摘 要：圓周運(yùn)動(dòng)知識在高中物理的考查中極為頻繁，而當(dāng)中的變速圓周運(yùn)動(dòng)往往讓學(xué)生頭疼不已，變速圓周運(yùn)動(dòng)常與牛頓第二定律、復(fù)合場、能量等知識點(diǎn)結(jié)合出現(xiàn)在各種試題中。本文嘗試從受力特征來分析圓周運(yùn)動(dòng)中的極值問題。

關(guān)鍵詞：圓周運(yùn)動(dòng)；最大速度；最小速度；向心力；徑向合力

筆者發(fā)現(xiàn)在3-1的《導(dǎo)與學(xué)》中有這樣的一道題目：

固定在光滑絕緣水平面上的a，b兩點(diǎn)，分別放置有兩個(gè)正點(diǎn)電荷Q1=Q和Q2=4Q，a、b兩點(diǎn)相距L，且a，b兩點(diǎn)正好位于水平放置的光滑絕緣半圓細(xì)管兩個(gè)端點(diǎn)的出口處，如圖所示。

（1）現(xiàn)將另一正點(diǎn)電荷靠近a處，沿a、b連線上靜止釋放，求它在ab連線上運(yùn)動(dòng)過程中達(dá)到最大速度時(shí)的位置離a點(diǎn)的距離。

（2）若把該點(diǎn)電荷放于絕緣管內(nèi)靠近a點(diǎn)處由靜止釋放，已知它在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中速度為最大時(shí)的位置在P處。試求出圖中Pa和ab連線的夾角θ。

解：

（1）設(shè)正點(diǎn)電荷電量為q，當(dāng)速度達(dá)到最大時(shí)，滿足該電荷所受合力為零，即

kQ1qx2=kQ2q（L-x）2

解得x=L3

（2）對做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷，當(dāng)庫侖力的合力沿OP方向時(shí)，它在P點(diǎn)處速度最大，即此時(shí)滿足

F2F1=k4Qq（2Rsinθ）2kQq（2Rcosθ）2=4cos2θsin2θ

tanθ=34

即得θ=arctan34

兩小題都是考查速度的最大值位置。其中第（1）小題考查的是直線運(yùn)動(dòng)的最大值，即加速度為零，合力為零的位置。而第（2）小題很多學(xué)生看了答案也不明白為什么P點(diǎn)速度最大值是兩個(gè)力的合力方向沿著OP也就是半徑方向。這就必須涉及曲線運(yùn)動(dòng)的極值問題。

在分析第（2）小題時(shí)，可以先復(fù)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的條件，提出徑向合力和切向合力的作用效果分別是改變速度的方向和速度的大小。所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)只有徑向合力，而輕繩模型中的小球（除最高點(diǎn)和最低點(diǎn)外）既有徑向合力又有切向合力，速度的大小和方向同時(shí)改變。然后再對本題中的帶點(diǎn)小球進(jìn)行受力分析，即小球由于放置水平面，重力和支持力相互抵消，小球在兩個(gè)庫侖力和徑向彈力的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)合力只沿著半徑方向時(shí)，切向合力為零，速度將達(dá)到極值。

本題還可以繼續(xù)拓展為復(fù)合場的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)極值問題以及輕繩模型中脫離軌道的高度。

如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為r的絕緣細(xì)圓環(huán)，一水平勻強(qiáng)電場與圓環(huán)平面平行，場強(qiáng)為E。環(huán)上套有一電量為+q、質(zhì)量為m的小球，忽略一切摩擦力。電場力大小等于重力，重力加速度為g，若小球能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則

（1）小球經(jīng)水平直徑左端A點(diǎn)時(shí)的速度大小是多少？

（2）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)，速度又是多少？此時(shí)圓環(huán)對小球的作用力是多少？

解：

（1）在小球從C點(diǎn)到A點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理可得

mgrsin45°-qE（r-rcos45°）=12mv2A-0

計(jì)算得出vA=2（2-1）gr

（2）在小球從C點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理可得

mg（r+rsin45°）+qErcos45°=12mv2B-0

計(jì)算得出vB=2（2+1）gr

在B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得

N-mg=mv2Br，

計(jì)算得出N=（22+3）mg

本題考查的是復(fù)合場中的豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)，屬于輕桿模型，涉及動(dòng)能定理和牛頓第二定律。

