安徽省馬鞍山市小馬教育培訓(xùn)學(xué)校(243000) 范宏業(yè)

在整理安徽省2018年中考數(shù)學(xué)第23題(壓軸題)的證法時,發(fā)現(xiàn)了一個比較神奇的情況,當(dāng)我們將這些證法集中在一起時,這些證法,竟然分布于義務(wù)教育階段所學(xué)的“圖形與幾何”全部內(nèi)容中,幾乎是覆蓋了“圖形與幾何”的所有知識點(diǎn);再透視這些證法時,除了用幾何綜合法外,還有“代數(shù)法”和“解析法”,也有學(xué)生用“同一法”,既有“直接法”,也有“間接法”,可以說,本題的證法,是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)證明方法的大展覽.透過這些證法,我們可以從中領(lǐng)悟到如何去進(jìn)行幾何證明的教學(xué);如何去進(jìn)行幾何證明的復(fù)習(xí).

1.原題及解答

(2018年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷第23題)如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)M為BD中點(diǎn),CM的延長線交AB于點(diǎn)F.

(1)求證:CM=EM;

(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;

(3)如圖2,若△DAE～=△CEM,點(diǎn)N為CM的中點(diǎn),求證:AN//EM.

圖1

圖2

1.1問題(1)典型的證法

證法一(利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”)

因?yàn)樵赗t△DCB中,∠ACB=90°,M為BD中點(diǎn).所以同理所以MC=ME.

證法二(利用“四點(diǎn)共圓”)

因?yàn)椤螦CB=90°,DE⊥AB,所以B、C、D、E四點(diǎn)在以BD為直徑的圓周上;又點(diǎn)M為BD中點(diǎn),所以MC=ME.(如圖3)

圖3

圖4

證法三(利用“線段的垂直平分線的性質(zhì)”)

過點(diǎn)M作MP⊥BC于點(diǎn)P,如圖4.因?yàn)椤螦CB=90°,所以MP//CD.又DM=BM,所以CP=BP.所以MP垂直平分BC.所以CM=BM.同理EM=BM,所以MC=ME.

(此證法是在閱卷過程中記錄下的學(xué)生證明.馬鞍山市的市區(qū)(花山區(qū)、雨山區(qū))使用的數(shù)學(xué)課本為上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版的“義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)”,在八年級下冊第81頁例6后有“經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊”.此證法雖然有點(diǎn)“舍近求遠(yuǎn)”,但思路清晰,過程流暢.)

1.2問題(2)典型的解法

證法一(利用等腰三角形及三角形外角的性質(zhì)得出二倍角,再利用鄰補(bǔ)角性質(zhì)求之,體現(xiàn)整體代入的思想.)

因?yàn)椤螧AC=50°,∠ACB=90°,所以∠CBA=40°.因?yàn)镃M=MB,所以∠MCB=∠CBM.所以∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM. 同理,∠DME=2∠EBM.所以∠CME=2∠CBA=80°.所以∠EMF=180°-∠CME=100°.

證法二利用“四點(diǎn)共圓”及圓周角推論證明.

由于B、C、D、E四點(diǎn)共圓(在(1)的基礎(chǔ)上,也可以是“一中同長”得出此“四點(diǎn)共圓”),所以∠EMC=2∠EBC;又∠BAC=50°,所以∠CBA=40°;∠CME=2∠CBA=80°;因?yàn)椤螩ME+∠EMF=180°,所以∠EMF=180°-∠CME=100°.

1.3問題(3)典型的證法

根據(jù)題意,△DAE～=△CEM.所以∠CME=∠DEA=90°,DE=MC,AE=EM.

思考不能停止.若在此停止了,后面就做不下去了.此處的進(jìn)一步的深入思考,是整過解題的基礎(chǔ).思考的越多,形成的新結(jié)論就越多,后面使用就越方便,證法就越多.真所謂是“橫看成嶺側(cè)成峰”,從不同的視角,可以給出不同的解決方法.這種順向推理,在進(jìn)行幾何證明訓(xùn)練時,一定要要求學(xué)生“多想一步”,不僅是現(xiàn)在的解題需要,也是創(chuàng)新意識培養(yǎng)的需要.

