廣東省東莞市南城中學(xué)(523077) 陳立

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的.核心素養(yǎng)是其他素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ),也是個(gè)人終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展的根基.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.

最值問(wèn)題就是在一定條件下求最大值或最小值,是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一.多年來(lái),高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題、高考題、模擬題、期中期末調(diào)研題等各級(jí)各類試題中,函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等模塊的最值問(wèn)題一直是命題的熱點(diǎn).解決好最值問(wèn)題的教學(xué)對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是非常必要的.東北師范大學(xué)校長(zhǎng)(普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組長(zhǎng))史寧中教授在《高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、評(píng)價(jià)與教學(xué)實(shí)施》一文中關(guān)于理想的教學(xué)過(guò)程描述如下:把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、把握學(xué)生認(rèn)知的過(guò)程;創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題;啟發(fā)學(xué)生思考、鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流;讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí),理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì);感悟數(shù)學(xué)的思想、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).這五個(gè)環(huán)節(jié)不是教學(xué)模式,也不要求在每一堂課上都實(shí)現(xiàn),而是在進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)認(rèn)真考慮的,是在進(jìn)行整體教學(xué)實(shí)施時(shí)應(yīng)當(dāng)實(shí)踐的.為此,本文從教材、試題中選取高中數(shù)學(xué)函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等模塊的最值問(wèn)題,通過(guò)尋找最值問(wèn)題切入點(diǎn)和突破口,分析其功能來(lái)探索解決最值問(wèn)題的教學(xué)思考.

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中的最值問(wèn)題

在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”方針指導(dǎo)下,高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽方興未艾.近幾年來(lái),高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東賽區(qū)選拔賽試題與全國(guó)卷高考真題命題的數(shù)學(xué)思想和方法貼近,為高考復(fù)習(xí)增添了新內(nèi)容.為此,筆者認(rèn)為在學(xué)生學(xué)習(xí)相近內(nèi)容的時(shí)候,選取部分題目進(jìn)行教學(xué)還是有必要的.

示例1(2016·全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東賽區(qū)選拔賽試卷第2題)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是____.

方法一切入點(diǎn)和突破口分析:該題可由基本不等式問(wèn)題的解法切入,即把x+3y=5xy化為其突破口可以為然后求解;如果把x+3y=5xy化為y=問(wèn)題為求3x+4y=3x+的最小值,其突破口為構(gòu)造基本不等式(例如令t=5x-3,問(wèn)題為求(t＞0)的最小值),或應(yīng)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.

方法二切入點(diǎn)和突破口分析:該題也可由判別式法求最值切入,此時(shí)突破口是學(xué)生能構(gòu)造出一個(gè)一元二次方程,即令3x+4y=k,因?yàn)閤+3y=5xy,所以易知所以把并代入x+3y=5xy,整理得:15x2-5(k+1)x+3k=0.因?yàn)閤是正數(shù),所以Δ ≥0,解得(舍去),或k≥ 5,故(3x+4y)min=5.

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng).

示例2(2015·全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東賽區(qū)選拔賽試卷第9題)在三棱錐S-ABC中,SA=4,SB≥7,SC≥9,AB=5,BC≤6,AC≤8,求三棱錐S-ABC體積的最大值.

在解答這道題時(shí),一方面,考生要注意到幾何體的形狀是三棱錐不會(huì)改變,同時(shí),△SAB的邊SA=4,AB=5都是定值也不會(huì)改變;另一方面,考生也要意識(shí)到由于三棱錐S-ABC中有4條棱的棱長(zhǎng)不確定,所以三棱錐的大小會(huì)改變,△SAB的面積也會(huì)改變;最后,對(duì)這些變與不變的關(guān)系認(rèn)真梳理,應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法將問(wèn)題化歸為求三棱錐C-SAB體積的最大值.這樣就可以完美的解答這個(gè)問(wèn)題.

基于上面分析,該題的切入點(diǎn)如下:

(1)三棱錐的體積V=Sh.

(2)VS-ABC=VA-SBC=VB-SAC=VC-SAB.

(3)把三棱錐S-ABC的面△SAB看成底面才有利于求出三棱錐S-ABC體積的最大值,以△SAB所在平面為底面.

該如下有以下兩點(diǎn):

(1)求出△SAB面積的最大值.

觀察圖1,易知,當(dāng)SB=7時(shí),△SAB的面積取到最大值.△SAB面積的最大值的求法如下:SA·sin∠SAB=10sin∠SAB,因?yàn)椤蟂AB是△SAB的內(nèi)角,所以 sin∠SAB=又因?yàn)?1＜所以0故

圖1

(2)求出三棱錐C-SAB的高CO的最大值.

觀察圖2,得到CO≤SC,CO≤AC,CO≤BC.因?yàn)镾C≥9,而B(niǎo)C≤6,AC≤8,所以CO≤AC,CO≤BC.以下考查CO與AC或BC重合后取其最大值的情況:

圖2

(i)當(dāng)CO=AC時(shí),因?yàn)锳C≤8,所以AC有最大值8,此時(shí)與BC≤6矛盾,不符合題意.

