黃帥勛，李琦琦

（1.西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 611731；2.中國鐵路濟南局集團有限公司車務段，山東 濟南 250000）

1 引言

自2013年6月鐵路貨運市場化改革以來，政府逐步放松對鐵路定價權(quán)的管制，鐵路公司可以對部分鐵路在政府規(guī)定的運價上限內(nèi)自由定價。鐵路運價作為調(diào)節(jié)運輸市場供給與需求的手段，直接關(guān)系到鐵路公司的盈利能力與運輸生產(chǎn)安排。當價格定得過高，運輸單位貨物的利潤會提高，但是貨運量會降低；當價格定得過低，貨運量會提升，但是運輸單位貨物的利潤也會降低，所以必然存在使得鐵路收益最大的最優(yōu)價格。如圖1所示，當鐵路公司制定出未來一段時間內(nèi)鐵路網(wǎng)絡中各站點之間的運價后，運輸市場在此運價的吸引下會產(chǎn)生運輸需求，鐵路公司根據(jù)該運輸需求將會進行車流徑路的規(guī)劃。所以鐵路公司科學地統(tǒng)籌制定鐵路運價與規(guī)劃車流徑路，將是鐵路市場化改革的重要舉措。

圖1 貨運定價與車流徑路的關(guān)系

在制定鐵路運輸價格策略的研究中，李煜[1]將需求價格反應函數(shù)引入到馬爾科夫動態(tài)定價模型中，并運用最大凹向包絡優(yōu)化方法進行優(yōu)化。張小強等[2]充分考慮了多種運輸方式競爭下的鐵路貨運定價，以客戶廣義費用最小為目標函數(shù)建立了雙層規(guī)劃模型。在車流徑路研究方面，田亞明等[3]以多商品流概念為基礎，建立了車流分配的點-弧模型和弧-路模型。將鐵路定價與運輸生產(chǎn)結(jié)合起來的研究較少，劉丹[4]研究了競爭環(huán)境下集裝箱的開行方案與動態(tài)定價問題，但是研究重點是點對點單線的定價與開行方案綜合研究，網(wǎng)絡條件下的定價涉及較少。張旭[5]將定價問題與貨流分配問題結(jié)合起來研究，得出了鐵路與公路的貨流分配方案以及鐵路與公路的最優(yōu)運價，但是未能將貨流轉(zhuǎn)化成列流。本文將在上述研究的基礎上，針對集裝箱運輸?shù)亩▋r與車流徑路進行綜合優(yōu)化，制定出鐵路運輸網(wǎng)絡中各OD之間的集裝箱運輸價格以及各OD之間的車流徑路，使得鐵路公司的總利潤最大。

2 模型建立

2.1 模型假設

假設1：在決策時間內(nèi)，運輸市場能夠?qū)﹁F路運價充分反應；

假設2：在決策時間內(nèi)，運輸市場沒有突發(fā)事件導致運輸需求大幅度變化；

假設3：價格需求反應函數(shù)在較小的價格波動區(qū)間內(nèi)為線性函數(shù)。

2.2 符號說明

表1 符號說明

2.3 目標函數(shù)建立

（1）運輸重箱的收入

（2）運輸重箱的成本

（3）箱流不平衡導致的空箱調(diào)運費用

式（3）中除以2的原因是消除正方向和反方向的箱流不平衡量重復計算。

綜合式（1）-式（3），目標函數(shù)為：

2.4 約束條件建立

（1）決策期內(nèi)各站點的實際發(fā)送量小于各站點的集裝箱發(fā)送作業(yè)能力。

（2）決策期內(nèi)各站點的實際運到量小于各站點的集裝箱到達作業(yè)能力。

（3）根據(jù)車流不可分原則，各站點之間的車流只能選擇唯一的路徑。

（4）決策期內(nèi)各個區(qū)段內(nèi)的列車開行數(shù)量小于區(qū)段通過能力。

（5）市場規(guī)律約束，反應運輸需求與運輸定價之間的規(guī)律，本文采用線性的價格反應函數(shù)。

（6）各站點間的實際運輸量小于市場需求量。

（7）價格調(diào)整區(qū)間約束，一般最低價格不低于成本，最高價格不高于政府規(guī)定的上限。

（8）決策變量基本性質(zhì)約束。

3 模型求解

3.1 模型分析

通過分析式（4）-（12），可以看出該模型為非線性混合0-1規(guī)劃模型，決策變量有0-1變量和實數(shù)變量兩種類型。0-1變量的數(shù)量與鐵路運輸網(wǎng)絡拓撲圖密切相關(guān)，但是可以確定至少有|個；實數(shù)變量有個，因此該模型中決策變量的數(shù)量與鐵路網(wǎng)絡中站點的數(shù)量呈二次冪函數(shù)增長。

目標函數(shù)第一項為兩個實變量的乘積，第二項為實變量與0-1變量的乘積。約束中除了式（8）外，其余皆為線性約束，所以本模型目前沒有成熟的精確算法能夠求解。再者由于定價與車流徑路問題屬于戰(zhàn)術(shù)層面的決策問題，決策結(jié)果需要在未來較長時間內(nèi)執(zhí)行，對于運輸市場的預測不會非常精確，因此對于決策精度的要求并不是太高，所以本文決定采用遺傳算法進行求解。

