云南省曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(655011) 孫雪梅

云南省曲靖市第一中學(xué)(655000) 李德安

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為:學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力[1].如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實于課堂教學(xué)中是高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)前要解決的首要問題.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)本質(zhì)上反映的是思維品質(zhì),基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[2].

逆向思維是指根據(jù)一種觀念(概念、原理、思想)、方法及研究對象的特點,從它的相反或否定的方面去進(jìn)行思考,以產(chǎn)生新的觀念[3].家喻戶曉的“司馬光砸缸”的故事,就是典型的逆向思維,人們習(xí)慣的正向思維要從水里救人,是要讓人離開水,而司馬光的聰明之處就是利用逆向思維讓水離開人.在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常用到逆向思維來破解用正向思維解決起來較為復(fù)雜困難的問題,從而得到新穎巧妙而簡潔的解法.文中通過例子,對比分析正向思維與逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,并探究如何在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

1.公式逆用,化繁為簡

例1判斷函數(shù)f(x)=的奇偶性.

利用正向思維要判斷函數(shù)的奇偶性,學(xué)生想到是圖象法和定義法,于是可得如下解法1和解法2.

解法1畫出函數(shù)f(x)的圖象,可知圖象關(guān)于原點對象,f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).

解法2根據(jù)已知條件,進(jìn)行分類討論.①當(dāng)x≥0時,則-x≤0.f(-x)=(-x)2=x2=-(-x2)=-f(x);②當(dāng)x≤0時,則-x≥0.f(-x)=-(-x)2=-x2=-f(x).綜上所述,f(-x)=-f(x).又f(x)定義域關(guān)于原點對稱,故f(x)為奇函數(shù).

引導(dǎo)學(xué)生逆用絕對值公式|x|=由右到左添絕對值符號,可將f(x)的表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而易判斷出f(x)的奇偶性,避免了解法2中繁復(fù)的討論,由此得到以下解法3.

解法3由于所以f(x)=-x|x|.因為y=-x為奇函數(shù),y=|x|為偶函數(shù),所以顯然f(x)是奇函數(shù).

“可逆性”、“雙向性”是數(shù)學(xué)逆向思維最基本的特征,它包括了兩個不同而又相互關(guān)聯(lián)的過程,它與只是向著一個方向起作用的單向的A→B型聯(lián)想(聯(lián)結(jié))相反,是雙向的A←→B型的聯(lián)想的建立[3].學(xué)生習(xí)慣正向的“順?biāo)肌?而忽視了事物間是互為因果聯(lián)系的.學(xué)生由于思維定勢對“反過來”思考的逆向思維不太習(xí)慣,但逆向思維對數(shù)學(xué)問題的解決能起到簡化甚至是突破性的效果.通過正向和逆向思維解法的對比,讓學(xué)生切實感受到逆向思維化繁為簡的作用.

2.打破常規(guī),化陳為新

例2若a＞0,b＞0,且當(dāng)時,恒有ax+by≤1.求以a、b為坐標(biāo)的點P(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積.

學(xué)生看到線性規(guī)劃的題,由于思維定勢,馬上想到是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),然后討論目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問題,自然有體現(xiàn)正向思維的以下典型解法1.

解法1作出線性約束條件對應(yīng)的可行域,如圖1所示,在此條件下,要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大值不超過1即可,令z=ax+by,則

①當(dāng)-1即b＞a時,則直線經(jīng)過點A時z最大,且zmax=b,所以b≤ 1,此時,0＜a＜b≤1,點P(a,b)形式的可行城如圖2所示,

綜上所述,點P(a,b)所形成的平面區(qū)域是邊長為1的正方形,如圖4所示,故點P(a,b)形成的平面區(qū)域的面積為1.

圖1

圖2

圖3

圖4

以上解題過程就是正向思維,先設(shè)出目標(biāo)函數(shù)z=ax+by,將恒成立問題轉(zhuǎn)化到最值問題,即只需zmax≤1,最后拿出a、b滿足的約束條件,求出面積,但為了明確zmax,需要進(jìn)行分類討論,較為繁瑣而且易出錯.引導(dǎo)學(xué)生逆向思維:ax+by≤1表示的也是一個平面區(qū)域,要使之恒成立,即是一個區(qū)域的覆蓋問題,簡單明了,無須分類討論即可求出a、b滿足的約束條件,即可得到如下解法2.

解法2邊界直線ax+by=1恒過點M要使ax+by≤ 1在時恒成立,則ax+by≤1所表示的半平面完全覆蓋了所表示的平面區(qū)域,所以即故點P(a,b)表示的平面區(qū)域是邊長為1的正方形,所以點P(a,b)形成的面積為1.

