王汾湘 席一

摘 要：在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，一元二次方程是非常重要的內(nèi)容。它是二次函數(shù)、三角方程以及后續(xù)一系列數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)和入門。但對于大部分學(xué)生來說，目前很多初中數(shù)學(xué)教師在講解這一部分知識時(shí)，沒有將其本質(zhì)、難點(diǎn)與用法講透，導(dǎo)致學(xué)生這一部分知識掌握得不是很扎實(shí)。本文介紹了一元二次方程的相關(guān)概念與內(nèi)涵，總結(jié)了一元二次方程教學(xué)中的重點(diǎn)難點(diǎn)所在，提出了具有針對性和可行性的教學(xué)方案建議。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);教學(xué)方案;一元二次方程

一、引言

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，涉及到函數(shù)方程的部分為一元一次方程以及一元二次方程的解法及應(yīng)用，而后者涉及到更豐富的數(shù)學(xué)概念和難度更高的數(shù)學(xué)思維，因此一直也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。并且其中涉及到的二次函數(shù)的概念，也是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識點(diǎn)之一。因此可以說一元二次方程與二次函數(shù)的學(xué)習(xí)在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的地位都是比較高的。

在當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往過度強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識點(diǎn)的死記硬背，以及通過大量做題來記住解題套路以應(yīng)對考試即可，這樣導(dǎo)致學(xué)生實(shí)際上并沒有對相關(guān)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行真正充分的理解消化吸收，而只是學(xué)會用公式及定理機(jī)械地去套路式做題。并且由于相關(guān)知識點(diǎn)并沒有真正深入理解其本質(zhì)，數(shù)學(xué)思維也沒有相應(yīng)提高，因此雖然可能在考試中得到了好分?jǐn)?shù)，但升入高中繼續(xù)進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)又會面臨較大的困難，此時(shí)再想彌補(bǔ)也很難了。因此在進(jìn)行初中一元二次方程教學(xué)時(shí)，不應(yīng)急于讓學(xué)生學(xué)會做多少類型的題目，而應(yīng)該先夯實(shí)其理解與思維方面的基礎(chǔ)，這樣不僅在學(xué)習(xí)解題時(shí)才會事半功倍，而且也為后續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)函數(shù)的拓展學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)。

二、一元二次方程教學(xué)探究

從學(xué)界現(xiàn)有研究成果可以看出，雖然目前初中一元二次方程教學(xué)的方法及課堂設(shè)計(jì)方案已經(jīng)有一些了，但目前較為全面地對一元二次方程從概念講解到實(shí)際運(yùn)用的全過程教學(xué)進(jìn)行綜合探究的文獻(xiàn)成果還比較少，因此本文下面嘗試針對一元二次方程教學(xué)全程進(jìn)行較為綜合的探究。

（一）概念定義

在進(jìn)入一元二次方程學(xué)習(xí)之前，學(xué)生們已學(xué)過一元一次方程及二元一次方程，對方程的構(gòu)建和用法也有了一定的了解。但一元二次方程由于涉及到的數(shù)學(xué)思維更高，因此在講解之前教師應(yīng)通過設(shè)立與實(shí)際生活有關(guān)聯(lián)的情境，通過現(xiàn)實(shí)中的計(jì)算問題來讓學(xué)生們自己先進(jìn)行探索和構(gòu)建，通過這樣自主學(xué)習(xí)的過程，才能使得學(xué)生們對一元二次方程的來龍去脈與實(shí)際用法有更加清晰深刻的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)解方程及利用二元一次方程解應(yīng)用題打下基礎(chǔ)。幾個(gè)比較好的例子有：

例子1：在兩座山之間有一片空地，某市要開辟出面積為800㎡的一塊長方形空地，而且長比寬多l(xiāng)2米，則空地的長和寬各為多少？可引導(dǎo)學(xué)生列出方程x（x+12）=800。

