許錦艷

摘 要：數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的個(gè)人感受、體會(huì)和領(lǐng)悟的綜合，它不能通過(guò)同伴傳遞或集體訓(xùn)練獲得。教師要立足于學(xué)生終身發(fā)展的需要，在教學(xué)中通過(guò)觀察、操作、探究、思考、運(yùn)用等有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而完成由簡(jiǎn)單的傳授知識(shí)和訓(xùn)練技能到幫助學(xué)生形成自身智慧的轉(zhuǎn)變。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 積累 策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的課程目標(biāo)中明確提出“四基”要求，即使學(xué)生“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。[1]數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思想方法因此走入了更多的數(shù)學(xué)教育者的視線，它與之前的“兩基”——基本知識(shí)和基本技能并重，成為了數(shù)學(xué)教育教學(xué)追求的目標(biāo)之一。然而，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)又不同于基本知識(shí)技能，知識(shí)可以被傳遞，技能可以被練習(xí)，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不能被傳遞，不能被練習(xí)，它是學(xué)習(xí)者個(gè)人的親身經(jīng)歷和感悟的累積；數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也不同于數(shù)學(xué)能力，能力可以被訓(xùn)練、被細(xì)化，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則更為綜合，沒(méi)有直接載體可以檢測(cè)經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)弱或有無(wú)?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是不能通過(guò)傳遞或訓(xùn)練而獲得的，它是學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的個(gè)人感受、體會(huì)和領(lǐng)悟的綜合。學(xué)生只有經(jīng)歷觀察、操作、探究、思考、運(yùn)用等有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，才能有效地積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)中的案例，就如何有效幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)談?wù)剮c(diǎn)思考和做法。

一、在觀察中，積累學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

歐拉（L.Euler）指出：“今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀察所發(fā)現(xiàn)的……只有觀察才使我們知道這些性質(zhì)。”波利亞（G.Polya）也提到：“一個(gè)名副其實(shí)的科學(xué)家應(yīng)致力于從已知的經(jīng)驗(yàn)中引出最正確的信念來(lái)，并為了建立關(guān)于某個(gè)問(wèn)題的正確信念而積累最正確的經(jīng)驗(yàn)?？茖W(xué)家處理經(jīng)驗(yàn)的方法，通常稱(chēng)作歸納法……歸納法常常從觀察開(kāi)始，一個(gè)生物學(xué)家會(huì)觀察鳥(niǎo)類(lèi)的生活，一個(gè)晶體學(xué)家會(huì)觀察晶體的形狀，一個(gè)對(duì)數(shù)論感興趣的數(shù)學(xué)家會(huì)觀察整數(shù)1 2 3 4 5……的性質(zhì)?！盵2]觀察是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)獲得的初始階段。人的認(rèn)知過(guò)程是經(jīng)歷從感性上升到理性、從具體到抽象的過(guò)程，觀察是認(rèn)知的第一步。

日本數(shù)學(xué)家小平邦彥說(shuō)，理解數(shù)學(xué)就要觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象。數(shù)學(xué)中的觀察不僅僅限于直接觀察，還應(yīng)包括對(duì)頭腦中已有的認(rèn)知進(jìn)行重組、再加工的過(guò)程。因此，數(shù)學(xué)的觀察有兩個(gè)維度：一是“異中求同”，即觀察到事物的共性、特性，觀察共性是為了發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，進(jìn)行歸類(lèi)，觀察特性是為了區(qū)分事物，進(jìn)行分類(lèi)；二是“同中求異”，即觀察到事物間的關(guān)系。在教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)觀察的經(jīng)驗(yàn)，除了要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察事物的共性與特性，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察事物間的關(guān)系，比如數(shù)與數(shù)間的關(guān)系、圖形與圖形間的關(guān)系。這是學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的第一步，這種經(jīng)驗(yàn)的獲得是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的前提。

