廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510006) 朱驚濤

廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 何小亞

廣東省佛山市順德區(qū)李兆基中學(xué)(528300) 趙家良

授課課題《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)(A版)》選修2-1(人教版),第二章圓錐曲線(xiàn)與方程2.3.1雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程,第一課時(shí).

教材分析雙曲線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程十分相似,而且處理問(wèn)題的思路大同小異,教學(xué)中應(yīng)抓住這一點(diǎn),通過(guò)聯(lián)系橢圓來(lái)學(xué)習(xí)雙曲線(xiàn);雙曲線(xiàn)的定義要注意“平面內(nèi)”、“絕對(duì)值”、“常數(shù)小于|F1F2|”這三點(diǎn)細(xì)節(jié);本節(jié)課的內(nèi)容是后續(xù)學(xué)習(xí)理解圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定義的基礎(chǔ).

學(xué)情分析本節(jié)課針對(duì)成績(jī)中等的高二學(xué)生設(shè)計(jì).

1.認(rèn)知基礎(chǔ):學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義,并經(jīng)歷了根據(jù)橢圓的定義建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系來(lái)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程,認(rèn)識(shí)了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種不同形式,也了解了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),因而運(yùn)用類(lèi)比的學(xué)習(xí)方法理解雙曲線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程不太困難.

2.認(rèn)知障礙:如何用拉鏈畫(huà)出雙曲線(xiàn);雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中的化簡(jiǎn)過(guò)程;曲線(xiàn)與方程的概念.

教學(xué)目標(biāo)[1]

1.知識(shí)與技能

(1)理解雙曲線(xiàn)的定義;(2)會(huì)推導(dǎo)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)明確雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系,知道怎樣求a,b,c;(4)能分清什么形式的方程是雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,并知道焦點(diǎn)的位置與方程形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2.過(guò)程與方法

(1)經(jīng)歷用拉鏈畫(huà)雙曲線(xiàn)的活動(dòng),培養(yǎng)動(dòng)手操作能力與合作意識(shí),積累水平數(shù)學(xué)化(horizontal mathematization)的經(jīng)驗(yàn)[2];

(2)通過(guò)雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程,學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的思想方法,提高運(yùn)算化簡(jiǎn)能力,并最終形成這樣一種能力:“求曲線(xiàn)的方程實(shí)質(zhì)上就是求該曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的關(guān)系式.為此,需要建立直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),抓住該曲線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何性質(zhì),將此幾何性質(zhì)代數(shù)化得出方程,證明這個(gè)方程就是所求的方程”[3].

(3)通過(guò)拓展練習(xí)3和4,學(xué)習(xí)分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法,并證明初中的反比例函數(shù)圖像就是雙曲線(xiàn).

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

(1)通過(guò)用拉鏈畫(huà)雙曲線(xiàn)感受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的樂(lè)趣;(2)通過(guò)發(fā)掘雙曲線(xiàn)定義的細(xì)節(jié)體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性;(3)通過(guò)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程,感受“追求簡(jiǎn)單化”這一數(shù)學(xué)的靈魂;(4)通過(guò)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程及圖像感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱(chēng)、概括、統(tǒng)一之美.

教學(xué)重難點(diǎn)及關(guān)鍵

1.教學(xué)重點(diǎn):雙曲線(xiàn)的定義;求曲線(xiàn)方程的本質(zhì);雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系.

2.教學(xué)難點(diǎn):(1)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),關(guān)鍵是運(yùn)用“追求簡(jiǎn)單化”這一數(shù)學(xué)的靈魂;(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中字母a,b,c的變與不變,突破的關(guān)鍵是幾何意義和基礎(chǔ)練習(xí)1;(3)說(shuō)明推導(dǎo)出的方程就是雙曲線(xiàn)的方程,化解這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是:在講圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之前加入用時(shí)約8分鐘的曲線(xiàn)與方程的內(nèi)容,通過(guò)直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段這3類(lèi)簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)與其對(duì)應(yīng)的方程及其反例來(lái)回答:需要滿(mǎn)足什么條件,一條曲線(xiàn)和一個(gè)方程才能互為彼此?[3].

