王焱

在如今這個(gè)大干世界，社會(huì)在進(jìn)步、科技在發(fā)展.沒有最好、只有更好，因此在面對(duì)疑難時(shí)，應(yīng)做到“一題多解，一題多思，一題多想”.唯有如此，才可做到自我修正，不斷優(yōu)化，應(yīng)變白如，穩(wěn)操勝券，進(jìn)而立于不敗之地.而數(shù)學(xué)題目更是如此，有的題目之所以看似做得很完美，是因?yàn)槟銢]有其他方法與之比較.不同的解法不僅能幫我們打開思路，訓(xùn)練思維，有時(shí)可以幫助我們彌補(bǔ)一些思路上的錯(cuò)誤.

下面就高一“零點(diǎn)問題”一例，談?wù)勎沂侨绾我蚱綍r(shí)注重“一題多解”，而發(fā)現(xiàn)思維漏洞，然后自我修改、自我成長(zhǎng)的.題已知關(guān)于于x的函數(shù)f（x）= ax23ax+ba-30在x∈（1，9）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解讀：此題以a=0不合題意，所以可先排除.因?yàn)橛辛诉@個(gè)前提，所以解答中沒有對(duì)f（x）=ax2-3ax+ba-30是什么類型的函數(shù)（一次或二次）進(jìn)行討論，而是直接根據(jù)函數(shù)的件質(zhì)將其分成了兩類：f（x）在（1，9）之間將穿過x軸，也即必將有零點(diǎn)，但有幾個(gè)零點(diǎn)還未定.根據(jù)二次函數(shù)的特殊性，如果二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)在同一區(qū)間內(nèi)，則其區(qū)間端點(diǎn)所對(duì)的函數(shù)值必定同號(hào)，因此，這里將“考慮二次函數(shù)的圖象特征”做到心中有數(shù)，思而不寫.y=f（x）的圖象與x軸相切，恰好只有一個(gè)零點(diǎn)則應(yīng)該保證此零點(diǎn)在（1，9）內(nèi)，因此通過△=0解a后還需檢驗(yàn)x.是否在（1，9）內(nèi).

這種解法看似巧妙，分類少，十分方便，但它卻是錯(cuò)解.這個(gè)結(jié)論是我通過解法2發(fā)現(xiàn)的，所以請(qǐng)看如下解法：

解法2 （圖象法）令ax²-3ar+ba-30=0，整理得a（x²-3x+6）=30.因?yàn)閍=0不合題意，所以x²-3x+6=30（a≠0）.

義因?yàn)殛P(guān)于x的函數(shù)f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以x²-3x+6=30在x∈（1，9）內(nèi)僅有一解，即y=x²-3x+6與y=30/a的圖象在（1，9）內(nèi)僅有一個(gè)交點(diǎn).作出y =x²-3x+6在（1，9）內(nèi)的圖象，觀察圖象可知30/a=15/4或30/a∈（4，60），所以a=8或1/2

解讀 圖象法的優(yōu)點(diǎn)是直觀、簡(jiǎn)捷、明朗.首先做的是變量分離，將未知量x與常量a置于方程的兩邊，從而可以將.f（x）=0化為x²-3x+6=30/a（a≠0），看成函數(shù)y=x²-3x+6的圖象與y=30/a這條直線的交點(diǎn)的情況，因此我作了y=x²-3x+6的圖象，然后觀察何時(shí)直線y=30/a與其圖象僅有一個(gè)交點(diǎn).

法2與法1結(jié)果的不同，讓我驚訝不已.我將a=15/2代人題目檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了法1錯(cuò)因：我沒有對(duì)端點(diǎn)值進(jìn)行考慮，此處并不會(huì)因?yàn)樗情_區(qū)間則可以對(duì)端點(diǎn)不予考慮.相反，依然十分重要，應(yīng)該考慮是否會(huì)出現(xiàn)以下情況：

y=f（x）在x=1時(shí)恰好為0，并且另外一個(gè)零點(diǎn)恰好在（1，9）這個(gè)區(qū)間內(nèi)，因此我犯了漏解的錯(cuò)誤.

感悟

錯(cuò)解與正解相差的只是一個(gè)a值，但卻有著很大的差距，不可以因?yàn)槭情_區(qū)間，則忽視對(duì)其區(qū)間端點(diǎn)值的考慮;相反，應(yīng)該更加慎重地進(jìn)行考慮.在后來的學(xué)習(xí)中，我發(fā)現(xiàn)我還是犯考慮問題不周的錯(cuò)誤，難道，這僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)單的考慮不周嗎？是不是我的表達(dá)不規(guī)范，思而不寫，思維太急導(dǎo)致的必然結(jié)果呢？

事實(shí)證明，就是因我只求思路快捷，不想表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn).于是我重新整理出下面的解答過程：

解法3 （分類討論法）因?yàn)橐阎P(guān)于x的函數(shù)y=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以：①a=0時(shí)，有f（x）=一30.因?yàn)?-30≠0，所以a=0不合題意，

感悟 此方法與解法1的區(qū)別只是將法1給具體化了，它對(duì)函數(shù)f（x）=ax²-3ax+6a-30進(jìn)行了分類討論，將其分為“一次型”、“二次型”.然后進(jìn)一步考慮：一次型，則a=0，但f（0）≠0，所以y=（x）是二次函數(shù).并且二次函數(shù)義分為與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)，則有了②，并且由錯(cuò)解的法1告訴我們端點(diǎn)必須去考慮.

對(duì)于這道十分難對(duì)付的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，我卻想出了三種解法，并且通過一題多解發(fā)現(xiàn)了自己的解題過程中所犯的錯(cuò)誤，由此可見一題多解的重要性.而此時(shí)的一題多解的效果只是第一層次，一題多解可以幫助我們更好地去選擇做題的方法.

變式1 已知函數(shù)f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為

分析 y=f（x）在（1，9）上有零點(diǎn)是存在性問題.存在性問題則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，通過變量分離得：x²-3x+6一30/a，則y=30/a與x²-3x+6在（1，9）的圖象上有交點(diǎn)，但此時(shí)的圖象可以省略，只要讓30在y =x²-3x+6在（1，9）內(nèi)的值域即可.

解 因?yàn)閒（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）上有零點(diǎn)，所以以ax²-3ax+6a-30=0在（1，9）上有解，也就是x²-3x+6=30/a在（1，9）上有解，

變式2 已知函數(shù)y=f（x）=ax²-3ax+6a+30在x1∈（1，9）上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則“的取值范圍為

分析 因?yàn)橹拔覀円呀?jīng)作出了y=x²-3X+6的圖象，所以此時(shí)運(yùn)用圖象法則更為簡(jiǎn)易，只要讓y=x²-3x+6與y=30/a在（1，9）上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可，

解 因?yàn)閒（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，所以x²3x+6=30/a在x∈（1，9）上有2個(gè)解，所以y=x²-3x+6與y=30/a的圖象在（1，9）上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以30/a∈（15/4，4），所以15/

根據(jù)以上的探索，我感受到一題多解的奧秘，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤，開擴(kuò)我們的思維，讓我在別人不知不覺中成長(zhǎng)，因此希望大家都可以同我一樣，一起愛上“一題多解、一題多思、一題多想、一題多變”吧.

教師點(diǎn)評(píng)

作者善思好學(xué)，思路開闊，不滿足一題一得，而是多思、多變、多比、多想，善于發(fā)現(xiàn)，樂于改變.從一道典型的零點(diǎn)求解題的錯(cuò)誤解答中自覺白醒，完美轉(zhuǎn)身，讓人贊嘆不已！