李瑩瑩
【摘要】本文通過(guò)高等數(shù)學(xué)的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn),有理函數(shù)求極限和有理函數(shù)找間斷點(diǎn)分析并闡述了掌握有理函數(shù)運(yùn)算原理的重要性,以及數(shù)學(xué)教學(xué)的目的和意義在于讓學(xué)生具備一定數(shù)學(xué)素養(yǎng),養(yǎng)成科學(xué)有效的思考方式。
【關(guān)鍵詞】有理函數(shù) 極限 間斷點(diǎn)
【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089(2019)09-0134-02
我們研究數(shù)是從整數(shù)到分?jǐn)?shù),正數(shù)到負(fù)數(shù),最終學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算的理論,學(xué)習(xí)代數(shù)式是從整式到分式,但卻沒(méi)有在中學(xué)給學(xué)生形成有理函數(shù)運(yùn)算的一般理論。高等數(shù)學(xué)第一章講完函數(shù)極限定義后,我們重點(diǎn)研究了有理函數(shù)的極限,但這時(shí)很多學(xué)生對(duì)有理函數(shù)這個(gè)概念是陌生的,有函數(shù)即多項(xiàng)式的商,下面我們分別來(lái)看看國(guó)內(nèi)中學(xué)的競(jìng)賽題和SAT考試題:
1.已知多項(xiàng)式6x2+7x+k能夠被2x+1整除,求k的值。
2.Give the ploynomial 6x4+2x2-8x-c, where c is a constant,for what value of c will have no remainder?
這兩個(gè)題目考查的是相同問(wèn)題,要求學(xué)生明白多項(xiàng)式乘除的一般原理,就像弄明白有理數(shù)的運(yùn)算規(guī)則是一樣的。
解:根據(jù)已知條件6x2+7x+k=(2x+1)P(x),6x4+2x2-8x-c=(x+2)Q(x),P(x),Q(x)分別是一次和三次多項(xiàng)式,將x=- ,x=-2分別代入方程6x2+7x+k=0,6x4+2x2-8x-c=0,得k=2,c=2。
在國(guó)內(nèi)這不是升學(xué)考試的重點(diǎn)內(nèi)容,而被學(xué)生忽視了,或者說(shuō)我們的學(xué)習(xí)太功利,目標(biāo)太明確了,從而拋棄了某些基本理論,規(guī)避了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的除了升學(xué)之外的意義。都說(shuō)數(shù)學(xué)是思維的體操,這句話有點(diǎn)太老套了,但我們確實(shí)需要有科學(xué)、有效的思考方式,以應(yīng)對(duì)成長(zhǎng)、生活、工作中的各種問(wèn)題,這也是我們?cè)诿恳粋€(gè)階段都需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要原因。
高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有理函數(shù)主要研究了兩個(gè)問(wèn)題,有理函數(shù)的極限和原函數(shù),在有理函數(shù)求極限、有理函數(shù)找間斷點(diǎn)的過(guò)程中,有理函數(shù)的基本運(yùn)算和性質(zhì)都是至關(guān)重要的。
3.求極限
解:分子分母都趨向于零,在沒(méi)有學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則之前我們需要將分子因式分解,如果知道多項(xiàng)式乘除的原理,處理起來(lái)很順利,x5+x3+x+3=(x+1)(x4-x3+2x2-2x+3),約分后代入求值,得結(jié)果9,否則需要學(xué)生填項(xiàng)完成因式分解,首先這不是所有學(xué)生都能想得到的,再則,當(dāng)題目換成 ,學(xué)生需要再次通過(guò)填項(xiàng)完成因式分解,分解的難度也增大了。我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該提倡的是第一種解決方案,用一個(gè)理論,一種方法處理一類問(wèn)題,盡量減少特殊方法,解題技巧,一些基本的論理在平時(shí)的教學(xué)中必須重點(diǎn)去處理,讓學(xué)生形成正確的思維方式。
4.求函數(shù)f(x)= 的間斷點(diǎn)
解:f(x)的定義域是x≠-3,1
x=-3是無(wú)窮間斷點(diǎn),x=1是可去間斷點(diǎn)。
在學(xué)習(xí)間斷點(diǎn)之前,我們首先應(yīng)該通過(guò)研究函數(shù)的圖像,知道x≠-3,1這兩個(gè)限制條件分別是函數(shù)的鉛直漸近線和“洞”,這樣在找間斷點(diǎn)并判別類型時(shí),根據(jù)極限學(xué)生在已知有理函數(shù)不同限制條件在圖像上的表現(xiàn)后,能更好地理解間斷點(diǎn)及其分類。
學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),老師講授數(shù)學(xué),除了考試升學(xué)之外,我們更應(yīng)該讓學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng),養(yǎng)成科學(xué)有效的思考方式。國(guó)外中學(xué)數(shù)學(xué)教材在講到軸對(duì)稱的時(shí)候,用到了鏡子,讓學(xué)生通過(guò)鏡子來(lái)理解什么是軸對(duì)稱,大家會(huì)覺得數(shù)學(xué)怎么這么不嚴(yán)謹(jǐn)了,但這正應(yīng)該是我們具備的一種思考方式,用你能夠使用的工具,能夠想到的辦法去解決實(shí)際問(wèn)題。而不是像我們?cè)诮饽承?shù)學(xué)題的時(shí)候,經(jīng)歷了多次的推導(dǎo)演算,山路十八彎,才得到答案,一個(gè)班上只有個(gè)別學(xué)生能想到思路。這樣的思考方式不具備普遍性,也不是絕大多數(shù)人能完成的事,不應(yīng)成為我們教學(xué)的主體。
我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該重點(diǎn)講解解題的一般思路,一般方法,順應(yīng)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解題讓大家的思考,每一種方法都有支點(diǎn)(概念、定理、性質(zhì)),每一個(gè)想法都不是無(wú)水之源,做我們能做的事情,想我們可以想到的方法,別總把數(shù)學(xué)解釋的高深莫測(cè),讓數(shù)學(xué)惠及每一個(gè)人。
參考文獻(xiàn):
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,《高等數(shù)學(xué)》(第七版),高等教育出版社,2014.7.
[2]人民教育出版社教學(xué)資源編輯室,《教材解讀》(數(shù)學(xué),八年級(jí),上冊(cè)),人民教育出版社,2017.5.
[3]黃伯強(qiáng),《有理分式函數(shù)的部分分式分解》,南京工程學(xué)院學(xué)報(bào),2008.6.