3.2 遺傳算法求解過程

遺傳算法屬于啟發(fā)式算法，是模仿生物界種群的進化過程，其核心內(nèi)容包括基因型與表現(xiàn)型的對應關(guān)系、自然選擇、個體交配、基因變異等，其流程如圖2所示，具體求解步驟如下所示：

圖2 遺傳算法流程

（1）編碼。編碼是模擬遺傳過程中基因型與表現(xiàn)型的關(guān)系。分析本文的模型，其解空間由puv和λluv組成，其中puv為實數(shù)變量，其數(shù)量有個，為0-1變量，其數(shù)量至少有個，并且與鐵路網(wǎng)絡拓撲圖密切相關(guān)。本文采用二進制編碼，但是puv的含義是價格，所以其表現(xiàn)型為十進制，必須將其轉(zhuǎn)化為二進制的基因型。其中二進制編碼位數(shù)與puv的上下限和精度要求密切相關(guān)，從模型中可以看出puv的上下限即為和。λluv的含義為OD是否選擇某條路徑，其表現(xiàn)型本身為二進制，所以其二進制編碼位數(shù)為1位，具體的編碼次序排列如圖3所示。

圖3 決策變量編碼

（2）產(chǎn)生初始種群。初始種群通過計算機隨機產(chǎn)生。每個基因的每個位置從0和1中隨機選取一個數(shù)字組成一個染色體，稱為種群的一個個體。通過觀察發(fā)現(xiàn)約束（3），即式（7）表明了變量λluv之間存在約束關(guān)系（車流不分離原則，一個車流只能選擇一個徑路），也就意味著通過完全隨機產(chǎn)生的初始λluv不在解空間中，這勢必會拖慢收斂速度。為了避免這種情況出現(xiàn)，本文將改進原始的遺傳算法，通過帶有約束的隨機數(shù)產(chǎn)生方法，保證產(chǎn)生的初始種群全部滿足約束（3），這樣將大大提高遺傳算法的收斂速度。

（3）適應度函數(shù)。適應度函數(shù)是模仿進化過程中的自然選擇，當個體的適應度函數(shù)越大，就越能被自然選擇中繁殖下一代。本文模型的適應度函數(shù)為：

（4）新種群的產(chǎn)生。根據(jù)產(chǎn)生的初始種群或者上一代種群的個體適應度函數(shù)來決定哪些個體能夠生產(chǎn)后代。每個個體的選取過程作為一個獨立時間，并且個體被選擇的概率與其適應度函數(shù)的大小呈正比。在實際的操作過程中，本文用“輪盤賭”的方式進行模擬選擇，對所有個體的適應度函數(shù)值求和；然后將每個個體的適應度函數(shù)值除以所有個體適應度函數(shù)之和的商作為每個個體所對應扇形面積的比例；最后，轉(zhuǎn)動輪盤確定出具有交配權(quán)的個體。通過這種方式可以保證較優(yōu)的解被選擇的概率大于次優(yōu)解的概率，從而使得新解可以不斷向最優(yōu)值收斂。

（5）交叉。交叉是模擬種群進化過程中的交配繁殖過程。生物的遺傳繁殖是通過父母的染色體配對產(chǎn)生新的染色體的過程，在這個過程中子代染色體會將父親和母親的基因各繼承一半。本文模型由于變量具有明顯的約束關(guān)系（式（7）），所以在進行交叉時，為了避免產(chǎn)生不滿足式（7）的新個體，本文將改進傳統(tǒng)遺傳算法的交叉操作，只對控制puv的基因位進行交叉操作，而對控制λluv的基因進行特殊的交叉操作，保證產(chǎn)生的新個體的控制λluv的基因滿足式（7）。

（6）變異。變異是模擬生物進化過程中的基因突變。在模擬的過程中，首先產(chǎn)生一個0-1的隨機數(shù)，如果該值小于設定的變異概率則個體發(fā)生變異，將該個體基因從隨機位置開始0變異為1，1變異為0.與交叉過程的特殊操作類似，由于變量具有明顯的約束關(guān)系（式（7）），變異僅對控制puv的基因位進行變異操作，對控制λluv的基因重新隨機生成滿足式（7）的變異操作。

（7）終止條件。遺傳算法的終止條件為當進化的最優(yōu)解收斂到特定的值，并且很難再有更優(yōu)的解出現(xiàn)。一般通過限制種群的進化代數(shù)來實現(xiàn)，當種群的進化代數(shù)設置過大時，雖然會有更大的概率搜索出更優(yōu)的解，但是計算量會相應地增加；當進化代數(shù)設置過小時，雖然計算量較少，但是有可能會出現(xiàn)結(jié)果不收斂的情況。

