李瑩瑩
【摘要】本文通過高等數(shù)學的兩個知識點,有理函數(shù)求極限和有理函數(shù)找間斷點分析并闡述了掌握有理函數(shù)運算原理的重要性,以及數(shù)學教學的目的和意義在于讓學生具備一定數(shù)學素養(yǎng),養(yǎng)成科學有效的思考方式。
【關(guān)鍵詞】有理函數(shù) 極限 間斷點
【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089(2019)09-0134-02
我們研究數(shù)是從整數(shù)到分數(shù),正數(shù)到負數(shù),最終學習了有理數(shù)運算的理論,學習代數(shù)式是從整式到分式,但卻沒有在中學給學生形成有理函數(shù)運算的一般理論。高等數(shù)學第一章講完函數(shù)極限定義后,我們重點研究了有理函數(shù)的極限,但這時很多學生對有理函數(shù)這個概念是陌生的,有函數(shù)即多項式的商,下面我們分別來看看國內(nèi)中學的競賽題和SAT考試題:
1.已知多項式6x2+7x+k能夠被2x+1整除,求k的值。
2.Give the ploynomial 6x4+2x2-8x-c, where c is a constant,for what value of c will have no remainder?
這兩個題目考查的是相同問題,要求學生明白多項式乘除的一般原理,就像弄明白有理數(shù)的運算規(guī)則是一樣的。
解:根據(jù)已知條件6x2+7x+k=(2x+1)P(x),6x4+2x2-8x-c=(x+2)Q(x),P(x),Q(x)分別是一次和三次多項式,將x=- ,x=-2分別代入方程6x2+7x+k=0,6x4+2x2-8x-c=0,得k=2,c=2。
在國內(nèi)這不是升學考試的重點內(nèi)容,而被學生忽視了,或者說我們的學習太功利,目標太明確了,從而拋棄了某些基本理論,規(guī)避了學習數(shù)學的除了升學之外的意義。都說數(shù)學是思維的體操,這句話有點太老套了,但我們確實需要有科學、有效的思考方式,以應(yīng)對成長、生活、工作中的各種問題,這也是我們在每一個階段都需要學習數(shù)學知識的主要原因。
高等數(shù)學學習有理函數(shù)主要研究了兩個問題,有理函數(shù)的極限和原函數(shù),在有理函數(shù)求極限、有理函數(shù)找間斷點的過程中,有理函數(shù)的基本運算和性質(zhì)都是至關(guān)重要的。
3.求極限
解:分子分母都趨向于零,在沒有學習洛必達法則之前我們需要將分子因式分解,如果知道多項式乘除的原理,處理起來很順利,x5+x3+x+3=(x+1)(x4-x3+2x2-2x+3),約分后代入求值,得結(jié)果9,否則需要學生填項完成因式分解,首先這不是所有學生都能想得到的,再則,當題目換成 ,學生需要再次通過填項完成因式分解,分解的難度也增大了。我們在教學中應(yīng)該提倡的是第一種解決方案,用一個理論,一種方法處理一類問題,盡量減少特殊方法,解題技巧,一些基本的論理在平時的教學中必須重點去處理,讓學生形成正確的思維方式。
4.求函數(shù)f(x)= 的間斷點
解:f(x)的定義域是x≠-3,1
x=-3是無窮間斷點,x=1是可去間斷點。
在學習間斷點之前,我們首先應(yīng)該通過研究函數(shù)的圖像,知道x≠-3,1這兩個限制條件分別是函數(shù)的鉛直漸近線和“洞”,這樣在找間斷點并判別類型時,根據(jù)極限學生在已知有理函數(shù)不同限制條件在圖像上的表現(xiàn)后,能更好地理解間斷點及其分類。
學生學習數(shù)學,老師講授數(shù)學,除了考試升學之外,我們更應(yīng)該讓學生具備一定的數(shù)學素養(yǎng),養(yǎng)成科學有效的思考方式。國外中學數(shù)學教材在講到軸對稱的時候,用到了鏡子,讓學生通過鏡子來理解什么是軸對稱,大家會覺得數(shù)學怎么這么不嚴謹了,但這正應(yīng)該是我們具備的一種思考方式,用你能夠使用的工具,能夠想到的辦法去解決實際問題。而不是像我們在解某些數(shù)學題的時候,經(jīng)歷了多次的推導演算,山路十八彎,才得到答案,一個班上只有個別學生能想到思路。這樣的思考方式不具備普遍性,也不是絕大多數(shù)人能完成的事,不應(yīng)成為我們教學的主體。
我們在教學中應(yīng)該重點講解解題的一般思路,一般方法,順應(yīng)知識點來解題讓大家的思考,每一種方法都有支點(概念、定理、性質(zhì)),每一個想法都不是無水之源,做我們能做的事情,想我們可以想到的方法,別總把數(shù)學解釋的高深莫測,讓數(shù)學惠及每一個人。
參考文獻:
[1]同濟大學數(shù)學系,《高等數(shù)學》(第七版),高等教育出版社,2014.7.
[2]人民教育出版社教學資源編輯室,《教材解讀》(數(shù)學,八年級,上冊),人民教育出版社,2017.5.
[3]黃伯強,《有理分式函數(shù)的部分分式分解》,南京工程學院學報,2008.6.