劉文沖 馬琦琳 韓程遠(yuǎn)

摘 要：在處理數(shù)學(xué)問題的過程中，采用正確的方法會起到事半功倍的效果。排列組合的思維方法是指在遇到數(shù)學(xué)問題時要將其拆分成不同的模塊，然后將不同的小模塊進(jìn)行重新組合，就產(chǎn)生了一個全新的問題。如此處理問題不僅能在根本上認(rèn)識問題，還能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生認(rèn)真學(xué)，樂意學(xué)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)問題;思維方法;排列組合

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2019）12-0074-01

數(shù)學(xué)思維是用數(shù)學(xué)思考和解決問題的思維活動。一個良好的思維習(xí)慣是處理數(shù)學(xué)問題最有效的工具，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生要把客觀問題所含的基本規(guī)律抽象出來，在大腦中形成一個自己的認(rèn)識，并產(chǎn)生自己的看法，從而靈活掌握。本文提出的排列組合的方法是學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題時舉一反三的重要工具。

一、排列組合思維方法

其一，排列組合思維方法的益處。良好的思維方式有助于對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識和對基本知識的梳理，能促使學(xué)生從本質(zhì)上看待問題。排列組合的思維方法將問題中所涉及的基本知識抽象出來，將一個大的問題分成了不同的小模塊，即簡單的知識點(diǎn)，再將小模塊進(jìn)行重新排列組合形成全新的問題。如此處理數(shù)學(xué)問題不僅能使學(xué)生充分理解知識，還能培養(yǎng)學(xué)生從出題者的角度看待問題，提高學(xué)生自學(xué)的能力。此外，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能更透徹地看待問題。其二，排列組合思維方法的應(yīng)用。學(xué)生在應(yīng)用排列組合思維方法時要注意平時的積累和觀察，積累每一道題，將每一道題劃分模塊，然后將運(yùn)用到相同知識點(diǎn)的題放在一起比對，充分了解每一個模塊的運(yùn)用方法。知識的運(yùn)用變化莫測，學(xué)會排列組合思維方法，運(yùn)用能力才能提升。

二、排列組合思維方法舉例

問題1：設(shè)f（x）在[-a，a]（a>0）上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 limn→0■=0 。證明存在M>0使得f（x）≤Mx■，？坌x∈[-a，a]。解題思路，本題先用泰勒公式寫出f（x）的x2的形式，即■x■，再利用不等式 ■≤M得出答案。本題中涉及的知識點(diǎn)有：泰勒定理、導(dǎo)數(shù)定義、連續(xù)條件的含義。

問題2：設(shè)■lnn（n+1）■（n+2）■ ，問a，b取何值時該級數(shù)收斂。解題思路：該題利用lnab的計算公式將原式展開成（1+a+b）lnn+aln（1+■）+bln（1+■）的形式，再利用泰勒公式計算出結(jié)果。本題中涉及的知識點(diǎn)有：泰勒公式和級數(shù)。兩問題中泰勒公式和不同的模塊組合，即不同的運(yùn)用形式和不同的排列組合形式。

問題3：求級數(shù)■■+■的和。解題思路：首先構(gòu)造函數(shù)f（x）=■■x2k+1，求出f（x）=■-1，再進(jìn)一步積分求出f（x），下一步將特殊值1帶入f（x），得出左半部分的值，而■=■=1，結(jié)果顯而易見。這道題運(yùn)用常規(guī)的級數(shù)解題思路顯然是行不通的，可用構(gòu)造函數(shù)的方法解決級數(shù)的問題。函數(shù)構(gòu)造的技巧性是非常強(qiáng)的，學(xué)生要有著比較靈敏的感覺，要第一眼就意識到級數(shù)的左半部分可以進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造，以此來簡化問題。本題中涉及的知識點(diǎn)有：構(gòu)造函數(shù)、級數(shù)。

問題4：設(shè)f（x）在[-1，1]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f（-1）=f（1）=■，f（x）≤■ 。證明f（x）≤■ ，x∈[-1，1]和 f（x）= x在[-1，1]上有且只有一個實(shí)根。第一問解題思路：利用泰勒公式分別寫出f（-1）、f（1）的表達(dá)式，之后兩式做差，利用所得關(guān)系試構(gòu)造不等式，最后得出max-1≤x≤1■=■，因此，f（x）≤■， x ∈[-1，1]。第一問涉及的知識點(diǎn)是泰勒公式和不等式的運(yùn)用。不等式的運(yùn)用和構(gòu)造函數(shù)一樣，同樣具有較高的靈活性。學(xué)生平時要加強(qiáng)經(jīng)驗(yàn)積累，見到什么樣的類型，就在腦海中及時反映出做過的類似的題型，并及時加以比較，做好總結(jié)。談到不等式，要熟記幾個均值不等式的形式，熟記條件，并加以靈活運(yùn)用。第二問解題思路：構(gòu)造函數(shù)，令F（x）= f（x）-x，x∈[-1，1]，則F（-1）= f（-1）+1=■，F(xiàn)（1）=f（1）-1=-1/2 ，但F（x）在[-1，1]上連續(xù)，由介值定理可知，F(xiàn)（x）在[-1，1]上至少有一個零點(diǎn)，又由第一問可知，F(xiàn)（x）=f（x）-1<0，所以F（x）在[-1，1]上嚴(yán)格單調(diào)，從而至多有一個零點(diǎn)，這樣F（x）在[-1，1]上有且只有一個零點(diǎn)，即f（x）=x在[-1，1]上有且只有一個實(shí)根。第二問涉及的知識點(diǎn)有：構(gòu)造函數(shù)、介值定理和函數(shù)的單調(diào)性。介值定理在極限中同樣應(yīng)用廣泛，是考查的重點(diǎn)。第一問主要用到了泰勒公式，是泰勒公式和不同知識點(diǎn)的聯(lián)合運(yùn)用。第二問核心思路是構(gòu)造函數(shù)，第一問中同樣涉及了一些構(gòu)造的知識，和第三題做比較，是構(gòu)造函數(shù)和不同知識點(diǎn)的聯(lián)合運(yùn)用。

三、結(jié)語

總之，運(yùn)用排列組合思維方式有助于學(xué)生理順題目中涉及的知識，形成一個知識框架，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)奧妙的興趣。因此，教師應(yīng)重視排列組合思維方式的滲透，提高學(xué)生有效解決數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊梅.數(shù)學(xué)排列組合問題中的易錯點(diǎn)探研[J].成才之路，2018（08）.

[2]章幸辛.數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中數(shù)學(xué)思維的認(rèn)識及培養(yǎng)[D].江西師范大學(xué)，2003.