徐錢誠

高中三角函數(shù)部分的公式很多，初學時老師反復要求“理解、記憶、應用”：不僅要記住公式，而且要學會正用、逆用、變用，感覺十分痛苦.進入一輪復習后，經(jīng)歷大量習題的反復演練，三角公式已不再覺得枯燥和繁雜，我反而感覺“三角問題”相對比較簡單.尤其是同角三角函數(shù)的基本關系之一“sin²α+cos²α=1”（往下簡稱“平方關系”），從不同視角觀察公式的結構，能得到不一樣的理解，進而產(chǎn)生多樣的應用，可謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”.

一、圓上點的“坐標”

三角函數(shù)的定義有“終邊定義法”和“單位圓定義法”.按照單位圓定義法，正弦、余弦是單位圓上的任一點的“坐標”，由此我們可以迅速地得出同角三角函數(shù)的基本關系公式：設角α的終邊與單位圓交于P點（如圖），則點P的坐標為（COSα，sinα）.又由PO長為1，可得sin^/α+cos²α=1.推導過程蘊含著數(shù)形結合的方法，根據(jù)“平方關系”可以用三角函數(shù)來表示“圓上點的坐標”.

例1

已知a，b，d，為實數(shù)，且a²+b²=4，c²+d²=9，求ac+bd的最大、最小值.

分析

本題是《基本不等式》部分的一道易錯題，我同桌給出的錯誤解答如下：

本解法錯誤的原因是“取等號的條件不滿足”，該如何解決呢？如果注意到已知的條件“a²+b²=4，c²+d²=9”的結構：平方和等于常數(shù)，這兩個等式可以理解為：點（a，b）是圓x²+y²=4上任意一點，點（c，d）是圓x²+y²=9上任意一點.我們可以借用“平方關系”對（a，b）和（c，d，）進行“三角換元”.具體解法如下：

解 令a=2cosθ，b=2sinθ，c=3cosα，d=3sinα，

則ac+bd= 6cos θcosα+6sin θsinα=6sin（θ-α）.

當a=2，b=0，c=3，d=0時，函數(shù)取得最大值6;當a=- 2，b—0，c=3，d=0時，函數(shù)取得最小值-6.

說明 一般地，借助“平方關系”，我們可以用三角函數(shù)表示圓（x-a）²+（y-b）²=r²上的任一點：（rcos α，rsin α）;還可以用三角函數(shù)表示橢x²/a²+y²/b²=1上任意一點：（acos α，bsin α），這在解析幾何中稱為“參數(shù)法”，能夠簡便地處理一類最值問題.

二、正弦、余弦的“等式”

我喜歡這個常常被直接使用的得力助手：“sin²α+cos²α=1”.這個“平方關系”其實就是關于正弦（ sinα）、余弦（cosα）的一個等式，最基本的運用就是相互表示或相互轉(zhuǎn)化，尤其是某一個為“平方”時，可以簡化為同一個函數(shù).

例2

求當函數(shù)y=sin2 x+ mcos x-1/2m-3/2的最大值為1時m的值.

分析依據(jù)題設條件，可轉(zhuǎn)化為關于cos x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的方法求解.

三、代數(shù)式的“變形”

如果從“平方關系”的特征看，等式的左邊是“兩個同角三角函數(shù)的平方和”，而等式的右邊是常數(shù)“1”，于是我覺得還可以這樣來理解這種特征：“平方關系”可以將“代數(shù)式”轉(zhuǎn)化為“常數(shù)”.以這樣的理解視角，平方關系可以應用于“化簡”、“求值”.

分析題目中涉及的信息是同角的正弦和余弦，我們將它們和“平方關系”放在一起觀察：“sin x+cos x”，“sin x-cos x”，“sin²α+cos²α=1”，如果將前兩個代數(shù)式進行“平方”變形，可以得到一個恒等式：（sin x+cosx）²+ （sinx-cos x）²=2.

解因為sin x+cos x=1/5，

平方得sin²x+2sin xcos x+cos²x=1/25·

所以2sin xcos x=-24/25，

所以（sinx-cosx）²=1-2sinxcos x=49/25·

因為-π/20，sin x-cos x<0，

所以sin x-cos x=-7/5·兩個角的正弦和余弦關系式，也可以利用“平方”來變形：簡化或消元.

四、常數(shù)1的“代換”

如果從逆用“平方關系”的視角看，等式的右邊是常數(shù)“1”，等式的左邊是“兩個同角三角函數(shù)的平方和”，我們可以將“1”用“sin²α+ cos²α”進行代換.

解法1 將“平方關系”看成正余弦的

說明這里運用“平方關系”直接求出正弦和余弦的值，求解時涉及“開方”，要注意“±”.事實上，本題“α是第二象限角”是可以去掉的.因為實際上我們可以不用開方出來求具體的sinα，cosα的值，只要其平方項就可以。

解法2 平方關系的逆用.

從小同角度理解同角三角函數(shù)的基本關系“sin²α+ cos²α=1”，使我在問題解決的同時，提高了對公式的認識，不再需要“死記硬背”也能靈活應用.小小心得，與大家分享.