由(1)已證,MC=ME,所以DE=MC=AE=EM.所以△DAE,△CEM為等腰直角三角形,∠DAE=∠ADE=∠CEM=∠ECM=45°;Rt△ABC也為等腰直角三角形∠CBA=45°.又CM=DM=EM,所以DM=DE=EM.所以△DEM是等邊三角形.∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°;∠MBA=MCB=15°,∠BDC=75°

還有一些結(jié)論在后面的證明過程中展示;同時,推理得出的結(jié)論,在后面使用時,限于篇幅,就不一一證明了.下面根據(jù)證明方法根據(jù)所用的知識展現(xiàn)的.

1.3.1 利用平行線判定方法

這是解決本問題的最為直接,最為基本證法,思路明確.下面的證法是主要運(yùn)用平行線的判定方法中的“同位角相等,兩直線平行”進(jìn)行展開的.對本問題來說,由于有兩組“同位角”(“∠NAF與∠MEF”和“∠ANF=∠EMF”),都可以進(jìn)行證明.

1.3.1.1 解直角三角形

若選擇∠NAF與∠MEF作為同位角,因?yàn)椤螹EF=30°,所以只要證得∠NAF=30°.

圖5

圖6

證法一如圖5,作NP⊥AB于P.設(shè)MF=a,則EF=2a,ME=MC=AE==在Rt△ANP中,tan∠NAP所以∠NAP= 30°. 因 為∠MEF=30°,所以AN//EM.

1.3.1.2 相似法.(先證相似得到有關(guān)的角相等,再用同位角相等證平行.)

1.3.1.2.1 構(gòu)造A字型相似

證法二如圖6,設(shè)MF=a,則EF=2a,ME=MC=AE=MN=所以所以因?yàn)椤螮FM=∠AFN(1),所以△EFM∽△AFN(2).所以∠MEF=∠NAF(或∠FME=∠FNA)(3). 所以AN//EM(4).

也可以采用以下證法:

證法三 如圖6,易證在Rt△MEF中,∠MEF=30°,有因?yàn)镹是MC的中點(diǎn),所以因?yàn)椤鱀AE～=△CEM,所以所以所以后面同證法二的(1)-(4),此處略.

1.3.1.2.2 構(gòu)造子母相似形

證法四如圖7,設(shè)MF=a,則EF=2a,ME=MC=AE==AF=EF+AE=2a+所以又因?yàn)榍摇螦FN=∠NFP,所以△AFN∽△NFP,所以∠NAP=∠PNF=30°=∠MEF(∠ANF=∠NPF=90°=∠EMF),所以AN//EM.

此法也可證△APN∽△NPF.

圖7

圖8

證法五如圖8,過點(diǎn)M作MP⊥AB于P,設(shè)PF=a,MF=2a,則EM=AE=CM=NM=所以因?yàn)椤螹FP=∠AFN,所以△MFP∽△AFN,所以∠MPF=∠ANF=90°,所以∠ANF=∠EMF=90°,所以AN//EM.

1.3.1.2.3 面積法

利用面積法證線段成比例,得到相似,從而證明平行.

圖9

證法六連接NE,DF,作MG⊥AB,垂足為G,如圖9.因?yàn)镹是中點(diǎn),所以S△CEM=2S△MEN.易證MG=DE,所以S△DEF=2S△MEF.因?yàn)?后面的證明過程就不再贅述了.

上面的證法主要是圍繞∠MEF=∠NAF展開的.

若選擇∠ANC與∠EMC作為同位角,因?yàn)椤螮MC=∠AED=90°,所以只要證得∠ANC=90°.根據(jù)已知條件證得“AM=AC”,而點(diǎn)N為CM中點(diǎn),由等腰三角形“三線合一”即可得到AN⊥CM.進(jìn)一步∠EMC=∠AED=90°,從而AN//EM.下面圍繞證明“AM=AC”這一思路進(jìn)行證明.

在證明“AM=AC”可采用“代數(shù)法”與“幾何法”,代數(shù)法即利用勾股定理等方法將AM與AC用含相同參數(shù)的表達(dá)式表示出來,幾何法:(1)若兩條線段不在同一三角形中,常通過證明全等得出結(jié)論;(2)若兩條線段在同一三角形中,可以通過“等角對等邊”加以說明.

1.3.1.2.4 等腰三角形

在證明AM=AC得到△ACM位等腰三角形時,也有著多種證法,先用“代數(shù)法”.

圖10

圖11

證法七如圖10,連結(jié)AM,作MP⊥AN于P.設(shè)AE=ME=2a,因?yàn)椤螹EB=30°,所以MP=a,EP=BP=所以AM2=AP2+MP2=(2a+)2+a2=(8+4)a2,AC2=AB2=(2a+2)2=(8+4)a2,所以AM=AC.又N為CM中點(diǎn),所以AN⊥CM,而EM⊥CM,所以AN//EM.

