根據(jù)

得μB′(y)=0.3 ，νB′(y)=0.3 。

步驟2根據(jù)定義6，計算基于優(yōu)勢關(guān)系的I型程度粗糙直覺模糊集模型的隸屬度如下：

根據(jù)以上計算可以選出滿足條件的隸屬度：

同理，可以計算出非隸屬度，過程略。

步驟3對基于優(yōu)勢關(guān)系的I型程度粗糙直覺模糊集模型，根據(jù)定義5，可以得其優(yōu)勢類，如下所示：

步驟4根據(jù)定義6，則可得基于優(yōu)勢關(guān)系的I型程度粗糙直覺模糊集中滿足μB(y)≥μB′(y),νB(y)≤νB′(y)的優(yōu)勢類如下：

步驟5計算B的基于優(yōu)勢關(guān)系的I型程度粗糙直覺模糊集模型：

步驟6重復(fù)步驟2～4，根據(jù)定義7，可以計算出B的基于優(yōu)勢關(guān)系的II型程度粗糙直覺模糊集。

定理1設(shè)(U,A,V,f)是一個直覺模糊序信息系統(tǒng)，設(shè)a,b∈A，A,B∈IF(U)，則基于優(yōu)勢關(guān)系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集的下、上近似具有以下性質(zhì)：

證明

（1）根據(jù)定義6、定義7易證，過程略。

因μA?B′(y)、μA′(y)、μB′(y)的值是根據(jù)R-程度粗糙集得出，故μA?B′(y)=μA′(y)=μB′(y)，于是

這里僅證明第一個性質(zhì)，同理可證余下的性質(zhì)，過程略。

4 基于優(yōu)勢關(guān)系的雙論域程度粗糙直覺模糊集模型

在第3章中，提出了基于優(yōu)勢關(guān)系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集模型。在本章中，將基于優(yōu)勢關(guān)系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集模型與雙論域粗糙直覺模糊集模型融合，構(gòu)造出基于優(yōu)勢關(guān)系的I型、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集模型。

定義8[20]設(shè)(U,V,R)為一般近似空間，分別定義映射Rs:U→P(V)和Rp:V→P(U)如下：

其中，Rs(x)、Rp(y)分別表示論域U中的元素x關(guān)于R的后繼鄰域，論域V中的元素y關(guān)于R的前繼鄰域。

定義9[21]設(shè)(U,V,R)為一般近似空間，對于任意的X?U和Y?V，則X和Y的下、上近似分別為：

定義10[22-23]設(shè)R是U到V上的一般二元關(guān)系，則有：

（1）對于任意的x∈U，存在一個y∈V，R(x,y)=1，則R是串行的。

（2）對于任意的y∈V，存在一個x∈U，滿足R(x,y)=1，則R是逆串行的。

定義11[10]設(shè)(U,V,R)是雙論域一般近似空間，對任意的A∈IF(U)，B∈IF(V)，則直覺模糊集A、B的下、上近似為：

其中：

4.1 基于優(yōu)勢關(guān)系的I型雙論域程度粗糙直覺模糊集

定義12設(shè)(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統(tǒng)，其中U、V為兩個論域，其中AU、AV為U、V上的非空屬性集。信息函數(shù)fU、fV分別為U×AU和V×AV到VAU和VAV的映射，對a∈AU,x∈U和b∈AV,y∈V，有fa(x)=(μa(x),νa(x))∈VAU和fb(y)=(μb(y),νb(y))∈VAV。A、B關(guān) 于 屬 性a、b在U、V上是直覺模糊集?；陔p論域的直覺模糊序信息系統(tǒng)的優(yōu)勢關(guān)系可以定義如下：

若記：

定義13設(shè)(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統(tǒng)，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關(guān)系，集合X、Y關(guān)于知識RU、RV構(gòu)成程度粗糙集。對于任意的A∈IF(U),B∈IF(V)，則基于優(yōu)勢關(guān)系的I型雙論域程度粗糙直覺模糊集的下、上近似分別為：

當(dāng)k≥1時：

其中：

當(dāng)k=0時，程度粗糙集退化為經(jīng)典粗糙集，則μRU(A)′(x)、νRU(A)′(x)和μRV(B)′(y)、νRV(B)′(y)就退化為由經(jīng)典粗糙集構(gòu)造的閾值，此時模型仍具有有效性。