(ii)當(dāng)CO=BC時(shí),因?yàn)锽C≤6,所以BC有最大值6,此時(shí)成立,符合題意.

故(VS-ABC)max=(VC-SAB)max

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).教學(xué)選用這道題時(shí),如果學(xué)生基礎(chǔ)薄弱,可降低難度,把題目表述為:在三棱錐S-ABC中,SA=4,SB=7,SC≥9,AB=5,BC≤6,AC≤8,求三棱錐S-ABC體積的最大值.這樣變式的話多數(shù)學(xué)生可獨(dú)立完成,題目的功能基本相同.

2高考試題中的最值問(wèn)題

對(duì)高考試題的教學(xué)和研究,其目的是精準(zhǔn)把握教育教學(xué)方向、教學(xué)難度、教學(xué)深度和教學(xué)廣度,是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方式.最值問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,以下以高考真題為例,談?wù)勛约涸鯓油ㄟ^(guò)真題培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

示例1(2017·全國(guó)卷I理科·16)如圖3,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為_(kāi)___.

圖3

該題切入點(diǎn)如下:

(1)畫出正三棱錐P-ABC(設(shè)D,E,F重合后為P)的直觀圖,如圖4;

(2)PQ+OQ=5;

(3)引入變量,有多種方法,但是用引入的變量表示VP-ABC的難度不同,相對(duì)比較容易的是設(shè)OA=2x則有OQ=x,PQ=5-x,從而

圖4

該題的突破口是求VP-ABC=VP-ABC的最大值,筆者認(rèn)為快且準(zhǔn)的解法還是應(yīng)用基本不等式,即:=155(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)),故(VP-ABC)max=(

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

該題的題干與教材必修2第37頁(yè)B組第4題相近,題目如下:

一塊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片按如圖5所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,試把容器的容積V表示為x的函數(shù).

圖5

圖6

因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)必修二時(shí)還沒(méi)有學(xué)習(xí)三次函數(shù)最大值的求法,所以這道題僅要求學(xué)生把容器的容積V表示為x的函數(shù).當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了三次函數(shù)最大值的求法之后,作為教師有沒(méi)有把教材上的這個(gè)題目再找出來(lái),讓學(xué)生應(yīng)用有關(guān)知識(shí)求容器的容積V的最大值,值得我們反思.

示例2(2018·全國(guó)卷I理科·12)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( )

這是2018年全國(guó)高考I卷(理科數(shù)學(xué))選擇題的壓軸題,因?yàn)樵擃}是求“每條棱所在直線與平面α所成的角都相等”,所以該題的切入點(diǎn)就是把正方體的棱按與平面α所成的角相等分為三類,易得結(jié)論,切入點(diǎn)也是該題突破口.

如圖7,當(dāng)平面α截正方體所得到的截面為邊長(zhǎng)為的正△ABC時(shí),所得的截面面積最大,最大值為:故選D.

圖7

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象核心素養(yǎng).

示例3(2018·全國(guó)卷I理科·16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是____.

這是2018年全國(guó)高考I卷(理科數(shù)學(xué))填空題的壓軸題.如果把該題看成“函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)”這一類問(wèn)題,則該題的切入點(diǎn)如下:

(1) 求導(dǎo),即f′(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2.

(2)判斷f′(x)的符號(hào).

顯然,f′(x)=2(2cosx-1)(cosx+1),其中 cosx∈[-1,1].因?yàn)閏osx∈時(shí),f′(x)≤ 0,cosx∈時(shí),f′(x)＞0.

該題的突破口就是:判斷cosx時(shí),f(x)取得極小值嗎?f(x)的最小值與cosx=有什么關(guān)系?如果懂這樣思考,得到并不難.

該題的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

當(dāng)然,該題也可以利用基本不等式求解,切入點(diǎn)如下:f(x) = 2sinx+sin2x=

突破點(diǎn)是:

(1+cosx)2sin2x(當(dāng)且僅當(dāng)cosx取“=”). 所以從而得到.如果按這樣安排該題的教學(xué),那么通過(guò)該題的教學(xué),可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng).

希望本節(jié)所列的幾個(gè)問(wèn)題能起到拋磚引玉作用,近幾年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題中還有許多最值問(wèn)題值得我們執(zhí)教者深入研究.

3、模擬試題、調(diào)研試題中的最值問(wèn)題

近幾年全國(guó)各地的高三數(shù)學(xué)模擬題、東莞市的調(diào)研題等都編制了一些很高水平的最值問(wèn)題,本文僅選幾例加以研究.

示例1 (2017-2018廣州一測(cè)·理科數(shù)學(xué)·12)設(shè)函數(shù)f(x)在?上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)+f(-x)=2x2,當(dāng)x＜0時(shí),f′(x)+1＜2x,若f(a+1)≤f(-a)+2a+1,則實(shí)數(shù)a的最小值為( )

該題的切入點(diǎn)如下:

定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)都能拆分為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和.基于這個(gè)結(jié)論可設(shè)f(x)=g(x)+h(x),其中g(shù)(x)為偶函數(shù),h(x)為奇函數(shù),x∈?,那么f(-x)=g(x)-h(x),又f(x)+f(-x)=2x2,從而f(x)=x2+h(x).