也可以采用如圖11的作圖,從而形成新的計(jì)算AM、AC的計(jì)算方法.

證法八構(gòu)造如圖11所示的矩形,設(shè)AE=ME=2a,因?yàn)椤螹EB=30°,所以MR=CQ=a,ER=MQ==QR=a+所以AM2=AP2+MP2=(2a+)2+a2=(8+4)a2,AC2=2AP2=2(a+)2=(8+4)a2,所以AM=AC.后面的證明就不再贅述了.

1.3.1.2.5 等角對等邊

圖12

圖13

連接AM后,線段AM、AC位于同一三角形中,可能會想到“等角對等邊”這一方法,再利用等腰三角形中的三線合一的性質(zhì).下面的幾種證法從不同的視角證明了AM=AC.證法九如圖12,連接AM,則∠EAM=∠EMA=∠MEF=15°,所以∠AMC=∠EMC-∠EMA=75°,①又∠CMD=∠EMC-∠EMD=30°,且MC=MD,所以∠ACM=(180°-30°)=75°,②由①可知AC=AM,又N為CM中點(diǎn),所以AN⊥CM,而EM⊥CM,所以AN//EM.

從“證法九”中,我們看到,若能將題目中的條件充分挖掘,此法的思路自然是清晰明了、水到渠成.

1.3.1.2.6 全等法

三角形全等是證明線段相等的最常規(guī)辦法,可以利用原圖或采取構(gòu)造的方式尋找全等三角形.

證法十(全等法1)如圖13.連接AM,在△ACE與△MAD中,因?yàn)锳E=MD,∠AEC=∠MDA=105°,CE=AD,所以△ACE～=△MAD(SAS).所以AC=AM.再用等腰三角形“三線合一”或“全等”證得AN⊥CM,而EM⊥CM,所以AN//EM.

聯(lián)想到等腰三角形三線合一的性質(zhì),證∠ANM=90°或∠ANC=90°.

證法十一 (全等法2)連接AM,如圖14.先證明△DEM是等邊三角形,可以得到∠CMD=∠MEF(不必寫出 30°),從而得到∠CMB=∠MEA,在△AEM與△CMB中,易證AE=CM=EM=MB,且∠AEM=∠CMB=150°,所以△AEM～=△CMB(SAS),所以AM=CB.所以AC=AM.后面的證明就不再贅述了.

圖14

圖15

以下還有幾種巧妙構(gòu)圖方式,也可以通過全等證明AC=AM,限于篇幅,只給圖形,不在進(jìn)行文字說明.

證法十二(全等法3)構(gòu)造如圖15所示圖形,證明△APC～=△ADM.

證法十三(全等法4)構(gòu)造如圖16所示圖形,證明△APC～=△AEM.

圖17

證法十四(全等法5)如圖17,連接AM,過點(diǎn)M作MG⊥AB,垂足為點(diǎn)G.易證在Rt△MEF中,∠MEF=30°,所以MG=EM.因?yàn)镹是MC的中點(diǎn)所以MN=MC.即MN=EM.所以MG=MN.易證∠CMG=150°,且易求∠AMG=75°. 所以∠AMN=75°,所以△AMN～=△AMG(SAS).所以∠ANM=∠MGA=90°.后面的證明就不再贅述了.

圖18

證法十五(全等法6)如圖18,過點(diǎn)B作BH⊥CF于點(diǎn)H,又EM⊥CM,所以EM//BH,得△BHF∽△EMF,∠FMB=∠FBM=30°,所以MF=BF.在 Rt△EMF中,∠FEM=30°所以MF所以又MN=CN=EM,所以CN=BH.因?yàn)椤螻CA=∠HBC=75°,AC=CB,所以△NCA～=△HBC.因?yàn)椤螦NC=∠CHB=90°,所以AN⊥CM.又EM⊥CM,所以AN//EM.

此種證法,就是我們在講解三角形全等時的一個重要模型:一線三等角全等法,在此是異側(cè)型“一線三直角全等”.

1.3.2 直角三角形斜邊中線等于斜邊一半

證法十六如圖19,分別延長CA、ME交于點(diǎn)P,在AP上截取AQ=CD,△AEQ～=△DEC,則通過角的關(guān)系變化,可得∠P=∠QEP=15°.所以PQ=QE=CE=AD,所以AP=AC,即點(diǎn)A為PC中點(diǎn),由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半,可知AM=PC=AC.

