熊易文

摘要：《幾何原本》在數(shù)學(xué)史中占有重要的影響地位。歐幾里得通過收集、整理前人的成果，并加以自己的獨(dú)特的構(gòu)建設(shè)計(jì)創(chuàng)作了《幾何原本》。《幾何原本》的產(chǎn)生不僅是數(shù)學(xué)內(nèi)部的巨大發(fā)展，而且也是社會(huì)文化發(fā)展的一個(gè)具體體現(xiàn)。論文通過分析幾何的產(chǎn)生、《幾何原本》產(chǎn)生的三個(gè)主要發(fā)展階段、《幾何原本》產(chǎn)生這一歷史進(jìn)程來進(jìn)行《幾何原本》產(chǎn)生的社會(huì)文化影響分析。

關(guān)鍵詞：幾何 《幾何原本》 社會(huì)文化

中圖分類號(hào)：011 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1009-5349（2019）01-0215-02

幾何自古埃及產(chǎn)生，主要受畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、柏拉圖哲學(xué)、亞里士多德邏輯學(xué)文化影響，到歐幾里得整理、匯總而成《幾何原本》?！稁缀卧尽肥侨祟愇幕某晒撐脑噲D從幾何的起源，經(jīng)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、柏拉圖、亞里士多德這三個(gè)主要的社會(huì)文化影響階段，到《幾何原本》的產(chǎn)生，分析《幾何原本》產(chǎn)生的社會(huì)文化影響。《幾何原本》的產(chǎn)生體現(xiàn)了社會(huì)文化對(duì)科學(xué)創(chuàng)造的文化作用。

一、幾何產(chǎn)生的社會(huì)文化影響

幾何學(xué)產(chǎn)生于古埃及的中王國(guó)，當(dāng)時(shí)的統(tǒng)治者大規(guī)模開發(fā)了中部埃及，形成了大片的可耕地。[1]而埃及因?yàn)槊磕昴崃_河漲水后，土地界限被河水沖刷，需要重新界定農(nóng)民土地的邊界。為了解決當(dāng)時(shí)土地的增多及劃分等實(shí)際問題，提出了幾何。可以看出幾何的產(chǎn)生來源于當(dāng)時(shí)實(shí)際生產(chǎn)的需要。這種實(shí)際生產(chǎn)需要從幾何學(xué)的詞語構(gòu)成可以看出。幾何學(xué)，其拉丁文是geometria，源于希臘文rεωμετρiα，是由rεα（土地）與μετρiυ（測(cè)量）這兩個(gè)單詞合成，原是測(cè)量土地的意思。從幾何學(xué)的詞語構(gòu)成可以看出，幾何一詞充分蘊(yùn)含測(cè)量土地的實(shí)際意義。

當(dāng)時(shí)社會(huì)文化的實(shí)用主張使得幾何在實(shí)際生產(chǎn)中產(chǎn)生并得到充分的發(fā)展，可見當(dāng)時(shí)社會(huì)文化對(duì)幾何的產(chǎn)生和發(fā)展產(chǎn)生了一定作用的影響。幾何因其特有的實(shí)用價(jià)值和當(dāng)時(shí)社會(huì)環(huán)境的實(shí)際需要，加之幾何的特征及其具有的實(shí)際作用符合當(dāng)時(shí)社會(huì)文化環(huán)境的發(fā)展，因而被人們廣泛使用，從而流傳下來。

二、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)《幾何原本》產(chǎn)生的社會(huì)文化影響

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在古希臘文化中具有重要的地位。在哲學(xué)方面，提出了數(shù)為萬物的本原的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想。[2]“萬物皆數(shù)”的觀念是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的核心思想。他們認(rèn)為數(shù)是實(shí)體，直觀表現(xiàn)了世界的本原。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說的數(shù)不僅僅是整數(shù)，而是他們并沒有把數(shù)和幾何上的點(diǎn)區(qū)分開來。是從幾何的角度把一個(gè)數(shù)看作一個(gè)擴(kuò)大了的點(diǎn)或者是一個(gè)很小的球。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，把演繹法作為一種證明方法，并提出了畢達(dá)哥拉斯定理。幾何定理中，畢達(dá)哥拉斯定理其不僅證明了勾股定理（直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和）。而且通過利用幾何學(xué)的直觀特征，巧妙地定義了三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等數(shù)學(xué)概念。