以人教版三上《平行四邊形和梯形》為例，教材意圖學(xué)生在學(xué)習(xí)平行與垂直的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、比較，抽象概括出圖形各自定義的目的。基于這樣的認(rèn)識(shí)，這節(jié)課設(shè)計(jì)了4次觀察活動(dòng)：第一次觀察，“平行四邊形和梯形最大的區(qū)別是什么？”學(xué)生在最直觀的觀察活動(dòng)中揭示了平行四邊形和梯形特征的關(guān)鍵；第二次觀察，“哪些四邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，怎樣的平行四邊形和梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形？”這里的觀察對(duì)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形的特征起到螺旋助推的作用；第三次觀察，“分別用4根4厘米的小棒和2根6厘米2根4厘米的小棒，圍成的四邊形的形狀為什么是千姿百態(tài)的？”學(xué)生多角度的觀察實(shí)現(xiàn)了對(duì)知識(shí)的多角度的把握，深化了對(duì)圖形特征的掌握。第四次觀察，“任意的四邊形改變什么條件就能變成梯形？梯形改變什么條件就能成為平行四邊形？平行四邊形又如何轉(zhuǎn)變?yōu)殚L(zhǎng)方形、正方形？”把圖形放在大背景下讓學(xué)生觀察，條件的改變使學(xué)生看清了圖形與圖形之間的關(guān)聯(lián)。更有利于學(xué)生從整體上把握知識(shí)的脈絡(luò)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。在經(jīng)歷了以上4次由淺入深的觀察過(guò)程，學(xué)生不僅獲得了有形的和無(wú)形的知識(shí)，還體驗(yàn)到了多層次、多角度的觀察經(jīng)驗(yàn)和方法，從而享受到了物質(zhì)和精神上雙豐收的愉悅。

二、在操作中，豐盈學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“在手和腦之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，這些聯(lián)系起著兩個(gè)方面的作用，一個(gè)是手幫助腦得到發(fā)展，幫助它們更加的明智；另一個(gè)是腦幫助手得到發(fā)展，使它變成聰明的創(chuàng)造的工具，變成一個(gè)鏡子和思維工具。”這種說(shuō)法主要闡明：動(dòng)手操作是思維的起點(diǎn)，是智慧的起源?！爸腔圩詣?dòng)作發(fā)端”， 數(shù)一數(shù)、摸一摸、畫(huà)一畫(huà)、量一量、剪一剪、拼一拼等操作活動(dòng)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的多種感官參與。學(xué)生在操作過(guò)程中可以對(duì)學(xué)習(xí)材料獲得最直接的感受和體驗(yàn)，當(dāng)這種感覺(jué)和體驗(yàn)累積到一定的水平時(shí)，便形成了學(xué)生自身獨(dú)有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這種操作的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，一般體現(xiàn)的是直接獲取的經(jīng)驗(yàn)，它的價(jià)值不是問(wèn)題的解決，而是對(duì)學(xué)習(xí)材料的感性認(rèn)知，它是構(gòu)建個(gè)人理解不可或缺的重要一環(huán)。

以人教版四下《三角形的認(rèn)識(shí)》為例，這節(jié)課的重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)三角形的高和掌握畫(huà)高的技能。課本對(duì)三角形的高的定義是發(fā)生式的定義，“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高?！笨梢?jiàn)，對(duì)高的定義的理解一定要通過(guò)操作。而學(xué)生已具備了平行四邊形的畫(huà)高的經(jīng)驗(yàn)。基于以上兩點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，在教學(xué)方式上，把這節(jié)課定位為側(cè)重技能的操作，又不單純傳授畫(huà)高技能，在動(dòng)態(tài)操作中感悟三角形變化，高也隨著變化。于是，創(chuàng)設(shè)了這樣的操作活動(dòng)：①畫(huà)一個(gè)任意的三角形，畫(huà)出它一條邊上的高，學(xué)生交流互查，指定學(xué)生板演畫(huà)高。學(xué)生會(huì)在實(shí)際畫(huà)高中遇到對(duì)點(diǎn)、對(duì)邊的困難。教師在這里特地創(chuàng)設(shè)的操作活動(dòng)及等待，使全班同學(xué)都在活動(dòng)中領(lǐng)悟了畫(huà)高的要領(lǐng)。②將學(xué)生的作品進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作。學(xué)生通過(guò)操作就認(rèn)識(shí)到了三角形的高與位置無(wú)關(guān)，抽象出了三角形高的本質(zhì)，同時(shí)認(rèn)識(shí)到三角形有三條高。③畫(huà)一組等底、等高的四個(gè)三角形的高。學(xué)生畫(huà)高中進(jìn)行了動(dòng)態(tài)想象。把直角三角形巧妙地設(shè)計(jì)在最后一個(gè)，學(xué)生在操作與想象中就自然地認(rèn)識(shí)了直角三角形直角邊上的高。④三角形頂點(diǎn)的連續(xù)動(dòng)態(tài)變化（上下左右），高又是怎樣變化的。使學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角形高與頂點(diǎn)、底的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到鈍角三角形的高。⑤通過(guò)一條高，想象出三角形、平行四邊形的活動(dòng)，溝通畫(huà)三角形的高與平行四邊形的高以及畫(huà)點(diǎn)到直線的垂直線段之間的聯(lián)系。以上的這些操作活動(dòng)，實(shí)實(shí)在在地把畫(huà)高的技能落到實(shí)處，還培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力。

