王 鑫 張樹瑋 陳孟琪

(常州市第三中學(xué),江蘇 常州 213000)

1 問題的提出

在剛剛結(jié)束的2019年南京、鹽城高三一模物理考試中,命題者命制了一道情境新穎的力學(xué)計(jì)算題.這道力學(xué)計(jì)算題以連接體模型為載體,設(shè)問十分巧妙.筆者在初次解答此題時(shí)思路與參考解答完全相同,后經(jīng)仔細(xì)推敲發(fā)現(xiàn)這道精彩試題的參考答案存在比較明顯的問題.筆者后來(lái)也了解到南京市的物理同仁在面對(duì)這個(gè)問題時(shí)也有很多爭(zhēng)議.基于以上情況,筆者對(duì)此題中出現(xiàn)的自洽性問題進(jìn)行了較為深入的定量分析,并對(duì)原題給出的參考解答進(jìn)行了修正,希望能起到拋磚引玉的作用.

2 原題呈現(xiàn)

圖1

如圖1所示,在水平面上有一傾角為30°的斜面體,質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛,細(xì)線與斜面平行,水平推力作用在斜面體上,使整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài),所有的接觸面均為光滑.當(dāng)撤去水平推力后,小球推動(dòng)斜面體向左運(yùn)動(dòng),經(jīng)t1時(shí)間兩者分離.分離后再經(jīng)過(guò)t2時(shí)間小球第一次向左擺動(dòng)到最大高度,此時(shí),細(xì)線偏離豎直方向30°.重力加速度取g.求:

(1) 撤去水平推力前,細(xì)線所受的力F.

(2) 撤去水平推力后到兩者分離的過(guò)程中,小球減小的機(jī)械能ΔE.

(3) 撤去水平推力后到小球第一次向左擺到最高處的過(guò)程中,斜面體發(fā)生的位移大小x.

參考答案解答如下.

(1) 對(duì)小球受力分析,根據(jù)平衡條件列式得

(2) 對(duì)小球,從最右邊擺動(dòng)到最左邊的過(guò)程中

ΔE=mgL(1-cos60°)-mgL(1-cos30°),

(3)t1時(shí)間內(nèi)斜面體發(fā)生的位移為x1,

小球在最低點(diǎn)與斜面體分離時(shí),兩者速度相等,斜面體以后做勻速直線運(yùn)動(dòng).t2時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移為x2.小球從最低點(diǎn)向左擺動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中根據(jù)機(jī)械能守恒列式得

所以斜面體發(fā)生的位移為

3 質(zhì)疑與分析

原題給出的參考解答中明確指出小球在圓周運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)與斜面體分離,后續(xù)的解答都是建立在這一條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析.筆者不禁疑惑,小球與斜面體分離的位置為何是在最低點(diǎn)?是否可能出現(xiàn)小球到達(dá)最低點(diǎn)前兩物體已經(jīng)分離的情況呢?基于這些疑問,筆者從兩種不同的角度進(jìn)行了分析與論證.

3.1 小球分離位置的定量分析方法1

利用小球與斜面之間的速度關(guān)聯(lián)和兩物體分離時(shí)加速的臨界情況進(jìn)行分析.

撤去水平推力后,斜面體與小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.設(shè)小球下擺過(guò)程中,細(xì)線與水平方向的夾角為θ,小球的角速度為ω,速度大小為v1,斜面體的速度大小為v2,為了方便計(jì)算設(shè)斜面體的質(zhì)量為km.根據(jù)機(jī)械守恒定律列式有

圖2

小球圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v1=ωL.小球在與斜面體分離以前,利用速度投影定理如圖2所示,兩物體在垂直斜面方向的分速度相等,則

v1cos(θ-30°)=v2sin30°.

聯(lián)立3式得

圖3

單獨(dú)對(duì)小球分析,小球在做復(fù)雜的非勻速圓周運(yùn)動(dòng).小球在與斜面體分離前,對(duì)斜面體的壓力始終存在,分離瞬間小球?qū)π泵骟w的壓力為0,此時(shí)小球的受力如圖3所示,在法向列出牛頓第二定律方程有

T-mgsinθ=mω2L.

圖4

分離后斜面做勻速直線運(yùn)動(dòng)加速度為0,小球獨(dú)自向左加速擺動(dòng).能夠?qū)崿F(xiàn)分離的條件是小球在與斜面體分離后垂直斜面的速度分量不斷減小,基于以上分析,分離瞬間小球在垂直斜面方向的加速度必然為0.如圖4所示分離瞬間在垂直斜面方向列出牛頓第二定律方程有

mgcos30°-Tsin(θ-30°)=ma⊥=0.

