朱 挺

(江蘇省啟東中學(xué),江蘇 啟東 226200)

中國(guó)科技大學(xué)出版社出版的《加拿大物理奧林匹克》一書中,有這樣一道題:多倫多物理奧林匹克競(jìng)賽團(tuán)隊(duì)為去年在POPTOR周末表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生鋪設(shè)了一張紅地毯．比賽結(jié)束后他們決定把地毯卷起來放在儲(chǔ)藏室．在卷地毯的過程中,他們注意到了一個(gè)完美的物理問題．

假設(shè)有一條很長(zhǎng)的地毯,厚度t非常小,已知其寬度W、長(zhǎng)度L和密度ρ,有一部分已經(jīng)卷成半徑為r的圓柱體．由于厚度很小,已經(jīng)卷起的地毯可以看作完美的圓柱體．我們希望只通過踢一下圓柱部分的地毯,使它獲得大小為v的初始速度,就可以把整個(gè)地毯卷起來如圖1所示．求所需要的最小初始速度v．

圖1

書中給出如下解析.地毯的動(dòng)能為

(1)

其中M1=πr2Wρ是已經(jīng)卷起來部分的地毯的質(zhì)量．而全部地毯的質(zhì)量為M,在卷地毯的過程中地毯勢(shì)能增加,其重心將不斷地升高．當(dāng)?shù)靥喝烤砥鸷?半徑將變?yōu)?/p>

重心升高了 Δh=rf-r.

勢(shì)能改變量為

ΔEp=Uf-Ui=Mgrf-M1gr=

(2)

動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為地毯重心上升而增加的勢(shì)能,聯(lián)立兩式可求得速度

(3)

對(duì)于上述解析,筆者認(rèn)為存在不完善的地方．若原題解析認(rèn)為已卷起部分,在踢一下之后立即作純滾動(dòng),則原解析思路是正確的．但是在計(jì)算初動(dòng)能時(shí)缺少了轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能．

正確解析是這樣的:由純滾動(dòng)條件,v=ωr,故初動(dòng)能

由機(jī)械能守恒得

若已卷起部分地毯做初速度v的平動(dòng),必然經(jīng)歷一個(gè)連滾帶滑的過程.這個(gè)過程由于摩擦力做功,因而機(jī)械能不守恒，故原解析存在一個(gè)原則性的錯(cuò)誤．

具體分析如下:通過踢一下圓柱體,給它一個(gè)平動(dòng)的初速度,使該圓柱體滑動(dòng),同時(shí),地面對(duì)圓柱體的摩擦力使平動(dòng)減速,同時(shí)對(duì)圓柱體中心軸的力矩,使圓柱體具有順時(shí)針方向角加速度．角速度從0開始增加,經(jīng)過一段時(shí)間,轉(zhuǎn)化為純滾動(dòng)．而在這個(gè)過程中,圓柱體將會(huì)損失部分的機(jī)械能,故整個(gè)過程機(jī)械能是不守恒的．原題的解析忽視了連滾帶滑這一環(huán)節(jié)．

正確的解答如下:

全過程分成兩個(gè)階段.

第一階段,圓柱體由連滾帶滑轉(zhuǎn)化為純滾動(dòng)的過程中,圓柱體和地平面相切的切線pp′為軸,角動(dòng)量守恒．

M1vr=ICω+M1v1r.

ωr=v1式中ω是圓柱體做滾動(dòng)時(shí)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,v1是圓柱體做純滾動(dòng)時(shí)中心的平動(dòng)速度.可得

第二階段,純滾動(dòng)過程,滿足機(jī)械能守恒:

勢(shì)能的變化量同原題.

由Ek=ΔEp可得

綜上所述,原題對(duì)初始狀態(tài)描述不清晰,原解析沒有對(duì)地毯的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行充分地討論,最終導(dǎo)致了原解析的不完善．