該題的突破口如下:

利用f′(x)+1＜2x得f′(x)＜2x-1,而f′(x)=2x+h′(x),所以h′(x)＜-1,基于此結(jié)論可知h(x)=kx+b(k＜-1,b為常數(shù)).從而得到f(x)=x2+kx+b,則f(a+1)≤f(-a)+2a+1可化為:(a+1)2+k(a+1)+b≤(-a)2+k(-a)+b+2a+1,即k(2a+1)≤0,又k＜-1,解得故

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng).

示例2(2017-2018廣州二測(cè)·理科數(shù)學(xué)·11)體積為的三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上,PA⊥平面ABC,PA=2,∠ABC=120°,則球O的體積的最小值為( )

該題的切入點(diǎn)如下:

(1)利用PA⊥平面ABC和∠ABC=120°,先畫出草圖(如圖8),然后由已知求出S△ABC=

(2) 由S△ABC=及∠ABC=120°可得:AB·BC=6,然后應(yīng)用余弦定理,得:AC2=AB2+BC2+AB·BC≥AB·BC=18,所以 (AC)min=從而得到△ABC的外接圓半徑有最小值

圖8

該題的突破口如下:

將三棱錐P-ABC延展成直三棱柱,如圖9,易知球心O到底面ABC的距離為定值1,求三棱錐P-ABC外接球體積的最小值就是求球O半徑R的最小值,所以故選 B.

圖9

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng).

示例3(2017-2018深圳一?！の目茢?shù)學(xué)·16)如圖10,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=2BC=P是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),∠BPC=120°,則AP的最小值為_(kāi)___.

圖10

該題的切入點(diǎn)是:根據(jù)∠BPC=120°,BC=以及正弦定理可知△BPC的外接圓是確定的,其外接圓半徑為1.

圖11

該題的突破口是:建立平面直角坐標(biāo)系,如圖11所示,求出△BPC外接圓圓心D的坐標(biāo)將求AP的最小值轉(zhuǎn)化為求A到圓D的劣弧BPC(不包括端點(diǎn))上任意一點(diǎn)距離的最小值,故(AP)min=AD-1=1.

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理直觀想象核心素養(yǎng).

示例4(2015-2016東莞市高三第一學(xué)期期末調(diào)研·理科數(shù)學(xué)·16)如圖12,在凸四邊形ABCD中,AB=1,BC=AC⊥CD,AC=CD.當(dāng)∠ABC變化時(shí),對(duì)角線BD的最大值為_(kāi)__.

圖12

該題的切入點(diǎn)如下:

設(shè)∠ABC=θ,θ∈(0,π),建立如圖13所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(cosθ,sinθ),C(0).

圖13

該題的突破口是:由Rt△AEC～=Rt△CFD, 得所以故(BD)max=+1.

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

示例5(2016-2017東莞市高三第一學(xué)期期末調(diào)研·理科數(shù)學(xué)·16)在△ABC中,∠ACB=120°,D是AB上一點(diǎn),滿足∠ADC=60°,CD=2,若CB≥則∠ACD的最大值為_(kāi)___.

該題的切入點(diǎn)是:依題意畫出圖形,如右圖14,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求∠BCD的最小值”,這也是該題的突破口.過(guò)程如下:

圖14

在△BCD中,由 正 弦 定 理,得所以BC=

因?yàn)?0° ＜∠BCD＜60°,所以60°-∠BCD≤ 45°,即∠BCD≥ 15°,所以 (∠BCD)min=15°,故 (∠ACD)max=120°-15°=105°.

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

該題的突破口是:把求|PQ|的最小值化為求上的點(diǎn)到直線y=x距離最小值的2倍,進(jìn)而化為求曲線的與y=x平行的切線與y=x距離的2倍,此時(shí)只需求出切線方程y=x+1-ln2,然后由平行線間的距離公式得|PQ|min=

題目的功能:通過(guò)該題的教學(xué),主要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

4、結(jié)束語(yǔ)

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的出版發(fā)行,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)正式進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程.高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,以學(xué)生發(fā)展為本,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本文重點(diǎn)研究了最近幾年高考真題、模擬題和調(diào)研題中的選填題壓軸題的教和學(xué),旨在探索核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)的教與學(xué).以上所選最值問(wèn)題綜合性較強(qiáng)、思維要求較高,文中分析了這些問(wèn)題的切入點(diǎn)和突破口,并且對(duì)這些題目的教學(xué)主要提升學(xué)生的哪些核心素養(yǎng)作簡(jiǎn)要描述.筆者認(rèn)為把這個(gè)難度的問(wèn)題教好是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑,把這個(gè)難度的問(wèn)題教好也必將帶來(lái)教學(xué)成績(jī)的提高.