將以上兩式聯(lián)立并帶入ω2化簡(jiǎn)得

cos30°-sinθsin(θ-30°)-

上式計(jì)算過(guò)于繁瑣,對(duì)于不同的k值,θ的數(shù)值解不同,在此筆者利用GeoGebra軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.若取k=1,得出θ≈1.2845,若取π=3.14,得θ≈73.6°,此時(shí)小球與斜面體分離.若取k=2,得θ≈1.3489,若取π=3.14,得θ≈77.3°.若取k=3,得θ≈1.3850,若取π=3.14,得θ≈79.4°.容易推理出,只有當(dāng)k無(wú)限大,即小球推動(dòng)一個(gè)質(zhì)量很大的物體時(shí),小球才能與斜面體在最低點(diǎn)分離,這種情況顯然不符合題意.

3.2 小球分離位置的定量分析方法2

先利用機(jī)械能守恒和速度關(guān)聯(lián)求出小球的角速度隨角度變化的關(guān)系,再取斜面體為參考系,在這個(gè)非慣性系中研究,定量求出在斜面體與小球分離前的過(guò)程中,斜面對(duì)小球的彈力的表達(dá)式,具體分析如下.

撤去水平推力后,斜面體與小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.仍然設(shè)細(xì)線與水平方向的夾角為θ,小球的角速度為ω,速度大小為v1,斜面體的速度大小為v2.根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式有

小球圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v1=ωL.小球在與斜面分離以前,利用速度投影定理,兩物體在垂直斜面方向速度相等,則

v1cos(θ-30°)=v2sin30°.

聯(lián)立上面3式得

圖5

在地面系中分析,小球在于斜面體分離以前,受力圖如圖5所示,在法向列出方程有

T+Nsin(θ-30°)-mgsinθ=mω2L.

分離以前斜面體在水平方向有向左的加速度a,對(duì)斜面體列出表達(dá)式

圖6

以斜面體為參照系,小球還受到水平向右的慣性力ma,小球的受力圖如圖6所示.分離前,以斜面體為參考系,小球沿著斜面向下做直線運(yùn)動(dòng),小球在垂直斜面方向的加速度必然為0,基于這個(gè)分析在垂直斜面方向列式有

Tsin(θ-30°)+N+masin30°=mgcos30°.

將以上3式聯(lián)立并代入ω2化簡(jiǎn)得

圖7

4 解答的修正

通過(guò)之前的分析我們得出小球與斜面體之間并非在最低點(diǎn)分離,所以原題給出的參考解答必然是存在錯(cuò)誤,現(xiàn)對(duì)原題的參考答案進(jìn)行修正.

4.1 計(jì)算斜面體的實(shí)際質(zhì)量和準(zhǔn)確的分離角度

設(shè)小球在與斜面體分離時(shí)細(xì)線與水平方向的夾角為θ,分離后小球向左運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大擺角時(shí)速度為0,利用機(jī)械能守恒列式有

利用之前的分析可列出表達(dá)式

v1cos(θ-30°)=v2sin30°,

cos30°-sinθsin(θ-30°)-A1=0.

上面方程組中共有4個(gè)未知數(shù),行聯(lián)立化簡(jiǎn),利用GeoGebra軟件得到數(shù)值解近似為k=1.8156,即斜面體的質(zhì)量是1.8156 m時(shí),小球與斜

4.2 第3小問的正確解

參考解答的前兩問在原題的題設(shè)條件下并無(wú)問題,而第3問則存在明顯問題,修正如下.

斜面體與小球分離后向左做勻速直線運(yùn)動(dòng).在t2時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移為x2,

所以,斜面體發(fā)生的位移為

5 結(jié)語(yǔ)

近幾年的江蘇高考試卷和各大市的?？荚嚲碇卸汲霈F(xiàn)了大量的連接體問題.這類試題通常情境新穎、綜合性強(qiáng),具有很好的選拔功能.但是我們同時(shí)也必須認(rèn)識(shí)到這類情境新穎的試題在命制時(shí)其實(shí)很容易出現(xiàn)自洽性問題,希望命題者在今后命制這類試題時(shí)能夠進(jìn)一步注重試題的自洽性,避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生.