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        巧用根的判別式

        2019-03-28 01:45:20
        初中生世界 2019年11期
        關(guān)鍵詞:三項(xiàng)式判別式一元二次方程

        一元二次方程根的判別式是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),是重要的基礎(chǔ)知識(shí),也是解數(shù)學(xué)題的重要工具,其應(yīng)用主要包括以下幾個(gè)方面:①不解一元二次方程,判斷(證明)根的情況;②根據(jù)方程根的情況,確定待定系數(shù)的取值范圍;③判斷二次三項(xiàng)式是完全平方式時(shí)的待定系數(shù);④判斷拋物線與直線(含x軸)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)。下面,我們列舉幾種常見(jiàn)的題型和解法供同學(xué)們參考。

        【教材原題】(蘇科版《數(shù)學(xué)》九下第117頁(yè))k取什么值時(shí),關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?

        【思路分析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=0,將方程的系數(shù)代入根的判別式中,得到關(guān)于k的方程,進(jìn)而求得k的值。

        【解答】∵關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

        ∴Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×4=0,

        解得:k=±4。

        ∴當(dāng)k=±4時(shí)方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

        【演變過(guò)程】本題是在不解一元二次方程判斷方程根的基礎(chǔ)上演變而來(lái)的。

        【考題在線】

        變式1如果關(guān)于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是( )。

        A.k≥1 B.k>1 C.k<1 D.k≤1

        【思路分析】可由方程根的情況判斷判別式的取值,進(jìn)而分析得出k的取值范圍。

        【解答】∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有實(shí)數(shù)根,

        ∴Δ=b2-4ac=4(k-1)2-4(k2-1)=-8k+8≥0,

        解得:k≤1。

        故選:D。

        【解后反思】本題應(yīng)注意,有實(shí)數(shù)根包含有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩種情況,解題時(shí)要注意題目的不同說(shuō)法。

        變式2關(guān)于x的一元二次方程kx2-x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍。

        【思路分析】根據(jù)一元二次方程kx2-x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,知Δ=b2-4ac>0且k≠0,然后據(jù)此列出關(guān)于k的不等式,解不等式即可。

        【解答】∵kx2-x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=1-4k>0,且k≠0,

        【解后反思】本題主要考查根據(jù)方程根的情況求方程待定系數(shù)的取值范圍。解題時(shí),注意一元二次方程的“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”這一條件。

        變式3 求證:無(wú)論k取何值,方程x2-(k+3)x+2k-1=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

        【思路分析】先用含k的代數(shù)式表示出根的判別式,再通過(guò)配方說(shuō)明其不小于0。

        【解答】Δ=(k+3)2-4(2k-1)=k2+6k+9-8k+4=k2-2k+13=(k-1)2+12,

        ∵(k-1)2≥0,

        ∴(k-1)2+12>0,

        則無(wú)論k取何實(shí)數(shù),原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

        【解后反思】此題考查了根的判別式在證明方程根的情況這類問(wèn)題中的應(yīng)用,這類問(wèn)題需要先對(duì)根的判別式進(jìn)行配方,再對(duì)配方結(jié)果的取值進(jìn)行分析,最終得出結(jié)論。

        變式4 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),則符合條件的所有正整數(shù)m的和為( )。

        A.6 B.5 C.4 D.3

        【思路分析】根據(jù)方程的系數(shù),結(jié)合根的判別式Δ≥0,即可得出m≤3,由m為正整數(shù),結(jié)合該方程的根都是整數(shù),即可求出m的值,將其相加即可得出結(jié)論。

        【解答】∵a=1,b=2,c=m-2,關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

        ∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,

        ∴m≤3。

        ∵m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),

        ∴m=2或3。

        ∴2+3=5。

        故選:B。

        【解后反思】先由根的情況求出字母系數(shù)取值范圍,再根據(jù)題中條件分析,最終確定m的值。

        變式5 若關(guān)于a的二次三項(xiàng)式16a2+ka+25是一個(gè)完全平方式,則k=________。

        【思路分析】可以令二次三項(xiàng)式等于0,若二次三項(xiàng)式是完全平方式,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即Δ=0。

        【解答】令16a2+ka+25=0,因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=k2-4×16×25=0,所以k=40或者-40。

        答案:40或者-40。

        【解后反思】當(dāng)Δ=0時(shí),二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式,把滿足題目的所有條件列成一個(gè)方程求解。

        變式6 已知函數(shù)y=mx2-6x+1(m是常數(shù)),若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),求m的值。

        【思路分析】應(yīng)分兩種情況討論:①當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí),與x軸有一個(gè)交點(diǎn);②當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí),利用根的判別式解答。

        【解答】①當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)y=-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。

        ②當(dāng)m≠0時(shí),若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則方程mx2-6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=(-6)2-4m=0,m=9。

        綜上,若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則m的值為0或9。

        【解后反思】拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式有著密切的關(guān)系,由交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以得到根的判別式取值范圍,由根的判別式取值范圍也可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

        在中考復(fù)習(xí)中,我們要善于分析和思考,及時(shí)總結(jié),做到舉一反三,才能有效提高我們解決問(wèn)題的能力。

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