教學(xué)方法及工具教學(xué)方法:問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、合作實(shí)驗(yàn)、引導(dǎo)探究;教學(xué)工具:拉鏈、PPT、投影儀、幾何畫(huà)板.

一、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1.展示生活中的雙曲線(xiàn)(hyperbola)圖片:花瓶,廣州塔,冷卻塔.新課引入[用時(shí)到3分鐘左右]師:如圖這些都是旋轉(zhuǎn)體,過(guò)旋轉(zhuǎn)軸作軸截面,軸截面的外輪廓就是雙曲線(xiàn)的一部分.2.師:我們有學(xué)過(guò)一種函數(shù),它的圖像就是雙曲線(xiàn),大家知道是什么函數(shù)嗎?師:對(duì)的,如函數(shù)y=1 x的圖像是雙曲線(xiàn).至于它為什么是雙曲線(xiàn),如何證明?大家學(xué)習(xí)完這節(jié)課后看看會(huì)不會(huì).3.師:到兩定點(diǎn)距離之和為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓.那么,把和改為差,到兩定點(diǎn)距離之差為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么?學(xué)生聽(tīng)講思考、回答生:反比例函數(shù)感知生活中的雙曲線(xiàn).選圖貼近學(xué)生日常所見(jiàn)有利于激發(fā)興趣.聯(lián)系舊知,制造懸念,激發(fā)求知欲.由橢圓的定義出發(fā)引出雙曲線(xiàn).

實(shí)驗(yàn)操作觀(guān)察探究[用時(shí)到10分鐘左右]1.教師給每位學(xué)生發(fā)一條小拉鏈,教師利用PPT和道具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示,引導(dǎo)學(xué)生合作完成雙曲線(xiàn)軌跡生成實(shí)驗(yàn).2.教師展示學(xué)生成果.3.教師引導(dǎo)學(xué)生思考作圖原理:拉鏈咬合處到固定的兩點(diǎn)的長(zhǎng)度有什么關(guān)系?在拉鏈拉開(kāi)或合攏過(guò)程中筆尖留下的軌跡上的點(diǎn)滿(mǎn)足什么條件?4.教師利用幾何畫(huà)板演示雙曲線(xiàn)軌跡,說(shuō)明點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)什么量在變,什么量不變.使學(xué)生直觀(guān)感受雙曲線(xiàn)的形成過(guò)程.每?jī)晌煌瑢W(xué)合作在學(xué)案上作出雙曲線(xiàn).學(xué)生思考并回答作圖原理.觀(guān)看幾何畫(huà)板演示雙曲線(xiàn)軌跡.實(shí)驗(yàn)操作可激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,活躍課堂氛圍,培養(yǎng)合作精神.借助幾何畫(huà)板形象直觀(guān)的展示軌跡形成過(guò)程,揭示雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)在變動(dòng)過(guò)程中滿(mǎn)足的不變關(guān)系.學(xué)生思考并回答.雙曲線(xiàn)定義探究[用時(shí)到18分鐘左右]1.師:能否給雙曲線(xiàn)下個(gè)定義?教師請(qǐng)一兩個(gè)同學(xué)回答后追問(wèn):這些同學(xué)的表述是否足夠嚴(yán)謹(jǐn)?請(qǐng)大家議一議.教師剖析定義中的要點(diǎn):①“平面內(nèi)”三個(gè)字容易漏掉,去掉后不嚴(yán)謹(jǐn).