孫毅堅(jiān)

孫子在兵法中強(qiáng)調(diào)，戰(zhàn)爭(zhēng)的目的是為了勝利而非殺戮的快感，同樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是為了更快更精準(zhǔn)地解題，而非僅僅用來(lái)炫技.有時(shí)候，解決一道難題的最佳方案，也許反而是最純粹的列舉.希望這篇文章能引起各位的注意，畢竟數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)弱更主要是在于分析和解決問(wèn)題的能力，而非知識(shí)量的多少.

例一列數(shù)：1，2，3，5，8，13，…請(qǐng)問(wèn)第1993個(gè)數(shù)被6除余幾？

這道看似是名校自主招生的題，實(shí)際上來(lái)自一本小學(xué)四年級(jí)的奧數(shù)講義書(shū).顯然，所謂“一列數(shù)”即去掉首項(xiàng)1的斐波那契數(shù)列（斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…），對(duì)這樣龐大的數(shù)字求解，其背后一定有規(guī)律存在，于是我隨手便列舉了7位：

表1

隨著數(shù)列的展開(kāi)，具體數(shù)值將滾雪球般越來(lái)越大，這時(shí)依然靠它求被6除的余數(shù)顯然不夠理智，觀察可以發(fā)現(xiàn)，最右邊由被6除余數(shù)組成的新數(shù)列之間，也存在著類似斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，簡(jiǎn)單證明一下：

設(shè)一列數(shù)為{an}，一列數(shù)被6除余數(shù)為{bn}，

再設(shè)an=6T+p，an+1=6T+q，T ∈N，p，q∈{0，1，2，3，4，5}，

則bn=p，bn+1=q，an+2=12T+p+q.

因?yàn)閜+q＜12，

那么借助{bn}的性質(zhì)可以免去計(jì)算具體數(shù)值，這樣列到16位：

表2

至此，再回頭看產(chǎn)生的新數(shù)列，可以說(shuō)還是沒(méi)有頭緒.我不禁失去了耐心，將題目上傳到了一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者討論群中，很快，各種學(xué)霸和數(shù)學(xué)競(jìng)賽牛人都各抒己見(jiàn)，我則繼續(xù)默默列舉.

有人搬出了特征方程，將數(shù)列通項(xiàng)解出：

可是談及被6除余幾卻依然無(wú)人作答，這時(shí)，我驚喜地發(fā)現(xiàn)，列舉有了突破性進(jìn)展.

表3

山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村.如表3所示，亂序的數(shù)字在第24位出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)，即第24位不僅回到了第1位的數(shù)值1，其前一位為0，那么第25位為1、第26位為2、……分別對(duì)應(yīng)第1、2……位.所以說(shuō)，這個(gè)“一列數(shù)”呈現(xiàn)出以24為周期的循環(huán).這時(shí)經(jīng)簡(jiǎn)單運(yùn)算，答案為1.為了保險(xiǎn)起見(jiàn)，我又在網(wǎng)上找到了原題與詳解，答案正確并且窮舉為目前我能查到的唯一方法，解析最后一句“本題旨在考驗(yàn)學(xué)生的意志力與科學(xué)精神”，仿佛是對(duì)我默默窮舉，耐心求解的一種稱贊.

我上傳答案后，仍有人不死心，誓要熬夜思考其他方法……祝他成功.而整理草稿的我不禁想起一句話，可能與文題不太吻合：“有時(shí)我們走得太遠(yuǎn)，以至于忘了為何出發(fā).”

解完了這道工程量頗為浩大的題，我總結(jié)歸納了一下，得到有關(guān)窮舉法的幾個(gè)要點(diǎn)：

①題干中出現(xiàn)幾百幾千這樣極大的數(shù)據(jù)時(shí)，往往會(huì)有規(guī)律可循，可先通過(guò)窮舉發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再進(jìn)行代數(shù)證明；

②在窮舉過(guò)程中，盡量避免計(jì)算過(guò)于龐大的數(shù)據(jù)，而是在數(shù)值比較小的數(shù)據(jù)中找規(guī)律.這需要在解題過(guò)程中隨時(shí)化繁為簡(jiǎn)；

③面對(duì)較難的，求具體數(shù)值、最值的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，窮舉往往是最先與最后要考慮的方法，先小規(guī)律地列表，未果后考慮其他思路，若依舊毫無(wú)成效，則可放大窮舉的范圍，對(duì)填空題而言，這種相對(duì)客觀的解題策略與方法既省時(shí)又高效；

④窮舉并非單純的全部列舉，在適當(dāng)?shù)臈l件下結(jié)合兩分法等，在對(duì)過(guò)程的分析中可以跳過(guò)一些無(wú)意義的列舉，抓住性質(zhì)縮小范圍，尋找列舉中的“轉(zhuǎn)機(jī)”.

