葉翠桃

[摘 ?要] 面向初中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)培育，要從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素的角度去進(jìn)行細(xì)致的分析，當(dāng)前數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的要素之一是數(shù)學(xué)抽象. 在經(jīng)典理解下，數(shù)學(xué)抽象強(qiáng)調(diào)學(xué)科特征，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)抽象的出發(fā)點(diǎn)是數(shù)學(xué)研究對(duì)象，而落腳點(diǎn)則是數(shù)學(xué)概念等. 在數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)舍棄事物的非數(shù)學(xué)屬性，只留下數(shù)學(xué)屬性. 在核心素養(yǎng)視角下，數(shù)學(xué)抽象可以從心理學(xué)角度認(rèn)識(shí)，即數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程分為“認(rèn)識(shí)——內(nèi)化——應(yīng)用”等三個(gè)階段. 未來(lái)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)本著核心素養(yǎng)培育的需要，也應(yīng)當(dāng)積極借鑒腦科學(xué)的研究成果，并將其與數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合在一起，這可能是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的一個(gè)重要思路.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;經(jīng)典理解;核心素養(yǎng)

當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點(diǎn)之一，毫無(wú)疑問(wèn)是核心素養(yǎng). 面向初中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)培育，要從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素的角度去進(jìn)行細(xì)致的分析，當(dāng)前數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的要素之一是數(shù)學(xué)抽象. 數(shù)學(xué)抽象這個(gè)概念其實(shí)教師并不陌生，就算是從教很多年的數(shù)學(xué)教師也都知道數(shù)學(xué)抽象這個(gè)概念，因此數(shù)學(xué)抽象實(shí)際上是一個(gè)非常傳統(tǒng)的概念，將數(shù)學(xué)抽象納入數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的范疇，說(shuō)明數(shù)學(xué)抽象確實(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要元素. 那么在核心素養(yǎng)背景之下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，最好就要能夠?qū)?shù)學(xué)抽象有一個(gè)系統(tǒng)的了解. 于是筆者提出了從傳統(tǒng)到現(xiàn)代的角度去探究數(shù)學(xué)抽象的思路，并且進(jìn)行了實(shí)踐.

關(guān)注數(shù)學(xué)抽象經(jīng)典理解

首先應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到的是，數(shù)學(xué)抽象是抽象的下位概念，而所謂的抽象，就是指在對(duì)事物進(jìn)行研究的過(guò)程中，舍棄若干具體事物中個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽出它們共同的本質(zhì)屬性. 相對(duì)于抽象而言，數(shù)學(xué)抽象強(qiáng)調(diào)學(xué)科特征，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)抽象的出發(fā)點(diǎn)是數(shù)學(xué)研究對(duì)象，而落腳點(diǎn)則是數(shù)學(xué)概念等. 在數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)舍棄事物的非數(shù)學(xué)屬性，只留下數(shù)學(xué)屬性. 當(dāng)然這樣的定義只是用于教師，既可以促進(jìn)教師對(duì)數(shù)學(xué)抽象有一個(gè)準(zhǔn)確的理解，對(duì)于學(xué)生而言，教師要努力的方向是，通過(guò)有效的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，只要學(xué)生能夠體驗(yàn)一個(gè)有效的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，那么他們的數(shù)學(xué)抽象能力就能得到有效的培養(yǎng).

以上是從宏觀的角度，對(duì)數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)典理解做出的闡述，在傳統(tǒng)與經(jīng)典的視野中，如果進(jìn)一步細(xì)化，那么數(shù)學(xué)抽象還有這樣一些含義：

其一，數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程往往是舍棄事物和現(xiàn)象的質(zhì)的過(guò)程，而保留事物和現(xiàn)象量的屬性. 這是一個(gè)很重要的理解，尤其是對(duì)“量”的理解，決定了數(shù)學(xué)抽象的質(zhì)量，而且特別需要注意的是，這里所說(shuō)的“量”，不絕對(duì)是指數(shù)量. 我們知道，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，數(shù)固然屬于量的范疇，而抽象之后的數(shù)學(xué)意義角度的形，本質(zhì)上也屬于量的范疇. 比如初中數(shù)學(xué)中常常遇到的三角形、圓形等，它們雖然是圖形，但是卻只是一種沒(méi)有現(xiàn)實(shí)屬性而只有數(shù)學(xué)屬性的空間形式，這種形式也屬于量的范疇，是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果.

