■陳和改

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的相關(guān)試題是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，主要考查三角函數(shù)的定義域、最值、單調(diào)性、奇偶性和周期性等內(nèi)容。下面分別介紹，以供大家參考。

一、三角函數(shù)的定義域問題

三角函數(shù)的定義域是研究三角函數(shù)的其他性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域，事實(shí)上就是求最簡單的三角不等式，通?？捎萌呛瘮?shù)的圖像來求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

例1求函數(shù)的定義域。

解：因?yàn)?sinx-1≥0，所以在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=sinx，x∈[0，2π]和的圖像（如圖1所示），解方程sinx=得結(jié)合圖像可以看出，滿足的x的范圍是故函數(shù)y 的定義域?yàn)?/p>

圖1

對(duì)于三角不等式的求解，用常規(guī)方法求解有困難時(shí)，可以通過構(gòu)造函數(shù)圖像，使問題得以順利解決。

跟蹤練習(xí)1：求函數(shù)tanx）的定義域。

提示：因?yàn)樗怨屎瘮?shù)y的定義域?yàn)?/p>

二、三角函數(shù)的最值問題

求三角函數(shù)的最值主要有兩種類型：一是將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）+b的形式，利用三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為不等式求最值問題；二是將函數(shù)化為y=psin2x+qsinx+r（p≠0）的形式，利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上的特征求最值問題，此時(shí)應(yīng)注意自變量的取值范圍。

例2已知k＜-4，求函數(shù)y=cos2xsin2x+k（cosx-1）的最小值。

解：由題意得y=2cos2x+kcosx-k-因?yàn)閗＜-4，所以所以當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)y有最小值為ymin=1。

通過轉(zhuǎn)化將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，使問題得以順利解答。但用sinx或cosx表示函數(shù)時(shí)，一定要注意sinx，cosx的有界性。

跟蹤練習(xí)2：求函數(shù)的最值。

提示：因?yàn)樗?≤2x+所以所以當(dāng)時(shí)函數(shù)y有最大值為ymax=2；當(dāng)時(shí)函數(shù)y有最小值為ymin=0。

三、三角函數(shù)的單調(diào)性問題

求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間的基本思路是把ωx+φ看成一個(gè)整體，求此函數(shù)的遞增區(qū)間，就是解不等式Z）得到x的范圍。若函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＜0），可利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為則函數(shù)y=Asin（-ωx-φ）的單調(diào)遞增區(qū)間為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

例3求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。

解：將函數(shù)轉(zhuǎn)化為欲求該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間即可。由2kπ-解得kπ-故函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間為

解決三角函數(shù)的單調(diào)性問題，關(guān)鍵是先利用誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)化為正值，再求單調(diào)區(qū)間。

跟蹤練習(xí)3：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）。

B.kπ，（k+1）π（），k∈Z

提示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足k∈Z，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為應(yīng)選C。

四、三角函數(shù)的奇偶性問題

判斷函數(shù)的奇偶性的主要方法是定義法，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f（x）與f（-x）的關(guān)系。

例4判斷函數(shù)fx（）=的奇偶性。

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）+f（-x）=lg1=0，所以f（-x）=-f（x）。所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)。

判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，一般根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷，在判斷過程中有時(shí)也可由判斷f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0得到結(jié)論。

跟蹤練習(xí)4：判斷函數(shù)fx（）=的奇偶性。

提示：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=f（x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)。

五、三角函數(shù)的周期性問題

函數(shù)的周期性的定義是對(duì)定義域中的每一個(gè)x值來說，都有f（x+T）=f（x）（T≠0），那么f（x）是以T為周期的函數(shù)。

例5下列函數(shù)中，周期為的是____。

解：由三角函數(shù)周期的定義可知，y=的周期為4π，y=tan2x的周期為的周期為8π，y=cos4x的周期為故答案為②④。

函數(shù)y=sinx的周期不止一個(gè)，如2π，4π，6π，…，事實(shí)上，任何一個(gè)非零常數(shù)2kπ（k∈Z）都是正弦函數(shù)的周期，2π只是y=sinx的最小正周期。

跟蹤練習(xí)5：設(shè)點(diǎn)P 是函數(shù)f（x）=sinωx的圖像C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖像C的對(duì)稱軸上的距離的最小值為則f（x）的最小正周期是（ ）。

提示：因?yàn)辄c(diǎn)P是函數(shù)f（x）=sinωx的圖像C的一個(gè)對(duì)稱中心，點(diǎn)P到圖像C的對(duì)稱軸上的距離的最小值為所以函數(shù)f（x）的最小正周期為應(yīng)選B。

六、三角函數(shù)的對(duì)稱性問題

正弦、余弦函數(shù)的圖像都是軸對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為過最值點(diǎn)且與x軸垂直的直線，分別為與x=kπ（k∈Z）；對(duì)稱中心即為函數(shù)的零點(diǎn)，分別為（kπ，0）與正切函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為函數(shù)的零點(diǎn)，即對(duì)稱中心為

例6函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸方程是（ ）。

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的對(duì)稱軸方程為所以由（k∈Z），得當(dāng)k=-1時(shí)應(yīng)選D。

跟蹤練習(xí)6：函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是（ ）。

提示：因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx的對(duì)稱中心是所以由得當(dāng)k=0時(shí)應(yīng)選D。

（縱坐標(biāo)不變）

提示：先將函數(shù)y=2sinx，x∈R的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像。再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)x∈R的圖像。應(yīng)選C。