例子2：某中學(xué)前年年底學(xué)生總數(shù)7萬人，今年年底學(xué)生總數(shù)9萬人，求這兩年人數(shù)的平均增長率為多少？可引導(dǎo)學(xué)生列出方程。

例子3：一個(gè)正方形的稻田面積的3倍等于20，問這個(gè)正方形稻田的邊長是多少？可引導(dǎo)學(xué)生列出方程。

在列出方程之后，學(xué)生們對一元二次方程的來由也就有了初步的理解。此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察所列出方程的特點(diǎn)。學(xué)生們一開始容易誤解為“含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是2的方程叫作一元二次方程”，因此，教師在教學(xué)中務(wù)必強(qiáng)調(diào)定義中的三個(gè)特征：整式（方程里所有的未知數(shù)都出現(xiàn)在分子上，分母只是常數(shù)而沒有未知數(shù)）、一元、二次，并與學(xué)生分析這三個(gè)關(guān)鍵詞的含義，加深學(xué)生對概念的理解。

（二）求根公式

關(guān)于求根公式的講解，一種較好的方法就是配合配方法思路來進(jìn)行推導(dǎo)演示：

對于方程，將該方程兩邊同時(shí)乘以4a得到。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察并對該式進(jìn)行配方，很容易得出，即。到了這一步就不難解出：

這些推導(dǎo)過程表面上看起來對最終解題應(yīng)用并沒有直接的作用，畢竟教科書上已經(jīng)較為詳細(xì)地列舉出來了，學(xué)生只需要直接記住結(jié)論就行。而一般教師和學(xué)生也不會質(zhì)疑這種直接記憶的學(xué)習(xí)方法，但其實(shí)學(xué)生往往在面對看上去較為復(fù)雜的定理公式的時(shí)候，由于對其來由并沒有經(jīng)過自己的推演，因而也不能形成足夠深刻的理解，只記住其形而不解其意。這樣對后續(xù)構(gòu)建一元二次方程來解題的過程，和對函數(shù)和高次方程的繼續(xù)深化學(xué)習(xí)都是十分不利的。如前文所述，一元二次方程相關(guān)知識點(diǎn)是為后續(xù)很多學(xué)習(xí)內(nèi)容打基礎(chǔ)，其重要性和地位不言而喻，一旦這個(gè)環(huán)節(jié)沒有學(xué)扎實(shí)，后續(xù)學(xué)習(xí)也必將十分吃力。

（三）數(shù)形結(jié)合，引入函數(shù)思維

要搞好一元二次方程這一章節(jié)的教學(xué)，還有一點(diǎn)比較重要的是要讓學(xué)生學(xué)會在平面直角坐標(biāo)系上準(zhǔn)確作圖，這就是一元二次方程教學(xué)的基礎(chǔ)。只要會作圖，學(xué)生就能明白函數(shù)的對稱圖像、上加下減、左加右減等平移問題了，不用強(qiáng)迫他們記憶，不僅效果欠佳，而且非常容易混淆.學(xué)生基礎(chǔ)較差，難以講明白的話，教師就回歸到最基本的方式---作圖。通過作出函數(shù)的圖像，就能清晰的看出橫軸、縱軸數(shù)據(jù)變化會引起函數(shù)開口、位置等系列變化，直觀明了的教學(xué)方法，讓學(xué)生不再困擾在繁雜的口訣和所謂的技巧中。課堂上可以安排學(xué)生們自己多動手畫出不同開口方向的二次函數(shù)曲線，并且有條件的話，可以播放一元二次方程及二次函數(shù)圖形的形成和對比視頻。

另外在講解判別式的由來時(shí)，也可以結(jié)合其函數(shù)曲線圖來講解。一元二次方程是的特殊形式，當(dāng)時(shí)，函數(shù)曲線圖與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的值即為方程的根。拋物線與軸相交后，形成了頂端的一個(gè)封閉區(qū)域.這個(gè)區(qū)域的面積就是。面積大于0說明與軸至少有兩個(gè)交點(diǎn)，也就存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根。面積等于0說明與軸只有唯一的交點(diǎn)，只存在一個(gè)實(shí)數(shù)根。面積小于0，說明方程不存在實(shí)數(shù)根。