其二，數(shù)學(xué)抽象雖然是抽象的下位概念，但是數(shù)學(xué)抽象的程度卻高于一般的抽象. 其實(shí)在人們的生活當(dāng)中，抽象也一直是發(fā)生的，但是這種抽象往往只是低水平的抽象，數(shù)學(xué)抽象強(qiáng)調(diào)將非數(shù)學(xué)的特征剝離干凈，只留下純粹數(shù)學(xué)的那部分. 比如初中數(shù)學(xué)中的數(shù)軸，看起來(lái)是一個(gè)形象的圖形，但是實(shí)際上在用它來(lái)表示數(shù)的時(shí)候，可以發(fā)現(xiàn)其中任何一個(gè)元素都不是多余的，而且少一個(gè)也是不行的. 這種簡(jiǎn)化到了極致的表示數(shù)的方法，很大程度上就是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果. 因此從這個(gè)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)抽象既有可能是從形象事物走向抽象事物的過(guò)程，也有可能是人基于數(shù)學(xué)研究的需要，直接用抽象的方法建立起來(lái)的數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程.

其三，數(shù)學(xué)抽象需要具體的方法的支撐. 要想剝離事物或者對(duì)象的非數(shù)學(xué)元素，沒(méi)有方法的支撐是不可能的. 早在20世紀(jì)90年代就有研究者指出，數(shù)學(xué)抽象本質(zhì)上是一種建構(gòu)活動(dòng)，這種建構(gòu)活動(dòng)是需要運(yùn)用到基本的數(shù)學(xué)思想方法的，但同時(shí)又是超越這些方法的. 在設(shè)計(jì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象體驗(yàn)活動(dòng)的時(shí)候，要高度關(guān)注學(xué)生的建構(gòu)活動(dòng).

綜合上面三點(diǎn)，筆者的觀點(diǎn)是，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)走向核心素養(yǎng)的時(shí)候，將數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)典理解進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的梳理，是為了讓教師能夠在對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解中站穩(wěn)腳跟，同時(shí)將研究的視野轉(zhuǎn)向核心素養(yǎng)之后，能夠更好地知道數(shù)學(xué)抽象的來(lái)龍去脈.

核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)抽象

然后將目光轉(zhuǎn)移到核心素養(yǎng)及其培育的背景之下，看看初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)抽象應(yīng)當(dāng)如何理解. 可以肯定地講，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中最重要的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)抽象的心理學(xué)過(guò)程分為“認(rèn)識(shí)——內(nèi)化——應(yīng)用”等三個(gè)階段. 教師在教學(xué)過(guò)程中可以與之對(duì)應(yīng)地從概念、總結(jié)、類比能力以及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力等途徑實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)目標(biāo). 這樣的判斷，可以讓一線教師比較清晰地界定核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)抽象概念.

這里以“軸對(duì)稱”這一知識(shí)的分析來(lái)說(shuō)明. 軸對(duì)稱是初中數(shù)學(xué)中比較典型的“形”，在學(xué)生的生活當(dāng)中，有著很多軸對(duì)稱的事物，對(duì)于初中學(xué)生而言，讓他們?nèi)ゼ庸み@些案例，然后進(jìn)行抽象，就可以得到數(shù)學(xué)意義上的軸對(duì)稱概念. 那么在教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候，就要注重這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：

一是認(rèn)識(shí). 認(rèn)識(shí)的過(guò)程主要是加工形象事物的過(guò)程，在教軸對(duì)稱這一知識(shí)的時(shí)候，首先要給學(xué)生提供豐富的軸對(duì)稱事物，如人的外表、中國(guó)的傳統(tǒng)建筑、臉譜、風(fēng)箏、剪紙、窗花等;然后還要給足學(xué)生時(shí)間，讓他們自己去尋找軸對(duì)稱. 在這樣一個(gè)過(guò)程中，教師不必強(qiáng)調(diào)軸對(duì)稱這一概念，只需要用案例引導(dǎo)學(xué)生，以幫助他們建立感性認(rèn)識(shí).

