師玉榮，馬麗珍

(中國海洋大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 物理系，山東 青島 266100)

很多科技館和物理演示實驗室有“錐體上滾”實驗，視覺上看到錐體從V型軌道較低的閉口端自動滾到軌道較高的開口端. 現(xiàn)有的實驗教材和網(wǎng)絡(luò)資源解釋該實驗的原理和推導(dǎo)錐體上滾的條件是基于能量最低原理，表面上錐體沿著軌道上升了，但是由于錐體本身形狀的原因，滾動過程錐體的重心是下降的. 很多學(xué)生疑惑哪個力使錐體有水平方向的分運動. 本文根據(jù)教學(xué)過程中遇到過的學(xué)生疑惑問題，分析了錐體上滾運動的動力學(xué)方程，并通過受力分析方法求解出錐體上滾的條件，結(jié)果與通過能量最低原理(幾何方法)得出的結(jié)論一致.

1 利用能量最低原理分析上滾條件

錐體上滾實驗沒有違背能量最低原理，錐體上滾是錐體與軌道的形狀配合給人以錐體向上滾動的錯覺，仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，上滾過程錐體的重心是降低的. 實際上，只有當(dāng)V型導(dǎo)軌夾角、軌道與水平面的夾角調(diào)節(jié)到合適的角度時，即達(dá)到上滾的條件時，錐體才會上滾，錐體滾到軌道最高處時重心最低，重力勢能最小，所以可以根據(jù)重心是否降低來求解錐體上滾條件[1].

錐體上滾的條件與實驗裝置的3個夾角有關(guān). 如圖1～3所示，設(shè)錐體頂角為α，兩導(dǎo)軌夾角為β，導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角為γ，設(shè)錐體在軌道上從位置AB滾到位置CD時(A，B，C，D為錐體表面與軌道的接觸點)，沿軌道角平分線方向前進(jìn)的距離為l.

圖1 過錐體與軌道的接觸點和錐體中軸線的截面圖

圖2 過軌道平面的俯視圖

圖3 過兩軌道角平分線的豎直面

需要特別指出的是，當(dāng)求解錐體上滾的條件時，應(yīng)先找到錐體不滾動的條件，也就是錐體放到軌道任意位置處重心高度相同，此時錐體在軌道任意位置都平衡.

如前所述，先考慮錐體只下降不滾動的情況，也就是不受靜摩擦力的作用，同時由于接觸面比較光滑，即使有滑動摩擦力存在也非常小. 錐體只受重力和支持力，此時圖1中錐體與軌道接觸點和錐體中軸線所在的平面在豎直面內(nèi)，則根據(jù)幾何關(guān)系可知：AB位置和CD位置之間的高度差h為

(1)

而AB位置和CD位置對應(yīng)軌道的高度差H為

H=lsinγ.

只要滿足H

(2)

錐體就能從軌道的閉口端向開口端滾動，也即錐體向低處運動. 如果實驗裝置的γ,β,α這3個角可調(diào)，該結(jié)論在實驗中很容易觀察和驗證[2].

2 通過受力分析研究上滾條件

通過受力分析得出錐體上滾的條件需要做簡化，在實驗中，錐體是滾動的，錐體與接觸面之間沒有相對滑動，它們之間的摩擦力是靜摩擦力. 因為要依據(jù)物體滾動的狀態(tài)判斷靜摩擦力的方向，可以先考慮理想的情況. 當(dāng)沒有摩擦?xí)r，錐體可以在軌道的任一位置處于受力平衡. 這時V型導(dǎo)軌夾角、軌道與水平面的夾角需要滿足某種條件. 當(dāng)然從滾動的力學(xué)條件來看，如果有摩擦力，錐體對質(zhì)心合外力矩不為零，它將繞過質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動，也即錐體將滾動. 這種情況錐體只受軌道給它的支持力和重力2個力，把支持力分解為水平方向和豎直面內(nèi)垂直軌道的面的分量.