例如平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓,如果去掉平面內(nèi),就成了球面.②理解雙曲線(xiàn)定義中常數(shù)是“差的絕對(duì)值”,否則只能得到雙曲線(xiàn)的一支.③常數(shù)要小于|F1F2|,原因是三角形中兩邊之差小于第三邊.師:常數(shù)等于|F1F2|的軌跡是什么?師:若常數(shù)為0,軌跡是什么?師:常數(shù)大于|F1F2|的軌跡是什么?2.PPT展示雙曲線(xiàn)定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn).兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距.通常情況下,焦距用2c表示,常數(shù)用2a表示,顯然這里有2c＞2a＞0.3.師:為什么常數(shù)用2a表示?師:與橢圓類(lèi)似,可以使得雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式變簡(jiǎn)單.追求簡(jiǎn)單化是數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn).學(xué) 生思考并回答.生:兩條射線(xiàn)生:線(xiàn)段F1F2的中垂線(xiàn)生:軌跡不存在剖析定義中的要點(diǎn),使學(xué)生精準(zhǔn)理解定義.同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性.設(shè)計(jì)幾個(gè)變式問(wèn)題使學(xué)生理解雙曲線(xiàn)定義中常數(shù)為何要小于 |F1F2|,想象常數(shù)處于不同條件時(shí)軌跡的特殊情形.促進(jìn)思維的批判性.滲透“追求簡(jiǎn)單化”這一數(shù)學(xué)靈魂.進(jìn)一步體會(huì)對(duì)稱(chēng)建系的好處.雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程探究[用時(shí)到30分鐘左右]1.教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.①建系:與橢圓類(lèi)似,以直線(xiàn)F1F2為x軸,線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.師:這樣建系有什么好處?②設(shè)點(diǎn):設(shè)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y),焦距為2c,則 F1(-c,0),F2(c,0),常數(shù)記為2a.③寫(xiě)出限制條件,列出等式||MF1|- |MF2|| = 2a, 即學(xué)生思考并回答教師的提問(wèn).|||√2a,去掉絕對(duì)值后即為√(x+c)2+y2-√(x-c)2+y2|||=(x+c)2+y2-√(x-c)2+y2=±2a.2.教師要求學(xué)生寫(xiě)出等式化簡(jiǎn)過(guò)程,巡堂,對(duì)存在的問(wèn)題或好的學(xué)生作品進(jìn)行投影點(diǎn)評(píng).必要時(shí),板書(shū)講解化簡(jiǎn)過(guò)程.④化簡(jiǎn)得到x2學(xué) 生在學(xué)案上書(shū)寫(xiě)等式的化簡(jiǎn)過(guò)程.c2-a2=1結(jié)合c＞a＞0,可設(shè)c2-a2=b2于是雙曲線(xiàn)的方程可化為x2重視讓學(xué)生經(jīng)歷公式推導(dǎo)化簡(jiǎn)的過(guò)程,掌握理解知識(shí)的來(lái)由.感受解析幾何中數(shù)學(xué)運(yùn)算任務(wù)的挑戰(zhàn)性.a2- y2 a2-y2 b2=1.

