鮑人燈

(浙江省天臺育青中學(xué) 317200)

二次方程的實根分布問題分類解析

鮑人燈

(浙江省天臺育青中學(xué) 317200)

本文就高考復(fù)習(xí)中的一類常見題型——含參的二次方程實根分布問題的求解方法，分類歸納，并舉例說明，對高考備考專題復(fù)習(xí)有參考價值.

二次方程；實根分布；區(qū)間；取值范圍

由二次方程的實根分布來求參數(shù)的取值范圍問題是對初中有關(guān)二次方程、二次函數(shù)的進(jìn)一步深化，并構(gòu)成高中數(shù)學(xué)的基本知識塊，是各種數(shù)學(xué)思想的交匯處，更是高考考查的熱點.本文從函數(shù)、方程、不等式諸角度對這類問題分類解析，以使考生明確思路，掌握方法，從容解答.

一、二次方程實根分布的類型

為了簡化情況，方便行文，我們約定二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)的兩個實根分別為x1、x2.下面將實根范圍的約束條件分類整理如下.

1.方程的兩個實根均小于常數(shù)m

2.方程的兩個實根均大于常數(shù)m

3.方程的一個實根大于常數(shù)m，另一個實根小于常數(shù)m.

方法①f(m)<0.

方法②(x1-m)(x2-m)<0.

說明：①是從二次函數(shù)圖象的位置來思考的；

②是從根與m差的符號來考慮的.

4.方程在區(qū)間(m,n)內(nèi)恰有一個實根

5.方程在區(qū)間(m,n)內(nèi)恰有兩個實根

6.方程的兩個實根分別在區(qū)間(m,n)和(p,q)(n≤p)內(nèi).

二、應(yīng)用舉例

例1 若方程-x2+2ax+a-2=0有兩負(fù)根，求a的取值范圍.

解先化成f(x)=x2-2ax-a+2=0.

方法1 結(jié)合二次函數(shù)f(x)的圖象，知有

解得a≤-2.

解得a≤-2.

例2 二次函數(shù)f(x)=x2-4mx+2m+6在區(qū)間(-3，0)內(nèi)恰有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

解結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)f(x)的圖象與區(qū)間(-3，0)的位置關(guān)系，有四種情況.

點評二次函數(shù)零點個數(shù)與二次方程實根個數(shù)既相關(guān)，又有區(qū)別.二次方程有兩個相等的實根時，對應(yīng)的二次函數(shù)有一個零點.這是本題容易混淆之處，而遺漏情況④.

例3 方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0,(1)有兩個異號根；(2)有正根.分別求實數(shù)m的取值范圍.

當(dāng)2m+1≠0時，方程是二次方程，相應(yīng)的二次函數(shù)f(x)=(2m+1)x2-2mx+(m-1)的圖象有四種符合要求的情況(如圖6，圖7).因此有不等式組：

上式中的Δ=(-2m)2-4(2m+1)(m-1)=-4m2+4m+4.

分別求解四個不等式組，得

(2)小題求解時易漏掉2m+1=0的情況；而當(dāng)2m+1≠0時，情況也較多，應(yīng)分情況一一考慮.本小題考查了思維的全面性、慎密性.

從以上可以看出，二次方程實根分布問題，涉及到數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等四大數(shù)學(xué)思想，是錘煉學(xué)生全面數(shù)學(xué)能力的重要知識板塊.因此，在總復(fù)習(xí)時，很有必要進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，從中掌握思想方法，全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[1]劉鵬.參數(shù)取值范圍問題的求解方法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014(1)：19-21.

[2]夏麗琴.含參函數(shù)在定區(qū)間上存在零點問題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014(2)上：29.

[3]劉鴻春.多變量中復(fù)合最值問題的探求[J].數(shù)學(xué)通訊，2014(3)上半月：12-13.

[4]石禮標(biāo)，劉陸軍，蔣明建.一道范圍問題的簡解與推廣[J].數(shù)學(xué)通訊，2014(3)上半月：26-28.

[5]楊春娟.含參一元二次不等式的解法與恒成立問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2015(2)上：28.

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1008-0333(2017)31-0026-03

2017-07-01

鮑人燈(1981.10-)，男，中學(xué)一級教師，大學(xué)本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

楊惠民]