為了便于說明，先建立坐標(biāo)系，如圖4所示，在水平面內(nèi)軌道夾角的角平分線的水平分量為x軸，水平面內(nèi)垂直該角平分線方向為y軸，豎直向上為z軸. 只要分析出錐體在水平方向所受合外力指x軸的正方向，錐體就可以向x軸正向加速運動. 由于重力在水平方向沒有分力，所以只需分析軌道對錐體的支持力.

圖4 俯視圖(水平面)

設(shè)錐體頂角為α，兩導(dǎo)軌夾角角度為β，導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角為γ，圖5中N表示錐體受到軌道的支持力，把N分解成垂直軌道的豎直面內(nèi)的分量N1和垂直軌道的水平面內(nèi)的分量N2. 圖6側(cè)視圖中的N1為支持力在豎直面內(nèi)的分量，N1又可以分解成N1z和N1xy，容易分析出N1垂直軌道與z軸夾角為γ，N1在x軸的分量為

(3)

圖5 錐體與軌道的接觸點和錐體的中軸線決定的平面

圖6 側(cè)視圖(過1條軌道的豎直面)

圖4俯視圖中的N2為支持力在水平面內(nèi)的分量，N2在x軸的分量為

(4)

考慮到錐體與軌道有2個接觸點，只要錐體受到的水平方向合力指向開口端，錐體就可以“上滾”，所以錐體上滾的條件表達(dá)為

(5)

再考慮軌道對錐體的支持力過錐體的中軸線，如圖5雙錐體在豎直面的中截面圖所示，可列出方程為

(6)

因此由(5)式以及(6)式得到錐體上滾的條件為(2)式.

3 錐體運動的動力學(xué)分析

錐體上滾的運動可視為剛體的平面運動[3]，即視為錐體的平動和錐體繞質(zhì)心軸(中心軸)的定軸轉(zhuǎn)動的合成.

3.1 錐體的平動

錐體向開口端平動是因為水平方向有指向開口端的合力，只要角度調(diào)節(jié)合適，可以發(fā)現(xiàn)

(7)

由(7)式可知：

1)錐體的頂角α確定的情況下，當(dāng)β越大，γ越小，F(xiàn)x越大.

2)實驗時調(diào)節(jié)V形導(dǎo)軌的夾角β以及導(dǎo)軌與水平面之間的夾角γ，當(dāng)滿足Fx>0時，即滿足上滾條件(2)式，根據(jù)剛體的質(zhì)心運動定理

Fx=macx，

(8)

錐體就有向開口端平動的加速度.

3.2 錐體的滾動

錐體上滾條件的實質(zhì)是質(zhì)心具有了水平向開口端的平動加速度的條件，也即只考慮了錐體的平動，實驗中錐體做滾動. 錐體滿足上滾的條件時，只要它有平動的趨勢就將受到靜摩擦力，沿軌道的切線方向指向V型軌道的閉口端，該力對錐體的質(zhì)心軸的力矩是動力矩，使錐體滾動.

關(guān)于滾動問題，也可以把過錐體與軌道的2個對稱的接觸點當(dāng)做參考軸，由于錐體滿足上滾條件時，其質(zhì)心總在滾動方向上超前錐體與軌道的接觸點，所以重力的力矩對選定的軸是動力矩，使錐體滾動[4].

4 結(jié)束語

通過錐體上滾的受力分析可以看出，利用守恒定律解釋力學(xué)問題很簡潔，但是不能給出物體運動的細(xì)節(jié)情況，受力分析可以更深刻地展現(xiàn)物體的運動原因. 另外，可以通過百度查到很多物理演示實驗的原理，但是教師應(yīng)該在教學(xué)中充分引導(dǎo)學(xué)生用自己的觀點解決問題，也重視學(xué)生提出的問題，從而教學(xué)相長.