二是內(nèi)化. 內(nèi)化的過(guò)程是數(shù)學(xué)抽象過(guò)程的核心，先研究上面所舉的例子中事物的共同特征——對(duì)折后能夠重合，然后建立起“軸對(duì)稱圖形”的概念，進(jìn)而建立“對(duì)稱軸”這一概念. 其后，將這些研究對(duì)象中的非數(shù)學(xué)屬性去除，比如去除具體的顏色、形狀等，通過(guò)分析與歸納的方法，得出軸對(duì)稱就是“一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊之后，能夠與另一個(gè)圖形重合”，到了這個(gè)時(shí)候，學(xué)生大腦當(dāng)中就不應(yīng)當(dāng)是具體的事物，而應(yīng)當(dāng)是抽象后的圖形. 此時(shí)還有一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，就是讓學(xué)生對(duì)自己所舉的例子進(jìn)行抽象，然后在大腦中去構(gòu)建出軸對(duì)稱的情形.

三是應(yīng)用. 經(jīng)過(guò)了上述努力，學(xué)生已經(jīng)通過(guò)數(shù)學(xué)抽象建立起了軸對(duì)稱的認(rèn)識(shí)，這個(gè)認(rèn)識(shí)是需要鞏固的，鞏固軸對(duì)稱概念的過(guò)程，也就是深化數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程. 對(duì)于軸對(duì)稱概念而言，最有效的應(yīng)用就是讓學(xué)生去畫出軸對(duì)稱圖形，教學(xué)設(shè)計(jì)中可以遵循循序漸進(jìn)的原則，先讓學(xué)生去畫一個(gè)點(diǎn)的軸對(duì)稱點(diǎn)，然后再畫一條線的軸對(duì)稱線，最后再給出三角形或者四邊形，等等. 從教學(xué)方式的角度來(lái)看，還可以采用小組合作的方式，讓小組之內(nèi)的學(xué)生互相出題——這是一個(gè)非常有效的教學(xué)方式，因?yàn)闊o(wú)論是對(duì)于出題的學(xué)生而言，還是對(duì)于答題的學(xué)生而言，都需要在大腦當(dāng)中去尋找一個(gè)自己能夠解決，同時(shí)又對(duì)同學(xué)具有一定挑戰(zhàn)性的圖形，這實(shí)際上呼應(yīng)著數(shù)學(xué)抽象經(jīng)典理解中的“建構(gòu)”. 而且這個(gè)建構(gòu)過(guò)程是在學(xué)生獨(dú)立于教師之后，完全通過(guò)自身的自主思考完成的，因而這是一個(gè)抽象特征非常明顯的過(guò)程，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力來(lái)說(shuō)非常有效.

通過(guò)這個(gè)例子可以看出，核心素養(yǎng)視角下的數(shù)據(jù)抽象，既具有傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)抽象特征，同時(shí)又有著明確的素養(yǎng)特征，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象往往總是與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)其他要素結(jié)合在一起的，這相對(duì)于數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)典理解而言是一種拓展與提升.

面向未來(lái)的數(shù)學(xué)抽象教學(xué)

值得一提的是，雖然《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》對(duì)初中生的核心素養(yǎng)沒(méi)有明確界定，目前的研究文獻(xiàn)也多數(shù)是針對(duì)高中生核心素養(yǎng)的研究，但作為義務(wù)教育的重要學(xué)段，本著增強(qiáng)學(xué)生核心數(shù)學(xué)能力，以及初高中銜接為高中輸送更多合格的具有成長(zhǎng)性的人才的目的，研究核心素養(yǎng)又是非常必要的. 而且可以肯定的是，即將頒布的初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中，必然會(huì)存在數(shù)學(xué)抽象這一要素. 因此此時(shí)借鑒其他學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理解，尤其是從傳統(tǒng)的角度以及現(xiàn)代的角度，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行細(xì)致的研究，可以幫助初中數(shù)學(xué)教師有效地叩響核心素養(yǎng)的大門. 回到數(shù)學(xué)抽象本身，梳理它的經(jīng)典理解與現(xiàn)代理解，筆者還發(fā)現(xiàn)有人從腦科學(xué)的角度對(duì)抽象進(jìn)行了研究，得出的結(jié)論是抽象活動(dòng)的基本步驟為分離屬性與建構(gòu)模型——概括與一般化——定義與符號(hào)化——系統(tǒng)化. 筆者就想，未來(lái)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)本著核心素養(yǎng)培育的需要，也應(yīng)當(dāng)積極借鑒腦科學(xué)的研究成果，并將其與數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合在一起，這可能是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的一個(gè)重要思路. 綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，既在未來(lái)，也在眼前. 以數(shù)學(xué)學(xué)科中最為典型的數(shù)學(xué)抽象這一特征作為切入口，可以奠定學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)，也可以奠定核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ).