廣東省廣州市華僑外國語學(xué)校(510095) 陳文陽

廣東省廣州市越秀區(qū)教育發(fā)展中心(510080) 吳平生

初中數(shù)學(xué)中的定理、公式、法則、性質(zhì)和數(shù)學(xué)基本方法等統(tǒng)稱為初中數(shù)學(xué)規(guī)則,我們把以初中數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)作為主要教學(xué)任務(wù)的一類課稱為初中數(shù)學(xué)規(guī)則課.根據(jù)皮連生教授提出的“廣義知識學(xué)習(xí)三階段模型”,數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷新規(guī)則的習(xí)得、鞏固與轉(zhuǎn)化、遷移與應(yīng)用三個心理階段,下面結(jié)合這三個心理階段來探究初中數(shù)學(xué)規(guī)則課的關(guān)鍵教學(xué)策略.

一、習(xí)得數(shù)學(xué)規(guī)則的關(guān)鍵教學(xué)策略

1.提供問題情境,自然生成規(guī)則.

習(xí)得數(shù)學(xué)規(guī)則有兩種基本方式:一種是從例子到規(guī)則的學(xué)習(xí);另一種是從規(guī)則到例子的學(xué)習(xí).教學(xué)中可根據(jù)具體數(shù)學(xué)規(guī)則的特點,創(chuàng)設(shè)合適的問題情境,讓學(xué)生動手操作、觀察猜想、推理證明,由具體的例子發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)則、習(xí)得數(shù)學(xué)規(guī)則.例如在“角的平分線的性質(zhì)”教學(xué)中,可創(chuàng)設(shè)如下的問題情境.

問題情境1如何畫出一個角的平分線?有哪些方法?并說明其依據(jù).

方法1用折紙方法折出角的平分線,依據(jù)是角是軸對稱圖形.

方法2借助量角器畫出角的平分線,依據(jù)是角的大小可度量.

方法3用尺規(guī)作圖作出角的平分線,依據(jù)是全等三角形的對應(yīng)角相等.

問題情境2如圖1,在∠AOB的平分線OC上任取一點P,如何畫出點P到OA,OB的距離?觀察點P到OA,OB的距離,兩者有何關(guān)系?并加以驗證.

方法1過點P將平角平分折出垂線段PD與PE.通過折紙重合可發(fā)現(xiàn)PD=PE.

圖1

方法2借助量角器作出垂線段PD與PE.用刻度尺測量可發(fā)現(xiàn)PD=PE.

方法3用尺規(guī)作圖的方法作出垂線段PD與PE.由三角形全等可證明PD=PE.

以上問題情境從畫出一個角的平分線的熟悉情境出發(fā),過渡到畫出角平分線上一點到角兩邊的距離的陌生情境,通過動手操作、幾何測量、推理證明等多種方式讓學(xué)生經(jīng)歷了角平分線性質(zhì)的生成與發(fā)現(xiàn)過程,豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗,開闊了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,促進了學(xué)生對“如何獲得”與“如何驗證”角平分線性質(zhì)的理解和認識.

2.提供多元表征,促進理解規(guī)則.

數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)要讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)規(guī)則為什么是這樣,揭示規(guī)則背后的數(shù)學(xué)原理.在數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)中,教師要有意識地提供多種證明或理解方法,展示數(shù)學(xué)規(guī)則的不同表征形式,豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)則的多元認識.

例如,在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的教學(xué)中,可提供如下的表征形式.

①情境表征:將一塊邊長為a米的正方形土地一邊減少b米(0＜b＜a),相鄰一邊增加b米,變成一塊長為(a+b)米,寬為(a-b)米的長方形土地,問前后土地的面積是否發(fā)生了變化?由此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式.

②操作表征:任取幾組a,b的數(shù)值,分別計算(a+b)(a-b)和a2-b2的值,比較結(jié)果,形成猜想,再用多項式乘多項式驗證公式.

③文字表征:用文字語言“兩數(shù)之和與這兩數(shù)之差的積,等于這兩數(shù)的平方差”敘述平方差公式.

④符號表征:用符號(□+△)(□-△)=□2-△2理解和記憶公式.

⑤圖形表征:利用如圖2中圖形的面積說明平方差公式.

在給出數(shù)學(xué)規(guī)則的文字、符號、圖形等各種表征形式之余,還應(yīng)分析各種表征的特性及其局限性,幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)則的表征形式作出選擇與轉(zhuǎn)換,從而全面理解數(shù)學(xué)規(guī)則.

圖2

二、鞏固數(shù)學(xué)規(guī)則的關(guān)鍵教學(xué)策略

1.提供樣例學(xué)習(xí),明確規(guī)則要點.

在數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)中,教師提供樣例給學(xué)生學(xué)習(xí),明確使用數(shù)學(xué)規(guī)則的程序與步驟,是將數(shù)學(xué)規(guī)則轉(zhuǎn)化為辦事技能的重要步驟.比如在學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程時,可提供如下樣例.