4 案例分析

4.1 案例介紹

本文選取廣州鐵路（集團）公司管內(nèi)的6個集裝箱站作為案例，如圖4所示，鐵路運輸網(wǎng)絡中的6個集裝箱站用方框表示，從1到6依次為：郴州站、湘潭東站、衡陽站、長沙東站、岳陽北站和益陽東站。需要注意的，本文研究的是技術(shù)站之間的車流徑路問題，本案例為了突出研究重點，未將各技術(shù)站之間的中間站標出，中間站之間的車流較簡單，屬于管內(nèi)區(qū)段列車的研究范疇。各站點之間的連線表示鐵路區(qū)段，圖中的區(qū)段都為雙向的區(qū)段，區(qū)段編號從1-12，其中上行區(qū)段用白圓圈表示，有1，2，3，4，5，11；下行區(qū)段用黑圓圈表示，有6，7，8，9，10，12。表2為各站點的相關(guān)參數(shù)，表3為鐵路區(qū)段的相關(guān)參數(shù)。

圖4 鐵路運輸網(wǎng)絡拓撲圖

表2 各站點集裝箱發(fā)送與到達作業(yè)能力（箱/天）

表3 鐵路區(qū)段相關(guān)參數(shù)

根據(jù)廣州鐵路公司市場調(diào)查的結(jié)果，各OD之間的價格需求反應函數(shù)參數(shù)見表4和表5，優(yōu)化前各OD之間的集裝運輸價格見表6，政府規(guī)定的運價上限見表7。廣州鐵路公司需要確定各OD之間的集裝箱運輸價格以及貨流徑路，使得鐵路公司的總收益最大化。

表4 各OD之間集裝箱運輸價格需求反應函數(shù)參數(shù)a

表5 各OD之間集裝箱運輸價格需求反應函數(shù)參數(shù)b

表6 優(yōu)化前各OD之間的集裝箱運輸價格（元/箱）

表7 各OD之間政府規(guī)定的運價上限（元/箱）

4.2 求解結(jié)果

將4.1節(jié)中的數(shù)據(jù)代入到第2節(jié)的模型中，根據(jù)第3節(jié)的改進遺傳算法，利用MATLAB編程進行求解。將種群規(guī)模設置為200個，進化代數(shù)設置為1 000代，交叉概率設置為0.9，變異概率設置為0.01，用處理器為Intel(R)Core(TM)i3-2130M CPU@2.10GHz，內(nèi)存為4G的計算機進行求解。目標函數(shù)值隨著進化代數(shù)的變化曲線如圖5所示，經(jīng)過400代開始收斂，目標函數(shù)最優(yōu)值為38 489 692.85元。各OD之間的最優(yōu)集裝箱運輸價格見表8，各OD之間的最優(yōu)徑路選擇見表9，各OD之間的最優(yōu)車流量見表10，各區(qū)段車流量與飽和度見表11。

圖5 改進的遺傳算法求解過程

表8 各OD之間的最優(yōu)集裝箱運輸價格（元/箱）

表9 各OD之間的最優(yōu)車流路徑

表10 各OD之間的最優(yōu)車流量（箱）

表11 各區(qū)段車流量以及飽和度

4.3 結(jié)果分析

（1）優(yōu)化前后結(jié)果對比。將4.2節(jié)的求解結(jié)果代入到式（1）、式（2）和式（3）中，得到最優(yōu)情況下的重箱運輸收入為130 200 576.19元，重箱運輸成本為90 683 705.27元，箱流不平衡導致的空箱調(diào)運費用為：1 027 178.07元，總利潤為：38 489 692.85元。將其與優(yōu)化前的利潤進行對比，見表12。

表12 優(yōu)化前后結(jié)果對比

從表12可以看出雖然優(yōu)化前的總收入較高，但是優(yōu)化前的運輸成本與空箱調(diào)運費用也較高，優(yōu)化后比優(yōu)化前的利潤提高了8 420 419.88元，增長28.00%。從優(yōu)化前與優(yōu)化后的價格看，除了湘潭東到衡陽站、衡陽站到郴州站、長沙東站到益陽東站之外的OD的運價都有不同程度的上升。箱流不平衡量也減少了844箱，相應的空箱調(diào)運費用也減少了84 379元。通過以上結(jié)果分析，可以看出本文模型的優(yōu)越性。

（2）與傳統(tǒng)的遺傳算法求解結(jié)果對比。由于本文改進了傳統(tǒng)的遺傳算法，在生成初始解以及交叉、變異的過程中，采用特殊的策略，始終使產(chǎn)生的新的種群滿足式（7）。如圖6所示，將本文改進的遺傳算法與傳統(tǒng)的遺傳算法比較，可以看出本文改進的遺傳算法具有收斂快、結(jié)果更優(yōu)的特點。

5 結(jié)語

本文首先提出了鐵路集裝箱運輸定價與車輛路徑問題的背景，接著以鐵路公司的總利潤為目標函數(shù)建立了非線性混合整數(shù)規(guī)劃模型，然后設計了改進遺傳算法對其進行求解。最后以廣州鐵路公司的6個集裝箱站點作為案例，通過計算得出本文的模型和算法將使得鐵路公司的利潤提高了28.00%，并且比較了本文改進的遺傳算法與傳統(tǒng)的遺傳算法，得出本文改進的遺傳算法具有收斂速度快的優(yōu)點。