還可以進(jìn)行這種巧妙構(gòu)圖:

1.3.3 運(yùn)用“中位線定理”

證法十七如圖20,延長CA,ME交于點(diǎn)G,過A作AP⊥AB于A,交EG于P.易證△APE～=△MFE,得AP=MF=FB,∠APE=∠MFE,所以∠APG=∠CFB. 又∠GAP=∠CBF=45°,所以△GAP～=△CBF,AG=BC=AC.又CN=MN,所以AN//EM.

圖20

圖21

1.3.4 運(yùn)用“平行于同一條直線的兩條直線平行”

因?yàn)槠叫杏谕粭l直線的兩條直線平行,因此,此題可以構(gòu)造AN、EM之外的“第三方直線”,通過平行的傳遞性予以解決.

證法十八如圖21,過點(diǎn)C作CP//ME交BA延長線于點(diǎn)P,則∠CPE=∠MEF=30°.在△ECP與△DAB中,因?yàn)椤螩PE=∠MEF=∠ABD=30°,∠CEP=∠ADB=105°,CE=AD,所以△ECP～=△DAB(AAS),所以PE=BD=2AE,即點(diǎn)A為PE中點(diǎn),所以AN為梯形MCPE的中位線,所以AN//CP//ME.

此法也可采用倍長EA再證全等或構(gòu)造母子型相似解決.

1.3.5 構(gòu)造含對邊平行的特殊圖形

在初中階段,我們學(xué)習(xí)了多種含對邊平行特征的圖形,如:平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等,特別是平行四邊形類圖形只要證得其中一組對邊平行,另外一組對邊也就平行,此題用這種思路解決甚為巧妙.

1.3.5.1 構(gòu)造平行四邊形

證法十九如圖22,過點(diǎn)N作AB的平行線交EM的延長線于點(diǎn)P,所以∠P=∠MEB=30°,所以PN=2MN=CM=AE,因?yàn)镻N//AE,PN=AE,所以四邊形AEPN是平行四邊形,所以AN//EM.

圖22

圖23

1.3.5.2 構(gòu)造構(gòu)造矩形

證法二十如圖23.根據(jù)此圖形易證AN//EM,限于篇幅不再贅述.

1.3.5.3 構(gòu)造菱形

證法二十一(倍長中線法證明線段平行)如圖24,倍長中線.延長AN至G,使NG=AN,則四邊形ACGM是平行四邊形.再證AC=AM,則ACGM是菱形,而菱形的對角線相互垂直,因此,AN⊥CM.后面的證明就不再贅述了.

圖24

圖25

1.3.6 軸對稱法

證法二十二如圖25,易證△AED和△EMC是等腰直角三角形,所以DE=DM=EM,△DEM是等邊三角形,∠CMD=∠MEF=30°.將△CEM沿EM折疊至△GEM,易證△AEC～=△DEG.所以∠EDG=∠CAE=45°,∠MDG=∠MGD=15°. 因?yàn)椤螪MG=∠AEM=150°,所以△AEM～=△DMG.所以AM=DG=AC,△ACM為等腰三角形.因?yàn)镃N=MN,所以AN⊥CM.又EM⊥CM,所以AN//ME.

1.3.7 旋轉(zhuǎn)法

證法二十三如圖25,將△CEA繞點(diǎn)E按順時針旋轉(zhuǎn)90°得△DEG.

1.3.8 解析法

證法二十四以點(diǎn)C作坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖26.證線段平行,即可證明線段所在的直線的斜率相等.設(shè)點(diǎn)A(a,0),D(b,0),易證△ABC為等腰直角三角形,則B(0,a),所以lAB:y=-x+a,易得△ADE是等腰直角三角形,則有l(wèi)DE:y=x-b.由解得:因?yàn)镸是BD的中點(diǎn),N是MC的中點(diǎn),所以因?yàn)镈M=DE,又DM=在 Rt△ADE中,DE=所以即a2-4ab+b2=0;若AN//ME,則必有kAN=kME,則有化簡得:a2-4ab+b2=0,即證.(此證法是在閱卷過程中記錄下的學(xué)生證明.)