雙曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)坐標(biāo)都滿(mǎn)足該方程,反之,以此方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn),是該雙曲線(xiàn)上的點(diǎn).師:為什么要令c2-a2=b2?師:可以使得方程簡(jiǎn)單美觀(guān).從形式上看,有點(diǎn)像什么形式?例如橢圓 x2)2+(y(x曲線(xiàn)與方程的概念是理解“反之,…”部分的基礎(chǔ),這一難點(diǎn)要靠橢圓部分同樣難點(diǎn)的突破解決.a2+y2 b2=1可以看成a b2=1可以看成?即?也可以寫(xiě)成(x)2=1,即平方和為1.類(lèi)似地,雙曲線(xiàn)x2 a2-y2 b=1.3.師:雙曲線(xiàn)與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有何異同點(diǎn)?a,b,c的關(guān)系有何異同點(diǎn)?相同點(diǎn):等式左邊都是二元二次式,右邊都是1.不同點(diǎn):雙曲線(xiàn)中c2=a2+b2,c值最大,a、b大小關(guān)系不確定;橢圓中a2=b2+c2,a值最大,b、c大小關(guān)系不確定.4.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種,雙曲線(xiàn)的方程在推導(dǎo)時(shí)也可以換一種建系方式,得到另一種形式的方程:y2 a+y)·(x b a-y)b體會(huì)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)單美.進(jìn)一步滲透簡(jiǎn)單美是數(shù)學(xué)的內(nèi)在追求.提醒學(xué)生雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式具有平方差的特征.b2=1其中a＞0,b＞0.同樣有c2=a2+b2 a2-x2學(xué)生思考并回答教師的 提問(wèn).學(xué)生思考與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū) 別.并回答教師的提問(wèn).學(xué)生思考兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的不同 特征.類(lèi)比橢圓,將新知與舊知建立聯(lián)系,學(xué)生能夠更順利的學(xué)習(xí)新知,建立清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)關(guān)系.5.師:如何通過(guò)雙曲線(xiàn)的方程判斷焦點(diǎn)的位置?基礎(chǔ)練習(xí)1.判斷下列方程是否表示雙曲線(xiàn)?若是,指出a,b,c的值分別是多少?(1)x2 2 =1;(2)x2 9 =1;(3)x2-4+y2 4-y2 3-y2鞏固練習(xí) 拓展練習(xí)[用時(shí)到3 2=0;(4)x2-4y2=16.教師要求學(xué)生口答2.已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0),雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于6,求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式1.已知F1(0,-5),F2(0,5),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足||PF1|-|PF2||=8.求點(diǎn)P的軌跡方程.變式2.已知F1(-5,0),F2(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|-|PF2|=10.求點(diǎn)P的軌跡方程.老師巡視并請(qǐng)個(gè)別同學(xué)回答.拓展練習(xí)3.方程 x2 n=1(mn/=0)可以表示哪些曲線(xiàn)?教師引導(dǎo)學(xué)生:分類(lèi)應(yīng)遵循由大類(lèi)到小類(lèi)的原則.由于m,n都不能為0,所以m,n取正數(shù)或負(fù)數(shù).1)先考慮m,n同號(hào)與異號(hào),這樣分成兩大類(lèi).2)同號(hào)則分同正或同負(fù),異號(hào)則分前正后負(fù)和前負(fù)后正.這樣分成四類(lèi).3)在前正后負(fù)情況下又分成圓與橢圓.最終可以分成五小類(lèi).m-y2 8分鐘左右]學(xué)生口答練習(xí)1.學(xué)生在學(xué)案上做練習(xí)2及變式.學(xué)生思考練習(xí)3.若時(shí)間不夠完成練習(xí)4,鼓勵(lì)學(xué)生課后 完成.基礎(chǔ)練習(xí)1.通過(guò)練習(xí)檢測(cè)學(xué)生是否理解雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的一般形式.2.檢測(cè)學(xué)生是否掌握用定義求雙曲線(xiàn)方程的方法.3.通過(guò)練習(xí)加深學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)定義的理解.拓展練習(xí)練習(xí)3是對(duì)抽象字母的討論,把圓、橢圓、雙曲線(xiàn)都統(tǒng)一到一個(gè)方程中,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)所追求的概括性和統(tǒng)一性.該問(wèn)題的設(shè)置有利于幫助學(xué)生學(xué)習(xí)分類(lèi)方法,做到不重不漏.同時(shí)將舊知與新知結(jié)合起來(lái),使知識(shí)系統(tǒng)完備化.練習(xí)4其實(shí)就是證明函數(shù)y=1 4.證明以下關(guān)系式恒成立√(x+)2 2)2+(12-√x+2.師:該關(guān)系式的幾何意義是什么?(x-)2 2)2+(1x-2= ±2x的圖像是雙曲線(xiàn),回應(yīng)了課堂開(kāi)始的問(wèn)題.該練習(xí)進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生對(duì)“由數(shù)到形”的理解,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.同時(shí)培養(yǎng)計(jì)算化簡(jiǎn)的能力,進(jìn)一步熟悉該類(lèi)型等式的化簡(jiǎn)過(guò)程.

課堂小結(jié)師:說(shuō)說(shuō)這節(jié)課你學(xué)到了什么?教師點(diǎn)名個(gè)別學(xué)生回答.教師在PPT上投影本節(jié)課的主要內(nèi)容.學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)知識(shí)幫助學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué),鞏固知識(shí)印象.查找知識(shí)遺漏.作業(yè)布置1.課本55頁(yè)練習(xí)2.從定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及a,b,c之間關(guān)系四個(gè)方面比較雙曲線(xiàn)與橢圓的異同.3.拓展練習(xí)4沒(méi)完成的課后完成.學(xué)生課下完成作業(yè)鞏固所學(xué)內(nèi)容.促進(jìn)思維能力發(fā)展.