從社會(huì)文化角度上看，一個(gè)數(shù)學(xué)定理的提出不是對(duì)特例的發(fā)明，而是其社會(huì)文化思想的具體體現(xiàn)。[3]畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以其特有的社會(huì)文化影響幾何的發(fā)展。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以先前的幾何文化作為文化基礎(chǔ)，在探索世界本原的路上運(yùn)用幾何的文化思想，在幾何社會(huì)文化影響的作用下，提出了畢達(dá)哥拉斯定理。隨著畢達(dá)哥拉斯定理的流傳和應(yīng)用，幾何的文化思想也隨定理的研究與應(yīng)用而發(fā)展。社會(huì)文化思想就是在傳承和發(fā)展中總結(jié)、歸納而來，同時(shí)也對(duì)后來的發(fā)展以啟迪。從畢達(dá)哥拉斯時(shí)期居于“四藝”之一的幾何學(xué)，可以看出當(dāng)時(shí)的社會(huì)文化對(duì)幾何研究的重視，同時(shí)也為后人的研究打下了文化基礎(chǔ)。畢達(dá)哥拉斯的數(shù)學(xué)思想對(duì)古希臘后來的哲學(xué)家產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，直接影響了一些哲學(xué)家的思維方法、思維模式，特別是對(duì)與他年代較近的著名哲學(xué)家柏拉圖和亞里士多德產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。從而造就柏拉圖哲學(xué)和亞里士多德邏輯演繹對(duì)《幾何原本》產(chǎn)生的社會(huì)文化影響。

三、柏拉圖哲學(xué)對(duì)《幾何原本》產(chǎn)生的社會(huì)文化影響

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的思想對(duì)柏拉圖哲學(xué)有很大作用，當(dāng)時(shí)的時(shí)代背景下，哲學(xué)家都致力于尋找世界的本原。[4]用數(shù)學(xué)去描繪世界、探尋本原是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)柏拉圖的深遠(yuǎn)影響。畢達(dá)哥拉斯數(shù)的思想對(duì)柏拉圖抽象理念思想的產(chǎn)生有非常重要的影響。在這種社會(huì)文化的影響下，柏拉圖認(rèn)為，數(shù)學(xué)是從“現(xiàn)實(shí)世界”到“理念世界”的橋梁，是幫助我們實(shí)現(xiàn)所說的“由黑暗到光明”的轉(zhuǎn)變的重要手段。在柏拉圖的思想中：數(shù)學(xué)中我們所處理的都是理想化的對(duì)象，從而就已包含了由經(jīng)驗(yàn)向理念的過渡。從柏拉圖學(xué)園門口立著的牌子“不懂幾何學(xué)者不準(zhǔn)入內(nèi)”可以看出柏拉圖對(duì)幾何的重視。柏拉圖本人對(duì)于幾何的研究體現(xiàn)在：試圖從幾何的角度對(duì)世界的本原作出具體論述。這種思想與柏拉圖提出世界的本原是五種正多面體的觀點(diǎn)密切相關(guān)。由此，加之他的幾何思想等理論，在柏拉圖的哲學(xué)思想中，數(shù)學(xué)就是建造世界的基石。正是在柏拉圖這種哲學(xué)思想的影響下，幾何的發(fā)展有了其哲學(xué)思想，同時(shí)具有了前進(jìn)的目標(biāo)。

在這種社會(huì)環(huán)境的影響下，那個(gè)時(shí)代因此出現(xiàn)了一批對(duì)幾何發(fā)展有貢獻(xiàn)的學(xué)者：美涅克謨發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，泰阿泰德建立了立體幾何學(xué)。可以說柏拉圖哲學(xué)對(duì)《幾何原本》產(chǎn)生了潛移默化的影響。《幾何原本》的最后一卷的最后一個(gè)命題是關(guān)于五種正多面體問題的總結(jié)性論證，從而很好地呼應(yīng)了柏拉圖宇宙生成理論。柏拉圖的宇宙生成理論給如何從觀念出發(fā)，運(yùn)用邏輯的形式表現(xiàn)數(shù)學(xué)命題，從而表現(xiàn)出世界的模式。正是基于這樣的認(rèn)識(shí)，波普爾認(rèn)為，《幾何原本》并不是一種幾何證明的運(yùn)用，而是一種世界理論的探究思想。從這種呼應(yīng)關(guān)系可以看出柏拉圖的哲學(xué)思想對(duì)歐幾里得《幾何原本》產(chǎn)生的社會(huì)文化影響。

四、亞里士多德邏輯學(xué)對(duì)《幾何原本》產(chǎn)生的社會(huì)文化影響

亞里士多德對(duì)幾何的影響主要體現(xiàn)在邏輯演繹方面。亞里士多德以三段論為中心的邏輯學(xué)對(duì)《幾何原本》的形式構(gòu)造產(chǎn)生了重要的作用。三段論的依據(jù)與幾何定理的推演、證明密切相關(guān)，根據(jù)一般關(guān)系的聚集、推理、演繹，得出一般的幾何定理，從而被人們認(rèn)可、接納并使用。這種形式邏輯與《幾何原本》的構(gòu)造密切相關(guān)。愛因斯坦曾在1953年給美國(guó)加州斯威策（J.E.Swizer）的一封信中提及，歐幾里得幾何學(xué)中體現(xiàn)的是一種形式邏輯系統(tǒng)。[5]可見三段論對(duì)幾何形式的構(gòu)造影響很大。三段論的思想構(gòu)成了《幾何原本》邏輯結(jié)構(gòu)的源泉，使《幾何原本》條理清晰、邏輯嚴(yán)密，具有真實(shí)性，同時(shí)也符合公眾的認(rèn)知，使《幾何原本》流傳起來。通過人們的認(rèn)可和使用，使其在社會(huì)中廣為流傳和使用。