三、在探究中，內(nèi)化數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

蘇霍姆林斯基還說(shuō)過(guò)：“在人的心靈最深處，通常都有一個(gè)根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、探索者和研究者?！盵3]一般地，在小學(xué)生的精神世界中，這種需要是尤其強(qiáng)烈的。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，最重要的是親身體驗(yàn)整個(gè)探究過(guò)程，這是一個(gè)鍛煉思維、增長(zhǎng)能力的過(guò)程，也是一個(gè)知識(shí)重現(xiàn)和再生的過(guò)程。其中，既有外顯的行為活動(dòng)，也有內(nèi)在的思維活動(dòng)。從學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果看是獲得了經(jīng)驗(yàn)，從過(guò)程上看則是一個(gè)積極的經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化的過(guò)程。這就要求教師為學(xué)生提供足夠的時(shí)間和空間，讓他們充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué)，以達(dá)到內(nèi)化數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目的。

如人教版五年級(jí)下冊(cè)《軸對(duì)稱(chēng)》的教學(xué)，設(shè)計(jì)了這樣的探究過(guò)程：探究（1），“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的游戲，把獨(dú)眼龍的眼睛點(diǎn)上去，并想一想為什么這樣點(diǎn)，從而得出了龍的兩只眼睛應(yīng)該在水平線上，并且到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等這個(gè)特點(diǎn)。學(xué)生初步感知了軸對(duì)稱(chēng)圖形等距性的特征；探究（2），畫(huà)出“松樹(shù)”圖案的對(duì)稱(chēng)軸，有什么辦法檢驗(yàn)所畫(huà)的是對(duì)稱(chēng)軸。通過(guò)給松樹(shù)找對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)一步完善、內(nèi)化了對(duì)稱(chēng)圖形的基本性質(zhì)；探究（3），選擇一個(gè) “小草”圖案與另一個(gè)“小草”圖案成軸對(duì)稱(chēng)，移動(dòng)“小草”圖案，它的對(duì)稱(chēng)圖形怎么移。促使學(xué)生更深層次地理解對(duì)稱(chēng)圖形的基本性質(zhì)，深化了數(shù)學(xué)的感悟。

四、在思考中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

史中寧教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵是“感悟了歸納推理和演繹推理過(guò)程中積淀形成的數(shù)學(xué)思維模式?！盵4]正如數(shù)學(xué)觀察要能“異中求同”和“同中求異”，數(shù)學(xué)思考也要“求同”和“求異”，也就是說(shuō)，需要經(jīng)歷和體驗(yàn)“歸納推理”和“演繹推理”的過(guò)程。史教授還指出，“就中小學(xué)生而言，這種數(shù)學(xué)思維模式主要表現(xiàn)為從特例入手、嘗試性探索和歸納猜想一般規(guī)律或結(jié)論?！盵4]這種嘗試“猜想、歸納、表達(dá)、驗(yàn)證或證明”的數(shù)學(xué)思維模式，是小學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在思維活動(dòng)過(guò)程中，“學(xué)生體驗(yàn)、感受、體會(huì)”的核心是經(jīng)歷完整數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程后，所感悟到的“猜想——檢驗(yàn)猜想——修正猜想”的歸納推理過(guò)程，以及證明猜想的演繹推理過(guò)程，在經(jīng)歷和感悟中形成一定的數(shù)學(xué)思維模式，并提升一定的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