例1用公式法解下列方程:

①x2+3x-5=0;②4x2-12x+9=0;③x2+15=7x;④x(2x-4)=5-8x.

通過以上樣例,讓學(xué)生明確用公式法解一元二次方程的一般步驟可分為五步:化→寫→算→判→求.第一步:化,即把方程化成ax2+bx+c=0的標(biāo)準(zhǔn)形式;第二步:寫,即寫出系數(shù)a,b,c的值;第三步:算,即計算出根的判別式Δ=b2-4ac的值;第四步:判,即根據(jù)判別式Δ的符號判斷方程實數(shù)根的個數(shù),當(dāng)Δ＜0時,方程無實數(shù)根;當(dāng)Δ=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)Δ＞0,方程有兩個不等的實數(shù)根;第五步:求,即當(dāng)Δ≥0時,代入求根公式求出方程的實數(shù)根x1與x2.樣例中題①,②,③的方程根的判別式Δ的符號分別是Δ＞0,Δ=0,Δ＜0,代表了方程不同實根個數(shù)的情況,題③,④的方程需先化成標(biāo)準(zhǔn)形式.

2.提供反例學(xué)習(xí),突破規(guī)則難點.

學(xué)生對新規(guī)則的理解和使用往往存在著一定的誤區(qū),在規(guī)則教學(xué)中通過展示學(xué)生練習(xí)或作業(yè)中的常見錯誤,讓學(xué)生分析錯誤并反思其根源,可以幫助學(xué)生完善對規(guī)則的理解,突破規(guī)則學(xué)習(xí)的難點.比如在學(xué)習(xí)用提公因式法分解因式時,可提供如下反例學(xué)習(xí).

例2判斷下列因式分解是否正確?若不正確,請指出錯誤并加以改正.1○a2b-2ab2+ab=ab(a-2b);2○m2(x-y)-m(y-x)=(x-y)(m2-m).

以上反例源自學(xué)生常犯錯誤,通過剖析上述反例,指出漏項、漏變號、分解不徹底等常見錯誤,進一步總結(jié)出比較兩邊項數(shù)、把因式展開對照等檢驗方法,讓學(xué)生學(xué)會找錯、糾錯、防錯的方法,提高正確運用規(guī)則進行因式分解的技能.

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)則的關(guān)鍵教學(xué)策略

1.提供變式練習(xí),促進規(guī)則運用.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)則的目的是能將習(xí)得的數(shù)學(xué)規(guī)則運用到具體情境中去解決相應(yīng)的問題,進行變式訓(xùn)練是促進學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)則遷移與應(yīng)用的有效途徑.

提供變式練習(xí)主要有兩種方式,第一種方式是保持規(guī)則的本質(zhì)不變,不斷改變非本質(zhì)屬性的呈現(xiàn)形式,使得學(xué)生能夠靈活運用規(guī)則解決問題.例如在學(xué)習(xí)冪的乘方法則:(am)n=amn(m,n都是正整數(shù))時,可以提供如下例題及變式練習(xí).

例3計算:(1)(103)5;(2)(a4)4;(3)(am)3;(4)[(a+b)2]n.

變式1計算:(1)(x3)4·(x6)2;(2)(x3)4+(x6)2;(3)-(x3)4+(-x6)2.

變式2若am=2,an=3,求a3m與am+2n的值.

變式3若4n·8n=210,求n的值.

變式4比較230與320的大小.

以上例題與變式分別從法則的正用(冪的底數(shù)可以是數(shù)、字母、單項式或多項式,指數(shù)可以是數(shù)或字母),混用(同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、合并同類項的混合運算),逆用(化為同底數(shù)),變用(化為同指數(shù))等角度與方式對冪的乘方法則進行了各種變式,促進了學(xué)生對運算法則的深入理解與靈活運用.在解決上述問題時,可以讓學(xué)生不斷思考并回答:本題用到了哪些運算?每一步的運算依據(jù)是什么?使學(xué)生充分理解具體的算法與背后的算理之間的內(nèi)在聯(lián)系.

圖3

提供變式練習(xí)的第二種方式是適當(dāng)改變數(shù)學(xué)規(guī)則的條件或結(jié)論,得到與原規(guī)則相關(guān)的命題,引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去理解原規(guī)則,促進學(xué)生對規(guī)則的應(yīng)用.比如,學(xué)生由圓的對稱性習(xí)得圓的垂徑定理(垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧)后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析定理的條件(一條直線經(jīng)過圓心,且垂直于弦)和結(jié)論(該直線平分弦,且平分弦所對的優(yōu)弧或劣弧).通過調(diào)換命題的條件和結(jié)論可以得到新的命題①:平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧;命題②:弦的垂直平分線經(jīng)過圓心.然后讓學(xué)生判斷新命題的真假.命題①是假命題,如圖3,⊙O的直徑CD平分弦AB(AB經(jīng)過圓心O),但CD不垂直于弦AB;命題②是真命題.接著,可以提供如下的變式練習(xí).