（四）學(xué)以致用，進(jìn)行解題

在學(xué)生對一元二次方程的概念和解法都掌握得較為熟練之后，即可進(jìn)入學(xué)以致用的解題階段。一元二次方程本身求根計(jì)算還是比較簡單的，難點(diǎn)在于根據(jù)應(yīng)用題的內(nèi)容和數(shù)據(jù)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)姆匠淌?，并擇取合適的結(jié)果。

在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程進(jìn)行解題時(shí)，不能一上來就大搞題海戰(zhàn)術(shù)，開始寧可讓學(xué)生多思考多試錯(cuò)，了解每種題型的特征和關(guān)鍵點(diǎn)所在，做一題就吃透一題。以達(dá)到舉一反三的目的，提高學(xué)習(xí)的效率與效果。

其中計(jì)算面積的例題有：用一塊長方形鐵片，在它的四個(gè)角各自剪去一個(gè)邊長是 4 厘米的小正方形，然后把邊折起來，恰好做成一個(gè)無蓋的盒子。已知鐵片的長是寬的 2 倍，做成的盒子的容積是 1536立方厘米，求這塊鐵片的長和寬是多少。本題首先可將盒子的寬設(shè)為未知數(shù)，找到裁去邊長這一步在方程中的表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生找到相等關(guān)系列出方程。不難解出，，由于邊長不能為負(fù)，固舍去，得到正確答案為該貼片長為4厘米，寬為8厘米。

三、總結(jié)

由于一元二次方程在內(nèi)容上的難度相較于之前驟然提高，疑點(diǎn)難點(diǎn)也比較多，因此在進(jìn)行二元一次方程的教學(xué)中，教師要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個(gè)局部知識，按照一定的觀點(diǎn)和方法組成整體，形成知識體系，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法都將在整個(gè)過程中得到形成和發(fā)展.學(xué)生的數(shù)學(xué)能力數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)素養(yǎng)也將在整十過程得到培養(yǎng)和鍛煉，長期堅(jiān)持下去，學(xué)生必將形成較豐富的數(shù)學(xué)情感和數(shù)學(xué)體驗(yàn)。

因此，廣大初中數(shù)學(xué)教師要立足學(xué)生的心理實(shí)際，教學(xué)中不時(shí)停下來觀察學(xué)生的表情和心理.同時(shí)也反思自己是否有些地方講解的不明白，不透徹，在學(xué)生做作業(yè)，練習(xí)題的過程中，也要及時(shí)總結(jié)，為什么學(xué)生會混淆公式，真的僅僅是公式太相近了還是我們有些工作做得不夠到位？只有打好基礎(chǔ)，講清問題，立足學(xué)生的實(shí)際，多多進(jìn)行教學(xué)反思，我們才能把看似難以理解的知識點(diǎn)變得簡單、通俗，學(xué)生也能輕松掌握。這也是一元二次方程知識環(huán)節(jié)教學(xué)的理想境界。

數(shù)學(xué)的建構(gòu)過程充滿了思想之美，在上述實(shí)際教學(xué)中通過方程思想建立數(shù)學(xué)模型，再讓學(xué)生通過類比一元一次方程總結(jié)一元二次方程概念，這一過程滲透了類比推理、歸納推理的思想方法和思維策略;在一元二次方程一般形式的得出過程中，又蘊(yùn)含了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了符號代數(shù)的思想，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)中的簡潔美與和諧美。而未知數(shù)與常數(shù)又反映出變與不變的數(shù)學(xué)思想。這樣的過程，欣賞是基礎(chǔ)，探究是主線，而且學(xué)生必須進(jìn)入深層的探究，對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉、總結(jié)與反思，欣賞才能發(fā)揮它的真正價(jià)值。

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