如果對小球受力分析，先找到小球的平衡點(diǎn)，即圖中D點(diǎn)，為小球能靜止的點(diǎn)。本題學(xué)生也可以將勻強(qiáng)電場和重力場等效為與X軸成45度的斜向下的復(fù)合場。D點(diǎn)為等效最低點(diǎn)，而C點(diǎn)就相應(yīng)為等效最高點(diǎn)。這兩點(diǎn)的特征就是只有徑向合力，切向合力為零，必然為速度的極值點(diǎn)。

對于曲線運(yùn)動(dòng)的速度極值問題，此類相似問題還有如下題型：

如圖所示，半徑為R的3/4圓弧形光滑軌道放置于豎直平面內(nèi)，A端與圓心O等高，AD為水平面，在O的正上方的B點(diǎn)為光滑軌道的最高點(diǎn)，在A點(diǎn)正上方某處由靜止釋放一小球，自由下落至A點(diǎn)時(shí)，進(jìn)入圓軌道，且通過B點(diǎn)時(shí)受到軌道的彈力為mg（設(shè)忽略過A點(diǎn)進(jìn)入圓軌道時(shí)的機(jī)械能損失），最后落到水平面C點(diǎn)處.求：

（1）釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度h和落點(diǎn)C到A點(diǎn)的水平距離x。

（2）若將小球由h=R處靜止釋放，請問小球能否通過最高點(diǎn)B點(diǎn)，若不能通過，請求出脫離圓軌道的位置E與O的連線與豎直方向夾角的正弦值。

解：

（1）小球通過最高點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律，有：

mg+FN=mv2BR

又FN=mg

計(jì)算得出：VB=2gB

設(shè)釋放點(diǎn)到A點(diǎn)高度為h，小球從釋放到運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過程中，

根據(jù)動(dòng)能定理，有：mg（h-R）=12mv2B

計(jì)算得出：h=2R，

由平拋規(guī)律：R=12gt2

x=vBt，

聯(lián)立計(jì)算得出x=2R，所以C點(diǎn)距A點(diǎn)距離：

Δx=2R-R=R

（2）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)最小速度

若能到達(dá)最高點(diǎn)應(yīng)滿足mgR=12mv2+mgR，

顯然不可能成立，即不能到達(dá)最高點(diǎn)。

設(shè)到最高點(diǎn)E的速度為vE，

E與O的連線與豎直方向夾角θ，由動(dòng)能定理有：

mgR（1-cosθ）=12mv2B ①，

在E點(diǎn)脫離軌道時(shí)有：mgcosθ=mv2ER ②

聯(lián)立①②計(jì)算得出：cosθ=23

所以sinθ=53

該題是綜合考查了牛頓第二定律、豎直面圓周運(yùn)動(dòng)及平拋的知識點(diǎn)。（1）題的關(guān)鍵是小球在B點(diǎn)時(shí)列出牛頓第二定律方程，再結(jié)合動(dòng)能定理和平拋規(guī)律即可求解.比較常規(guī)容易。（2）題的關(guān)鍵是能否判定出為過山車模型，設(shè)小球能到達(dá)最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求出到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度為

gR，與動(dòng)能定理矛盾，說明不能到達(dá)最高點(diǎn)。這個(gè)問題相對常規(guī)，一般學(xué)生問題不大。難點(diǎn)在于脫離軌道的位置。此時(shí)設(shè)出E與O點(diǎn)連線的夾角，再受力分析，根據(jù)動(dòng)能定理和脫離軌道時(shí)徑向合力提供向心力兩個(gè)方程聯(lián)解求出。

三道題雖然所處背景不同，但是都涉及曲線運(yùn)動(dòng)的極值問題。而徑向合力提供向心力，只改變速度的方向，切向合力改變速度的大小，這一原理都是學(xué)生理解這三道題的關(guān)鍵。

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作者簡介：黃麗英，福建省石獅市，福建石獅第八中學(xué)。