從文化的傳承方面看，古希臘的數(shù)學(xué)是一種脫離具體數(shù)量意義的哲學(xué)，是表現(xiàn)真理的一種形式。這樣，作為“哲學(xué)家所追求的真理總體的一部分”，數(shù)學(xué)也就被“認(rèn)為必須是演繹的”。亞里士多德深受畢達(dá)哥拉斯乃至柏拉圖的文化影響。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)世界構(gòu)成和運(yùn)轉(zhuǎn)變化的研究已經(jīng)表現(xiàn)出了一種超越具體事物、具體問題之上的追求真理的傾向;在柏拉圖那里，吸收畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的思想，同時(shí)關(guān)于用數(shù)學(xué)解釋世界的觀點(diǎn)又得到了進(jìn)一步的發(fā)展。當(dāng)時(shí)的文化環(huán)境下，數(shù)學(xué)并已脫離具體問題的操作運(yùn)演而成為了表現(xiàn)世界的一種方式。在這樣的傳承和發(fā)展下，具體數(shù)學(xué)命題的論證形式受到了關(guān)注，隨著關(guān)注的增長(zhǎng)，數(shù)學(xué)是通過超越具體問題（抽象化）獲得真理的方法，即數(shù)學(xué)自身的邏輯運(yùn)用就是獲得真理的過程。正是在這種數(shù)學(xué)抽象化、邏輯化的思想的影響下，而使《幾何原本》問世。促成《幾何原本》的各種社會(huì)文化影響，就歐幾里得對(duì)于演繹證明的強(qiáng)調(diào)而言，應(yīng)特別提及亞里士多德的重要影響。一般說，這事實(shí)上就是亞里士多德對(duì)于古希臘文化數(shù)學(xué)理性追求的一個(gè)重要貢獻(xiàn)，即是通過使邏輯規(guī)律典范化和系統(tǒng)化，從而為數(shù)學(xué)的演繹形式提供了必要的基礎(chǔ)，更直接孕育了《幾何原本》。

五、《幾何原本》產(chǎn)生的社會(huì)文化意義

《幾何原本》的產(chǎn)生標(biāo)志著人類數(shù)學(xué)史上第一次公理化的數(shù)學(xué)理論體系。這種公理系統(tǒng)以現(xiàn)實(shí)空間為背景展開，有明顯的直觀意義。使真理的探求可以按照幾何原本的邏輯演繹模式進(jìn)行，從而推理出真理?！稁缀卧尽凡粌H具有一種數(shù)學(xué)命題的真理性特征，而且更重要的是它借用數(shù)學(xué)的方法表現(xiàn)了一種認(rèn)識(shí)世界、表達(dá)世界的獨(dú)特的文化思想，并且給人們提供一種理性的思維方式?！稁缀卧尽繁憩F(xiàn)了一種哲學(xué)式解釋宇宙萬物的法則。[6]《幾何原本》從幾個(gè)簡(jiǎn)單的原理出發(fā)，通過邏輯演繹推導(dǎo)出整個(gè)理論體系，從而表達(dá)理論所揭示的真理?！稁缀卧尽氛蚱淅硇蕴卣魈峁┝擞靡环N數(shù)學(xué)方法，最終演繹為一種認(rèn)識(shí)世界的理性思維方式。

《幾何原本》特定的社會(huì)文化背景表明，《幾何原本》在很大的程度上可以看作畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、柏拉圖哲學(xué)、亞里士多德的邏輯學(xué)和當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)理論的一個(gè)完美的結(jié)合?！稁缀卧尽返恼Q生，標(biāo)志著幾何學(xué)成為一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科，成為西方數(shù)學(xué)表達(dá)真理的圖式。分析各個(gè)階段對(duì)《幾何原本》的文化影響有助于對(duì)社會(huì)文化的影響有更好的體會(huì)?！稁缀卧尽肥巧鐣?huì)文化的產(chǎn)物，同時(shí)《幾何原本》的產(chǎn)生也對(duì)社會(huì)文化產(chǎn)生作用。通過發(fā)展的脈絡(luò)，看《幾何原本》的產(chǎn)生，分析社會(huì)文化對(duì)其的影響，有助于對(duì)《幾何原本》產(chǎn)生的社會(huì)文化意義有更好的理解?！稁缀卧尽返漠a(chǎn)生是社會(huì)文化的產(chǎn)物，是歷史的結(jié)晶。

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責(zé)任編輯：景辰