4.2 基于優(yōu)勢關(guān)系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集

定義14設(shè)(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統(tǒng)，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關(guān)系，集合X、Y關(guān)于知識RU、RV構(gòu)成程度粗糙集。對于任意的A∈IF(U),B∈IF(V)，則基于優(yōu)勢關(guān)系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的下、上近似定義為：

當(dāng)k≥1時：

其中：

當(dāng)k=0，程度粗糙集退化為經(jīng)典粗糙集，則μRU(A)′(x)和νRU(A)′(x)、μRV(B)′(y)和νRV(B)′(y)就退化為由經(jīng)典粗糙集模型計算的閾值，此時模型仍具有有效性。

定理2設(shè)(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統(tǒng)，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關(guān)系，集合X、Y關(guān)于知識RU、RV構(gòu)成程度粗糙集。對于任意的A1,A2∈IF(U),B1,B2∈IF(V),則基于優(yōu)勢關(guān)系的I型、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集具有如下性質(zhì)：

證明

因μRU(A1?A2)′(x)、μRU(A1)′(x)、μRU(A2)′(x)的值是根據(jù)RU-程度粗糙集得出，故μRU(A1?A2)′(x)=μRU(A1)′(x)=μRU(A2)′(x)，于是

同理，可知非隸屬度有如下關(guān)系：

同理可證（1）中余下性質(zhì)及（2）～（4）的性質(zhì)。

定理3設(shè)(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊信息系統(tǒng)，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關(guān)系，集合X、Y相對知識RU、RV構(gòu)成程度粗糙集。對于任意的A1,A2∈IF(U),B1,B2∈IF(V),A1?A2,B1?B2，則基于優(yōu)勢關(guān)系的I型、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集具有如下性質(zhì)：

證明根據(jù)定義13、定義14，易知定理3成立。

4.3 基于優(yōu)勢關(guān)系的雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵

定理 4[24]設(shè)論域U={x1,x2,…,xn},A={＜x,μA(xi),νA(xi)＞|xi∈X}是定義在U上的一個直覺模糊集，A的模糊熵E(A)為：

其中，fA(xi)=1-|μA(xi)-νA(xi)|,πA(xi)=1-μA(xi)-νA(xi)。

定義15設(shè)(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統(tǒng)，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關(guān)系，集合X、Y關(guān)于知識RU、RV構(gòu)成程度粗糙集。則對于任意的A∈IF(U),B∈IF(V)，則直覺模糊集A的模糊熵可定義為：

另外，可類似定義直覺模糊集B的模糊熵及基于優(yōu)勢關(guān)系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵。

5 實例分析

設(shè)U和V分別表示癥狀和疾病的集合。A1、A2、A3分別由1、2、3號患者的癥狀構(gòu)成3個直覺模糊集。μ′(x)、ν′(x)通過程度粗糙集計算得出。

設(shè)U={x1,x2,x3,x4,x5,x6},V={y1,y2,y3,y4,y5,y6}分別為6種癥狀與疾病的集合，其中，癥狀與疾病的關(guān)系可見表1。R是U×V上的一般二元關(guān)系，假設(shè)對于任意的xi∈U，存在一個yi∈V，滿足R(xi,yj)=1，按定義，理解為如表現(xiàn)癥狀xi，則患有疾病yj。根據(jù)編號1、2、3患者的癥狀，可以分別得到每位患者的癥狀的3個劃分如下：C1={{x1,x2},{x4},{x3,x5,x6}},C2={{x1},{x2,x3,x4},{x5,x6}},C3={{x1,x2},{x3,x5},{x4,x6}}。設(shè)X={x4,x5,x6}。

Table1 Relation of symptoms and diseases表1 癥狀與疾病的關(guān)系

步驟1首先設(shè)k為1，由C1、C2、C3的劃分，分別可得如下所示的程度粗糙集：

由定義13、定義14，可得μ′(x)、ν′(x)如下：

步驟2由表1，可以得到y(tǒng)i的前繼鄰域：

步驟3根據(jù)基于雙論域的直覺模糊序信息系統(tǒng)的優(yōu)勢關(guān)系的定義可得A1、A2、A3的優(yōu)勢類為：

步驟4根據(jù)步驟1～步驟3，計算每位患者的基于優(yōu)勢關(guān)系的I型雙論域程度粗糙直覺模糊集，結(jié)果如下所示：

步驟5根據(jù)步驟1～步驟3，計算基于優(yōu)勢關(guān)系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集如下：

步驟6根據(jù)1～3號患者的基于優(yōu)勢關(guān)系的I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的結(jié)果，分析3位患者的病情，可得以下的結(jié)論：