那么，讓我們回到高中數(shù)學(xué)中來(lái)，嘗試解答這道2018年高考江蘇卷的填空壓軸題：

已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}，將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn＞12an+1成立的n 的最小值為_(kāi)________.

這是絕大多數(shù)資料上提供的解答方法，很“江蘇”：

設(shè)An=2n-1，Bn=2n，n∈N*，則當(dāng)Ak＜Bl＜Ak+1（k，l∈N*）時(shí)，

2k-1＜2l＜2k+1，有則k=2l-1.

設(shè)Tl=A1+A2+…+A2l-1+B1+B2+…+Bl，則共有k+l=2l-1+l個(gè)數(shù)，即Tl=S2l-1+l，而A1+A2+…+A2l-1=

B1+B2+…+Bl=則Tl=22l-2+2l+1-2，

則l，Tl，n，an+1的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

表4

觀察到l=5時(shí)，Tl=S21＜12a22，而l=6時(shí)，Tl=S38＞12a39，則在n∈（21，38），n∈N*時(shí)，存在n使得Sn＞12an+1，此時(shí)T5=A1+A2+…+A16+B1+B2+B3+B4+B5，則當(dāng)n∈（21，38），n∈N*時(shí)，

an+1=An+1-5=An-4，12an+1=12［2（n-4）-1］=24n-108，

Sn-12an+1=n2-34n+195=（n-17）2-94，

則n≥27時(shí)，Sn-12an+1＞0，即nmin=27.

不過(guò)，用窮舉法可能還要更簡(jiǎn)便一點(diǎn)：

{an｝顯然，2n與2n-1的增幅差距很大，將Sn拆開(kāi)運(yùn)算的壓力不大，所以我先選取了n=11（因?yàn)樵跉v年高考?jí)狠S題中11這個(gè)答案出現(xiàn)頻率比較大），

未果，接著選取n=21和n=31，

曙光就此出現(xiàn)，立即兩分法處理，

得到答案為27，對(duì)于計(jì)算能力可觀的學(xué)生來(lái)講，窮舉似乎比需要討論的函數(shù)法更加迅猛，雖然不少行為更多是出于“下意識(shí)”，但在并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}過(guò)程結(jié)束后可以再回頭思考原理，萬(wàn)變不離其宗，就算沒(méi)能直接算出結(jié)果，列舉的過(guò)程中想必也能幫助考生更準(zhǔn)確地把握函數(shù)表達(dá)式.

沒(méi)有花哨的公式，思考加上5次基本運(yùn)算，一道高考?jí)狠S題和小學(xué)生的思考題一樣煙消云散.下一次遇到符號(hào)字母?jìng)兘鉀Q不了的問(wèn)題，不要太狂躁，不如先列幾個(gè)數(shù)看看，回到原點(diǎn)，萬(wàn)一那就是終點(diǎn)呢？

老師點(diǎn)評(píng)：孫毅堅(jiān)同學(xué)愛(ài)好學(xué)習(xí)，善于思考，而且有堅(jiān)韌的毅力.對(duì)于窮舉法，許多孩子是沒(méi)有耐心去嘗試的.正如試題解析所言“本題旨在考驗(yàn)學(xué)生的意志力與科學(xué)精神”，學(xué)生的意志力與科學(xué)精神是可以通過(guò)考試的形式得到考查的.四年級(jí)的奧數(shù)題對(duì)于一個(gè)高中生來(lái)說(shuō)應(yīng)該是不算太難.但是方法的選擇顯得很重要，本題如果不用枚舉法去解，則要費(fèi)時(shí)費(fèi)力得多，2018年江蘇高考題也是這個(gè)道理.枚舉法是最基本且重要的方法，學(xué)生要有耐心去嘗試.當(dāng)然并不是要求沒(méi)有目的地做，而是要求學(xué)生能夠邊做，邊觀察，邊思考，這樣才能找出規(guī)律，從而使問(wèn)題得到解決.久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就能夠得到培養(yǎng).