蘇 玖

真題展現(xiàn)

（2018年北京卷第9題）設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則{an}的通項(xiàng)公式為__________.

思維延伸

由于等差數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)圖象是直線上一群孤立的點(diǎn)，本題實(shí)質(zhì)就是已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，求直線方程，于是就對應(yīng)通項(xiàng)公式.（改編1）已知數(shù)列{an}滿足an=pn+r（p，r為常數(shù)），a3=5，a7=13，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn.

本題的條件中沒有說明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，僅僅給出通項(xiàng)公式的一個(gè)代數(shù)式，于是利用待定系數(shù)法求出通項(xiàng)公式，再求其前n項(xiàng)和.如果已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的待定代數(shù)式，又怎樣求其通項(xiàng)公式呢？

（改編2）已知數(shù)列{an}前n 項(xiàng)和Sn=f（n），f（n）=an2+bn+c（a，b，c為常數(shù)），若函數(shù)f（n）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（2，6），C（4，28）.

（1）求Sn以及an；

（2）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

先利用待定系數(shù)法求出Sn的解析式，再利用an=Sn-Sn-1（n≥2），但不要忘記檢驗(yàn)n=1，a1=S1的特殊情形，最后再利用等差數(shù)列定義證明.本題實(shí)質(zhì)就是已知和式求通項(xiàng)公式，于是又可以改編為含有指數(shù)類和式問題：

（改編3）函數(shù)f（x）=c·ax+b（a＞0且a≠1，a為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（2，3），設(shè)數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn，Sn=f（n）.求{an}的通項(xiàng)公式并判斷{an}是否為等比數(shù)列.

本題的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是含有參數(shù)a的問題，而且首項(xiàng)為1，通項(xiàng)公式是分段函數(shù)類型，于是要對a進(jìn)行討論.當(dāng)然也可以底數(shù)為定值，函數(shù)圖象只過一個(gè)定點(diǎn)，于是又可以有：

（改編4）函數(shù)f（x）=c·2x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn，Sn=f（n）.求{an}的通項(xiàng)公式并判斷{an}是否為等比數(shù)列.

判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，必須根據(jù)定義來確定，但對于含有參數(shù)的指數(shù)類數(shù)列問題，還是要利用分類討論思想求解，要注意首項(xiàng)和公比均不為零.如果數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足一個(gè)分式類型的等式，又怎樣研究呢？于是可以改編為：

（改編5）已知數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為

（1）求Sn；

（2）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

本題仍為已知和式研究通項(xiàng)公式，已知Sn之間的關(guān)系式，但是以分式形式給出的，于是要先求Sn，再求an.如果將等式右邊分式中設(shè)置含有指數(shù)類型的項(xiàng)，可以改編為：

（改編6）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足求an.前面幾道題都是已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，再求an.能否研究{Sn}的前n項(xiàng)的和呢？或者已知{Sn}的前n項(xiàng)和，再研究數(shù)列{an}呢？于是改編為：

（改編7）已知數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為An，數(shù)列{An}的前n項(xiàng)和為Bn，

（1）求{Bn}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是否為等比數(shù)列.

本題先通過和式求出Bn，再通過Bn求出和An，再通過An求an，最后再判斷{an}是不是等比數(shù)列.

聯(lián)想：（2018年浙江文科卷第20題）已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1-bn）an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.

（1）求q的值；

（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

點(diǎn)撥解析

真題展現(xiàn)：利用基本量法計(jì)算出公差d=6，于是通項(xiàng)公式為an=6n-3.

改編1解析：因?yàn)閍3=5，a7=13，

因此an+1-an=2n+1-（2n-1）=2，由等差數(shù)列定義知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

改編2解析：（1）由題可得，解得：所以Sn=f（n）=2n2-n.

①當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（2n2-n）-[2（n-1）2-（n-1）]=4n-3；

②a1=S1=1也符合上式.所以an=4n-3.

（2）因?yàn)閍n+1-an=4，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

改編3解析：由題可知，所以

②n=1時(shí)，an=a1=S1=1.

（i）當(dāng)a=2時(shí)，{an}是等比數(shù)列.

（ii）當(dāng)a＞0且a≠1，2時(shí)，{an}不是等比數(shù)列.

改編4解析：由題可知，2c+b=1，所以b=1-2c，所以f（x）=c·2x+1-2c.

所以Sn=f（n）=c·2n+1-2c.

①當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=c（2n-2n-1）=c·2n-1；

②n=1時(shí)，an=a1=S1=1.

（i）當(dāng)c=1時(shí)，an=2n-1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

（ii）當(dāng)c≠1時(shí)，數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.

改編5解析：①-②得到：

所以Sn=n（n+1）.

（2）證明：①當(dāng)n ≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n（n+1）-（n-1）n=2n；

②a1=S1=2符合上式.

所以an=2n.

所以an+1-an=2，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

改編6解析：

所以Sn=2n-1.

①當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1；

②n=1時(shí)，an=a1=S1=1.

所以an=2n-1.

改編7解析：（1）

所以Bn=2n-n.

（2）①當(dāng)n≥2時(shí)，An=Bn-Bn-1=2n-2n-1-1=2n-1-1；

②n=1時(shí)，A1=B1=1.

所以當(dāng)n=1時(shí)，an=a1=A1=1；

當(dāng)n=2時(shí)，an=a2=A2-A1=1-1=0；

當(dāng)n≥3時(shí)，an=An-An-1=2n-2.

所以數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.

聯(lián)想題答案：（1）q=2；（2）bn=15-

回顧悟道

通過對一道簡單高考題的分析和改編，可以看出，高考中對數(shù)列{an}問題的考查，主要是等差數(shù)列和等比數(shù)列，這既是重點(diǎn)也是熱點(diǎn)；主要題型：一是求通項(xiàng)公式an，二是求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，三是由Sn求an，主要利用四是數(shù)列與不等式整合的問題，要么證明不等式，要么求相關(guān)等式或不等式中的參數(shù)取值范圍問題，但這類題型都是建立在前三種題型的基礎(chǔ)上.因此改編高考題時(shí)，根據(jù)上述幾點(diǎn)進(jìn)行嘗試.

題目：（2018年全國一卷文科第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an，設(shè)

（1）求b1，b2，b3；

（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（3）求{an}的通項(xiàng)公式.

若將數(shù)列的遞推關(guān)系如同前面討論的改編題，用函數(shù)給出，你會(huì)改編嗎？

（改編1）______________

（改編2）______________

原題答案：（1）b1=1，b2=2，b3=4.

（2）{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

（3）an=n·2n-1.

（改編1）已知函數(shù)f（x）=c·ax+b（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（2，2），C（4，8）.數(shù)列{an}，an=f（n），求{an}的通項(xiàng)公式.

解析：由題可得，解得：

所以an=f（n）=2n-1.

（改編2）已知函數(shù)f（x）=c·ax+b（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（2，2），C（4，8）.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=f（n）.求{an}的通項(xiàng)公式并判斷{an}是否為等比數(shù)列.

解析：由上題可知，f（x）=所以Sn=f（n）=2n-1.

①當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2；

②a1=S1=1.

所以an=

所以{an}不是等比數(shù)列.