江蘇省啟東市建新中學(xué) 洪 巖

幾何推理、圖形的證明和計(jì)算一直是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)。發(fā)掘幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，多方面找到圖形的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生歸納基本幾何圖形組合結(jié)論，通過(guò)添加輔助線找到相似圖形，間接尋找邊與邊的關(guān)系，有助于開闊學(xué)生的思路。

一、試題呈現(xiàn)，展示解法生成

（2017 衢州） 在直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,連接OB，D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，作DF⊥DE，交OA于點(diǎn)F,連接EF。已知點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AB上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒。

圖1

圖2

（1）如圖1，當(dāng)t=3時(shí)，求DF的長(zhǎng)。

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí)，∠DEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠DEF的值。

（3）連接AD，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分面積之比為1∶2時(shí)，求相應(yīng)的t的值。

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，∴AB=OC,∵C點(diǎn)為（0，6），∴AB=6,

∵E點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，每秒走一個(gè)單位，∴t=3時(shí)，AE=3。

∵AB=6，E為AB上一點(diǎn) ∴點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)?！唿c(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，∴DE∥OA，DE=OA=4。

∵OA⊥AB，∴DE⊥AB ∵∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE, ∴∠EDF=90°。

∵四邊形DFAE為矩形， ∴DF=AE=3。

（2）∠DEF大小不變，如圖3，過(guò)D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分別是M，N。

圖3

∵四邊形OABC為矩形，∴OA⊥AB，∴四邊形DMAN是矩形。

∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA,根據(jù)平行線分線段成比例定理得

∵點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，∴M,N分別為OA,AB的中點(diǎn)?！逜點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），∴OA=8，∴DN=OA=4，∵AB=6，∴DM=AB=3?！摺螮DF=90°，∠EDF=90°，∴∠NDE+∠EDM=90°，∠FDM+∠EDM=90°。

∴∠NDE=∠FDM，又∵△DMF和△DNE是直角三角形，

（3）過(guò)D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分別是M，N。

連接AD交EF于點(diǎn)G，DG將△DEF分成的兩個(gè)三角形：△DEG和△DFG，設(shè)D點(diǎn)到EF的距離為h,則·h，

①∵AD將△DEF的面積分成1∶2的兩個(gè)部分，

當(dāng)S△DEG∶S△DFG=2∶1時(shí)，。過(guò)點(diǎn)G1作G1H⊥AF，則△FHG1∽△FAE。

∵G1是直線AD上的一點(diǎn)，G1的縱坐標(biāo)為HG1的長(zhǎng)度，也就是

②∵AD將△DEF的面積分成1∶2的兩個(gè)部分，當(dāng)S△DEG∶S△DFG=1∶2時(shí)，

過(guò)點(diǎn)G2作G2H⊥AF,則

∵G2是直線AD上的一點(diǎn)，G2的縱坐標(biāo)為HG2的長(zhǎng)度，也就是

綜上所述，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1∶2時(shí)，的值為

二、分析難點(diǎn)，提升思維能力

從解題過(guò)程，我們可以看到，這道題雖然是個(gè)四邊形的問(wèn)題，但是這個(gè)四邊形與數(shù)軸相結(jié)合，就需要明白直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都滿足一個(gè)數(shù)量關(guān)系。在解題過(guò)程中，要求學(xué)生能根據(jù)已知條件找到結(jié)論中數(shù)據(jù)的數(shù)量關(guān)系，一步步地推理，每一步都要依據(jù)已知條件或者是相關(guān)定理得出，這有助于培養(yǎng)學(xué)生精確的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。

三、教學(xué)感悟

四邊形問(wèn)題的解析是一個(gè)不斷探索的過(guò)程，在解題的過(guò)程中會(huì)需要用到代數(shù)相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，教師在教學(xué)過(guò)程中要擴(kuò)大解題思路，要求不斷地探索新的解方法，要能靈活運(yùn)用知識(shí)，并能在眾多數(shù)量關(guān)系中提取有用信息，這樣將有助于提升中學(xué)生的解題技巧和解題能力，從而提高課堂教學(xué)的有效性。