以《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》的教學(xué)為例。學(xué)生的起點(diǎn)是，已經(jīng)掌握了除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系以及商不變的規(guī)律。這節(jié)課可以采用“遷移猜想——驗(yàn)證猜想——修正猜想”的方法教學(xué)。第一步，遷移猜想。學(xué)生根據(jù)商不變的性質(zhì)寫(xiě)出除法算式，把算式的商改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系和商不變的性質(zhì)，猜想分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。第二步，驗(yàn)證猜想，歸納新知。學(xué)生先獨(dú)立思考驗(yàn)證1/2=2/4，交流得到畫(huà)圖形（或折紙）、畫(huà)線段圖、轉(zhuǎn)化除法計(jì)算、商不變的性質(zhì)等方法；學(xué)生再次用以上方法驗(yàn)證自己所想的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等；最后歸納得出了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。第三步，修正猜想，完善規(guī)律?？磿?shū)討論理解為什么“同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)，0要除外”。教師基于學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，利用知識(shí)的遷移類(lèi)推，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的過(guò)程。這樣的教學(xué)，關(guān)注了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注了數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，也關(guān)注了學(xué)生的學(xué)習(xí)后勁。

五、在運(yùn)用中，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

朱德全教授認(rèn)為，“知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是問(wèn)題解決過(guò)程中，通過(guò)非認(rèn)知的激活作用以及由此促成的認(rèn)知內(nèi)化作用在強(qiáng)化和鞏固后生成的應(yīng)用意識(shí)……認(rèn)知內(nèi)化作用通過(guò)多次鞏固和強(qiáng)化后便生成應(yīng)用意識(shí)，應(yīng)用意識(shí)的生成便是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)形成的標(biāo)志?！盵5]可見(jiàn)，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)反映的是一種過(guò)程性。每一個(gè)階段的學(xué)習(xí)都是基于學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，是對(duì)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的鞏固、強(qiáng)化、深化、完善和發(fā)展。只有當(dāng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)清晰化、條理化、系統(tǒng)化的提升，才能形成對(duì)以后類(lèi)似情境與活動(dòng)具有指導(dǎo)作用的數(shù)學(xué)能力。

例如，六年級(jí)下冊(cè)《整理與復(fù)習(xí)》中的《空間與圖形》的例4之后做一做：“怎樣量出一個(gè)馬鈴薯的體積？”解決這個(gè)問(wèn)題需要學(xué)生運(yùn)用等積變形轉(zhuǎn)化的策略。如果學(xué)生已經(jīng)具備了這種應(yīng)用意識(shí)，便能順利作答，反之，則說(shuō)明尚需引導(dǎo)。教師在給予了學(xué)生激活已有經(jīng)驗(yàn)的等待時(shí)間后，可以對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行提示：剛才我們回憶了圓柱體、圓錐體的體積學(xué)習(xí)，在之前學(xué)習(xí)中用到了什么方法？“一語(yǔ)驚醒夢(mèng)中人”，尚無(wú)頭緒的學(xué)生頭腦中的等積變形的轉(zhuǎn)化策略就被瞬間激活。此時(shí)，學(xué)生思緒飛揚(yáng)，不斷涌現(xiàn)出新的設(shè)想、新的見(jiàn)解，很快想出利用轉(zhuǎn)化的策略求出土豆體積的方法。在運(yùn)用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從模糊到清晰、從混亂到系統(tǒng)的這樣質(zhì)的飛躍，學(xué)生真正成為了一個(gè)探索者和發(fā)現(xiàn)者。

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程和結(jié)果的統(tǒng)一，強(qiáng)調(diào)學(xué)生個(gè)體的親身經(jīng)歷和感悟。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，它貫穿于學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)，影響著學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)始終是綜合性的，是彌補(bǔ)數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能的不足，是教育發(fā)展的必然。史寧中教授認(rèn)為，“所有學(xué)過(guò)的東西遺忘后留下的是什么？數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是重要的一部分。”因此，我們要立足于學(xué)生終身發(fā)展的需要，在教學(xué)中通過(guò)觀察、操作、探究、思考、運(yùn)用等有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而完成由單純的傳授知識(shí)和訓(xùn)練技能到幫助學(xué)生形成自身智慧的轉(zhuǎn)變。

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