王子妍

進(jìn)入高三，在題海中翻滾多年，刷了很多題目，筆者始終感覺雖能得出題目的結(jié)果，但在過程的表達(dá)上總覺得有些力不從心，離真正的通透還有差距.比如學(xué)校第一次周末考試中有這樣一道看似很平常的填空題：

函數(shù)f（x）=ex-mx 在（-1，+∞）上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.

筆者在考試時(shí)很快就有了如下的思路：

解令f（x）=0，則ex=mx.

m=0時(shí)，等式顯然不成立，此時(shí)方程無(wú)解，滿足題意.

當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減.

老師對(duì)這種方法進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)，對(duì)于我能對(duì)m 是否為0進(jìn)行討論，為引入連續(xù)的函數(shù)而把方程變?yōu)榈男问?，進(jìn)行了表?yè)P(yáng)，注重細(xì)節(jié)，轉(zhuǎn)化合理，但最后老師點(diǎn)明，此類問題江蘇卷前些年大題已有考查，全國(guó)卷近兩年的函數(shù)導(dǎo)數(shù)大題也很青睞這類題目，若把這道題目改為解答題，怎樣才能有規(guī)范而精確的表達(dá)呢？

課后詢問了老師，以上思路作為解答題是否可行.老師認(rèn)為做填空題時(shí)使用尚可，做解答題還需再想更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕夥ㄟ^程.筆者陷入了困惑，怎樣表述才更嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)于該題，分離變量法的缺陷到底在哪里.

在和同學(xué)討論并尋求老師的幫助后，了解到此類問題的缺陷并不是分離變量的問題，而在于x→+∞，h（x）→0這一結(jié)論沒有詳實(shí)的數(shù)學(xué)推理過程，最多只是對(duì)結(jié)果的一個(gè)推斷，目前高中數(shù)學(xué)的知識(shí)儲(chǔ)備不足以表達(dá)出極限的證明.

筆者和同學(xué)們經(jīng)過討論，形成如下的解題思路：分類討論，并利用函數(shù)單調(diào)性.

解f（x）=ex-mx，f′（x）=ex-m.

x∈（-1，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

x∈（-1，lnm]，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.

x∈（lnm，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

當(dāng)f（lnm）=m-mlnm=m（1-lnm）＞0，即m＜e，則無(wú)零點(diǎn).

老師看完，拋出了一個(gè)問題，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，最終增到哪里，是一直趨向無(wú)窮大，還是趨向某一個(gè)常數(shù)，你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出這種趨勢(shì)？

看來還是有缺陷，再次嘗試：

解f（x）=ex-mx，f′（x）=ex-m.

x∈（-1，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

f（0）=1＞0，f（x）的圖象在[-1，0]上不間斷，則f（x）在（-1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，不合題意，舍去.

x∈（-1，lnm]，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.

x∈（lnm，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

①當(dāng)f（lnm）=m-mlnm=m（1-lnm）＞0，

②f（lnm）=0，即m=e時(shí)，則f（x）在（-1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，不合題意，舍去.

③f（lnm）＜0，即m ＞e時(shí)，

f（0）=1＞0，f（x）的圖象在[0，lnm]上不間斷，則f（x）在（-1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，不合題意，舍去.

至此，大功告成，筆者寫完后就已滿意，給老師審閱后，老師也給出了肯定的回復(fù).

反思已知單調(diào)性，無(wú)法說明一個(gè)函數(shù)圖象是否“穿過”x軸，再找出一正一負(fù)的兩個(gè)函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和連續(xù)性，就可以準(zhǔn)確表達(dá)出“穿過”x軸.

有了這次的探究經(jīng)歷后，我再接再厲，又研究了如下問題：

分析此題的難度已經(jīng)比較大了，有了上一題的探索經(jīng)驗(yàn)，筆者一開始思路通暢，只在最后的特殊值找尋上頗費(fèi)了一番精力.

（1）a≤0時(shí)，

x∈（0，+∞），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.

則f（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去.

（2）a＞0時(shí)，

即a＞e3時(shí)，f（x）在（0，+∞）上無(wú)零點(diǎn).

說明在的左側(cè)找一個(gè)值為什么找這個(gè)值？這個(gè)值為什么比??？你如何能想到這個(gè)值？這些地方都要有清晰的思路，并且能表述清楚.

方法一

說明此方法能把問題表述清楚，當(dāng)我寫完最后一步時(shí)，也著實(shí)興奮了好一會(huì)兒.仔細(xì)回顧一下，這種思路的難點(diǎn)在于這個(gè)值很難短時(shí)間內(nèi)想到，筆者也是嘗試了很長(zhǎng)時(shí)間才找到，但真正考試時(shí)，時(shí)間有限，肯定沒有這么多的時(shí)間去思考.還有沒有其他思路呢？在老師的幫助提示下，我想到了第二種思路：了解一些不等關(guān)系式，利用放縮，化為二次函數(shù)模型，更有利于取特殊值.

方法二（可由lnx ≤x-1進(jìn)行放縮，解答題要先證這個(gè)不等式，方能使用）

綜上所述，a的取值范圍是a∈（0，e3）.

解決該題雖耗費(fèi)大量的時(shí)間，但我從中收獲了很大樂趣，于是我想進(jìn)一步鉆研，又請(qǐng)老師提供了類似問題：

函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

難度雖不斷提高，但筆者研究的熱情高漲，通過分析思考，我獨(dú)自完成了該題的全部解答過程.有興趣的朋友也可以獨(dú)自思考鉆研此題.（該題答案0＜a＜1）

回顧之前的解題歷程，我發(fā)現(xiàn)自己對(duì)過程的推理不夠重視，許多問題看似能算出正確的結(jié)果，但很多過程往往不能表述清楚，有時(shí)就似是而非地糊弄過去，真正在考試時(shí)遇到難題卻往往不知所措.通過對(duì)以上問題的鉆研，筆者真正感覺到，只有真正掌握了數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的精髓，我們分析問題的思路才能靈活多變，解題過程的表達(dá)方能細(xì)致入微.

老師點(diǎn)評(píng)：答題過程中寫清因果關(guān)系，可以提升邏輯推理能力，在考試中遇到解答題也能拿足分?jǐn)?shù)。如果平時(shí)注重訓(xùn)練用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思維，那么對(duì)一些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等就能有更細(xì)致的體會(huì)，能形成更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，我們的解題能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)也會(huì)得到提高和升華.