以上逆向思維體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換,已知問題A,要解決較困難的問題B,先解決另一個與之相關(guān)的較容易的問題C,而解決了問題C也就能解決問題B了.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)換方法離不開運用已有的數(shù)學(xué)知識、方法和經(jīng)驗來解決數(shù)學(xué)問題的常規(guī)的正向思維.因此,在數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,在強調(diào)逆向思維的重要性的同時,也要重視正向思維的訓(xùn)練,因為正向和逆向思維雖是不同但又是互相聯(lián)系的兩種思維形式,逆向思維是建立在正向思維的基礎(chǔ)上的.正向思維是慣性使然,逆向思維是打破慣性思維,是正向思維的逆向探求和再出發(fā).

3.逆向探求,化難為易

例3 函數(shù)y=asinx-bcosx的一條對稱軸方程為則直線ax-by+c=0的傾斜角是多少?

學(xué)生看到此題,容易想到利用“輔助角”公式,將函數(shù)y=asinx-bcosx化為表示出對稱軸公式,再將代入對稱軸公式進(jìn)而求出傾斜角的正向思維解法,即是如下解法1.

解法1其中tan對稱軸方程為x-φ=∈?,所以+kπkπ,k∈?,所以tanφ=-1,即所以所以傾斜角是

引導(dǎo)學(xué)生逆向思維,先不表示出對稱軸方程,而是從知道了對稱軸方程思考它有什么樣的性質(zhì)出發(fā),從而找到a與b的關(guān)系求出傾斜角,有以下解法2、解法3、解法4三種解法.

解法2因為一條對稱軸為所以f(0)即-b=a,所以所以傾斜角是

解法3是函數(shù)的一條對稱軸,所以取得最大值或最小值,所以所以傾斜角為

解法4f(x)在處取得最值也取得了極值,所以因為f′(x)=acosx+bsinx,所以所以所以傾斜角是

以上三種解法就是逆向探求,屬于逆向思維中的“反推理”,利用分析法,換個角度看問題,把問題的解決的程序顛倒一下,由結(jié)論尋條件,就能化隱為顯,化難為易.

4.正難則反,巧妙新奇

例4已知橢圓C:直線l與y軸交于點

P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A、B,且求m的取值范圍.

此題屬于直線與圓錐曲線的綜合問題,正向思維就是利用常規(guī)解法:聯(lián)立方程、消元、利用韋達(dá)定理和“Δ”判別式、,再根據(jù)題設(shè)條件找到與坐標(biāo)的聯(lián)系,于是有以下解法1.

解法1由題意知直線l斜率存在且不等于0,設(shè)其方程為y=kx+m(k/=0),代入橢圓方程得(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0(*).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理得又即有 (-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),所以-x1=2x2,所以所以x1·x2=-2(x1+x2)2,所以?(9m2-4)k2=8-2m2.當(dāng)9m2-4=0時,上式不成立,所以9m2-4/=0,所以＜m2＜4,此時方程(*)中的Δ＞0成立,所以m的取值范圍是

解法2可理解為過點P的直線與橢圓交于A、B兩點,存在顯然當(dāng)AB⊥y軸時,|AP|=|BP|,故只需≥ 2,當(dāng)點A、B分別在橢圓的下、上頂點時,取最大值,所以又m＜2,所以由對稱性可知,-2＜m也滿足題意.所以m的取值范圍是

綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的解題方法,綜合法的思維就是由已知到結(jié)論的正向思維,而分析法就是由結(jié)論到已知的逆向思維.此題正向思維的常規(guī)解法,雖然思路簡單,但計算繁瑣.在教學(xué)中,要適時啟發(fā)點撥,有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,可使學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、深刻性得到培養(yǎng)和提高.

史寧中在《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問題》中強調(diào):“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展,“四基”是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體,強調(diào)“四基”就要把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中,讓學(xué)生在掌握知識技能的同時理解知識的本質(zhì),感悟知識所蘊含的數(shù)學(xué)基本思想,積累數(shù)學(xué)思維和實踐的經(jīng)驗,在這個基礎(chǔ)上促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).”[1]在解題教學(xué)中,結(jié)合相關(guān)例題,讓學(xué)生掌握逆向思維在數(shù)學(xué)解題中表現(xiàn)為“反序”、“否定”兩種形式,“反序”包括反問題程序、反條件結(jié)論法(同一法、待定系數(shù)法)、反推理法(分析法、逆證法)和逆用公式、定理和定義等,而“否定”包括求補法、反證法、舉反例法等[4].教師在解題教學(xué)中要重視公式、定義、定理的逆用,要有意識訓(xùn)練學(xué)生會正反面思考,如果正向思維受阻或者較困難繁瑣就應(yīng)考慮逆向思維,正難則反.要讓學(xué)生通過實例學(xué)會反面思考或者從已知的條件、結(jié)論的否定方面去探索,或者通過轉(zhuǎn)換問題和方法,反序思考.通過正向和逆向思維的對比,讓學(xué)生感受到逆向思維化難為易、化繁為簡、化陳為新的作用,特別是在使用正向思維百思不得其解,山窮水盡疑無路時,使用逆向思維迎刃而解,體會到柳暗花明又一村的感覺,讓學(xué)生切實感受到逆向思維的奇妙和新穎.