圖26

圖27

1.3.9 同一法

證法二十五如圖27,過點(diǎn)A作AN′⊥CF于N′,易證△DEM 為等邊三角形,從而∠MEF=30°,∠MFA=60°,∠N′AF=30°,N′F=AF.令MF=a,則EM=AE=CM=EF=2a, MN′=MN′=CN′,得N′為CM 的中點(diǎn).又N 為CM 的中點(diǎn),N′與N 重合,得證AN//EM.(此證法是在閱卷過程中記錄下的學(xué)生證明.)

1.3.10 運(yùn)用“余弦定理”

證法二十六設(shè)MF=a,利用余弦定理(超綱)求得(或解形求之),再求AF2-NF2=所以AN2=AF2-NF2,利用勾股定理的逆定理得到∠ANF=90°,從而得∠ANF=∠EMF,得到AN//EM.(此證法是在閱卷過程中記錄下的學(xué)生證明.)

1.3.11 三角形函數(shù)中的倍角公式

本法的特點(diǎn)是利用二倍角公式和相似.

證法二十七設(shè)CM=BM=a,∠MCB=∠MBC=15°,所以BC=BDcos15°=2CMcos15°=2acos15°=AC,因?yàn)椤螩MD=30°,∠CDM=∠DCM=75°,所以CD=2CMsin15°=2asin15°,所以CD·AC=4sin15°cos15°a2=a2=CM2=12CM·2CM=CN·BD.即又∠CAN=∠BDC=75°,所以△BCD∽△ANC,所以∠ANC=∠BCD=∠EMF=90°.所以AN//EM.(此證法是在閱卷過程中記錄下的學(xué)生證明.)

2.對中考復(fù)習(xí)的啟示

在中考的總復(fù)習(xí)過程,教師要十分重視學(xué)生對基礎(chǔ)知識的梳理和復(fù)習(xí),即使是這樣的壓軸題,除了后面幾種解法超出《課程標(biāo)準(zhǔn)》外,其他方法都是基本方法.當(dāng)然,此題方法肯定還有很多,有待繼續(xù)探索和補(bǔ)充.對幾何學(xué)習(xí)而言,真是所謂“做百題不如吃透一題”.

無論是在總復(fù)習(xí)時,還是在平時的幾何教學(xué)中,教會學(xué)生面對幾何問題時的分析方法,如何從已知條件進(jìn)行正向推理,也就是所謂“由因?qū)Ч?如何根據(jù)所要證明的問題進(jìn)行逆向溯源,尋找成立的條件,即所謂的“執(zhí)果索因”倒推;還有,從條件出發(fā)向前推理,從結(jié)論出發(fā)尋找成立的條件的“兩頭湊”的方法,做到進(jìn)退有序,尋找條件與結(jié)論的聯(lián)結(jié)點(diǎn)從而輕松解決問題,將這些分析的方法變成面對幾何問題時的思維習(xí)慣.

在幾何教學(xué)或復(fù)習(xí)中,一定要向?qū)W生說明,數(shù)學(xué)的閱讀,其實(shí)是一個“推理式深加工閱讀”,在閱讀的過程中,要邊閱讀邊思考,要善于聯(lián)想,并進(jìn)行發(fā)散式思維,要盡可能多想一點(diǎn),不僅是看清其字面意思,更重要的要能讀“弦外音”,想到“話中有話”,可以說是典型的“由表及里,由此及彼,推陳出新”的過程.這一切,都需要學(xué)生在平時學(xué)習(xí)養(yǎng)成好的“推理式深加工閱讀”的習(xí)慣,對條件進(jìn)行發(fā)散式思考,這種思考方式,不僅可以促進(jìn)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)解題,也可以培育學(xué)生的創(chuàng)新思維,為學(xué)生的未來發(fā)展奠定基礎(chǔ),即所謂的“數(shù)學(xué)使人聰明”.

3.感謝

感謝安徽省馬鞍山市教育科學(xué)研究院數(shù)學(xué)教研員、特級教師劉義杰老師的指導(dǎo);感謝馬鞍山市成功學(xué)校湯深晶老師和他的學(xué)生(他們當(dāng)時都是八年級的學(xué)生),在2018年中考結(jié)束后,我們在一起討論本題的解法;感謝馬鞍山市當(dāng)涂縣姑蘇中學(xué)袁正千老師,他和本題閱卷組的老師,在繁忙的閱卷過程中,還不忘學(xué)生典型解法,并進(jìn)行了整理;本文在整理的過程中參考了微信公眾號為“三一草堂數(shù)學(xué)”李翼老師的《信息解構(gòu)整合,破解壓軸難題》一文中的部分解法,在此表示感謝!