練習(xí)1如圖4,水平的地面上垂直放置著緊貼在一起的圓圈與刻度尺,刻度尺的寬為2.4cm,它的一邊與圓圈的兩個交點處的讀數(shù)分別0和6,求圓圈的半徑.

練習(xí)2如圖5是將⊙O沿弦AB翻折后得到的圖形,請用尺規(guī)作圖的方法找出圓心O(不寫作法,保留作圖痕跡).

圖4

圖5

通過對原規(guī)則及其相關(guān)規(guī)則的分析、比較,并加以應(yīng)用,進一步加強學(xué)生對規(guī)則的理解,提高學(xué)生運用規(guī)則解決問題的能力.

2.提供分層練習(xí),促進規(guī)則遷移.

數(shù)學(xué)規(guī)則的遷移與應(yīng)用是一個循序漸進的過程,教師要設(shè)計不同層次的練習(xí),強化學(xué)生對規(guī)則的遷移意識,逐步提高學(xué)生運用規(guī)則的能力.例如,在學(xué)習(xí)“勾股定理”后,可設(shè)計如下分層練習(xí),有步驟地提升學(xué)生應(yīng)用勾股定理解決問題的水平.

層次一正確敘述規(guī)則的水平.

題1判斷下列命題是否正確,并說明理由.

①若a,b,c是△ABC的三邊,則a2+b2=c2;

②若a,b,c是Rt△ABC的三邊,則a2+b2=c2;

③若a,b,c是Rt△ABC的三邊,∠A=90°,∠A的對邊為a,則a2+b2=c2;

④若a,b,c是Rt△ABC的三邊,∠C=90°,∠C的對邊為c,則a2+b2=c2.

題1中只有④是正確的.本題旨在檢測學(xué)生對勾股定理的條件與結(jié)論的理解是否有偏差,幫助學(xué)生能用符號語言正確敘述勾股定理.

層次二識別規(guī)則適用情境的水平.

題2如圖6,一根木棒AB斜靠著地面l和墻CDEF放置,已知墻面的傾斜角∠FCD=60°,AC=3米,BC=4米,求木棒AB的長.

圖6

圖7

題2中的△ABC不是直角三角形,因此不能直接運用勾股定理求AB.如圖7,過點B作BG⊥l于點G,構(gòu)造出Rt△BCG求得CG=2和BG=2,然后在Rt△ABG中利用勾股定理求出AB=本題旨在幫助學(xué)生學(xué)會識別勾股定理的適用情境,并能適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決問題.

層次三應(yīng)用規(guī)則作出推斷的水平.

題3如圖8是由一個周長為的六邊形ABCDEF與12個不同的直角三角形拼接成的圖案,試求a2+b2+c2的值.

圖8

這是一道利用勾股定理進行計算推理的題目,由圖中已知直角邊長可計算出AB=BC=CD=EF=再由六邊形ABCDEF的周長可得根據(jù)勾股定理則有a2+b2+c2=2019.

題4如圖9,在△ABC中,E是中線CD延長線上的一點,∠BCD=45°,∠AED=135°,試探究BC,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

圖9

圖10

本題需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形,然后利用勾股定理推出相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系.如圖10,過點B作BF//AE交CD于點F,易證△BFD～=△AED,從而DF=DE,∠BFD=∠AED=135°.由∠BCD=45°,可知△BCF是等腰直角三角形.根據(jù)勾股定理有CF=所以CD-DE=CD-DF=CF=

通過不同層次題目的訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會聯(lián)想、猜想、探究,并能運用勾股定理對結(jié)論作出合理的推斷或解釋,逐步提升學(xué)生應(yīng)用勾股定理解決問題的熟練程度.

教無定法,貴在得法.在數(shù)學(xué)規(guī)則的習(xí)得階段,創(chuàng)設(shè)問題情境,提供多元表征,能夠?qū)W(xué)生聚焦于重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容上,有助于激發(fā)學(xué)生探究的好奇心;在數(shù)學(xué)規(guī)則的轉(zhuǎn)化階段,提供樣例學(xué)習(xí)與反例學(xué)習(xí),能夠幫助學(xué)生從正反兩面獲得數(shù)學(xué)規(guī)則的使用步驟與注意事項;在數(shù)學(xué)規(guī)則的應(yīng)用階段,提供變式練習(xí)與分層練習(xí),有助于學(xué)生由近及遠地遷移應(yīng)用規(guī)則,體現(xiàn)了教師對學(xué)生的支架式指導(dǎo)作用.在數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)實踐中,我們可以根據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容開發(fā)、補充、完善、優(yōu)化數(shù)學(xué)規(guī)則的關(guān)鍵教學(xué)策略,不斷提高數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)的實效性.