（1）根據(jù)I型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：1號患者患y1、y2、y3、y4、y6疾病確定為 (y1,0.8,0),(y2,0.6,0),(y3,0.8,0),(y4,0.9,0),(y6,0.8,0)，患有y1、y2、y3、y4、y6疾病可能為(y1,0.8,0),(y2,0.8,0),(y3,0.8,0),(y4,0.9,0),(y6,0.8,0)。然后，根據(jù)II型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：患有y5疾病確定為(y5,0.2,0.7)，患y5疾病可能為(y5,0.2,0.7)。通過分析以上兩個模型的結(jié)果，確定1號患者沒有患y5疾病。

（2）根據(jù)I型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：2號患者患y1、y3、y4、y5、y6疾病確定為 (y1,0.4,0.5),(y3,0.4,0.5),(y4,0.8,0.2),(y5,0.6,0.4),(y6,0.4,0.5)，患y1、y3、y4、y5、y6疾病可能為 (y1,0.7,0.2),(y3,0.7,0.2),(y4,0.8,0.2),(y5,0.6,0.4),(y6,0.4,0.5)。然后，根據(jù)II型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：患y2、y6疾病確定為(y2,0.2,0.6),(y6,0.2,0.5)，患y2、y6疾病可能為(y2,0.2,0.5),(y6,0.2,0.5)。通過分析以上兩個模型的結(jié)果，確定2號患者沒有患y2疾病。

（3）根據(jù)I型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：3號患者患y1、y3、y4、y6疾病確定為(y1,0.5,0.2),(y3,0.5,0.2),(y4,0.7,0.2),(y6,0.5,0.2),患有y1、y3、y4、y6疾病可能為(y1,0.6,0.2),(y3,0.6,0.2),(y4,0.7,0.2),(y6,0.5,0.2)。然后，根據(jù)II型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：患有y1、y2、y5、y6疾病確定為 (y1,0.3,0.6),(y2,0.3,0.6),(y5,0.1,0.6),(y6,0.3,0.6) ，患y1、y2、y5、y6疾病可能為(y1,0.3,0.6),(y2,0.3,0),(y5,0.1,0.6),(y6,0.3,0.6)。通過分析以上兩個模型的結(jié)果，確定3號患者沒有患y2、y5疾病，由于y1、y6種疾病在I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集模型中都有出現(xiàn)，故還需進一步確認。

步驟7由定義15，可計算基于優(yōu)勢關(guān)系的I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵，這里僅計算基于優(yōu)勢關(guān)系的I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集A1的模糊熵，并將其與原模型的模糊熵作比較。

此為計算的原模型A1的模糊熵：

故，可得基于優(yōu)勢關(guān)系的I型雙論域程度粗糙直覺模糊集A1的模糊熵為：

由以上的計算可得：E′(A1)≤E(A1)。

同理，可以計算基于優(yōu)勢關(guān)系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵值。

由以上分析可知，當(dāng)k=1時，根據(jù)基于優(yōu)勢關(guān)系的I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集模型，確定1號患者沒有患y5疾?。淮_定2號患者沒有患y2疾??；確定3號患者沒有患y2、y5疾病，y1、y6種疾病還需進一步確認。通過以上的模型分析，可以排除患者患某種疾病，這樣可以減少患者進行不必要的檢查，也有利于醫(yī)生合理地安排其他疾病的診斷治療，因此基于優(yōu)勢關(guān)系的I、II型雙論域程度粗糙集模型具有一定的現(xiàn)實意義。且實例證明了模型的模糊熵比原模型的小。另外，可以根據(jù)實際需要設(shè)置μ′(y)和ν′(y)的大小，來滿足現(xiàn)實需求。

6 結(jié)束語

經(jīng)典粗糙直覺模糊集模型中只取與x相關(guān)的集合中的最小/最大隸屬度，而介于最小/最大之間的隸屬度與非隸屬度并沒有起作用，通過與兩個閾值比較，讓介于最小/最大之間的隸屬度與非隸屬度發(fā)揮作用。本文基于粗糙直覺模糊集、雙論域粗糙直覺模糊集理論，提出了基于優(yōu)勢關(guān)系的I、II型程度粗糙直覺模糊集和基于優(yōu)勢關(guān)系的I、II型雙論域程度粗糙集直覺模糊集模型。同時，分析討論了各個模型的性質(zhì)。最后通過實例對模型進行分析驗證。下一步的工作是對區(qū)間模糊集與程度粗糙集的相關(guān)內(nèi)容進行研究與討論。