程玉娟

方程與不等式是數學中最基本、最核心的知識之一，是解決數學問題的有力工具，同時又是解決實際問題的橋梁。各地中考既有對基礎知識、基本技能的考查，如直接解方程、方程組等，又有對同學們綜合運用知識的能力的考查，如方案規(guī)劃問題、函數問題等。下面，我們對方程與不等式的?？碱}型進行歸納研究。

一、直接解方程（組）或不等式（組）

例1（2018·黑龍江齊齊哈爾）解方程：2（x-3）=3x（x-3）。

【解析】移項后，提取公因式x-3，利用因式分解法求得一元二次方程的解即可。

解：2（x-3）=3x（x-3），

移項得：2（x-3）-3x（x-3）=0，

整理得：（x-3）（2-3x）=0，

x-3=0或2-3x=0，

解得：x1=3或x2=。

【點評】一元二次方程的解法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法。本題是利用整體思想、提取公因式法求解。

例2（2018·江蘇無錫）方程組的解是_______。

【解析】利用加減消元法求解可得。

解：

②-①，得：3y=3，

解得：y=1，

將y=1代入①，得：x-1=2，

解得：x=3，

【點評】解二元一次方程組的思想方法是消元，將二元變成一元，再去解一元一次方程即可。消元的方法有兩種：一是加減消元，另一種是代入消元。同學們要根據實際情況選擇合適的方法。

二、方程與不等式的互化

【解析】解出不等式組的解集，與已知解集-1＜x＜1比較，可以求出a、b的值，然后相加，求出（a+b）的2009次方，可得最終答案。

解：由不等式得x＞a+2，x＜b，

∵-1＜x＜1，

∴a=-3，b=2，

∴（a+b）2009=（-1）2009=-1。

故答案為-1。

【點評】本題是已知不等式組的解集，求不等式中另一個未知數的問題?？梢韵葘⒘硪粋€未知數當作已知處理，求出解集并與已知解集比較，構造方程，進而求得另一個未知數。

三、在方案規(guī)劃問題中的應用

例4（2018·湖北咸寧）為拓寬學生視野，引導學生主動適應社會，促進書本知識和生活經驗的深度融合，我市某中學決定組織部分班級去赤壁開展研學旅行活動。在參加此次活動的師生中，若每位老師帶17個學生，還剩12個學生沒人帶；若每位老師帶18個學生，就有一位老師少帶4個學生。現有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示。

___載客量/（人__________/輛）____租金/（_____________元/輛）________________________________________________甲種客車30_________300________乙種客車_42____400____

學校計劃此次研學旅行活動的租車總費用不超過3100元，為了安全，每輛客車上至少要有2名老師。

（1）參加此次研學旅行活動的老師和學生各有多少人？

（2）既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛客車上至少有2名老師，可知租用客車總數為________輛。

（3）你能得出哪幾種不同的租車方案？其中哪種租車方案最省錢？請說明理由。

【解析】（1）設老師有x名，學生有y名，得出二元一次方程組，解出即可。

（2）根據老師人數和師生總人數，再由已知條件，即可求出客車總數為8輛。

（3）設租用x輛乙種客車，則甲種客車數為（8-x）輛，由題意得出 400x+300（8-x）≤3100，得出x取值范圍，再分析即可。

解：（1）設老師有x名，學生有y名。

答：老師有16名，學生有284名。

（2）∵每輛客車上至少要有2名老師，

∴16÷2=8，即汽車總數不能大于8輛。

又∵16+284=300，即要保證300名師生有車坐，所以汽車總數不能小于（取整為8）輛，

綜上，可知汽車總數為8輛。

故答案為：8。

（3）設租用x輛乙種客車，則甲種客車數為（8-x）輛。

∵車總費用不超過3100元，

∴400x+300（8-x）≤3100，

解得：x≤7。

為使300名師生都有座，

∴42x+30（8-x）≥300，

解得：x≥5，

∴5≤x≤7（x為整數），

∴共有3種租車方案：

方案一：租用甲種客車3輛，乙種客車5輛，租車費用為2900元。

方案二：租用甲種客車2輛，乙種客車6輛，租車費用為3000元。

方案三：租用甲種客車1輛，乙種客車7輛，租車費用為3100元。

故最節(jié)省費用的租車方案是：租用甲種客車3輛，乙種客車5輛。

【點評】本題第一問根據學生數與老師數之間的等量關系列方程組，從而得解，運用的是方程模型。第三問根據費用的不等關系以及在保證每人都有座位的前提下，列出不等式，得出x范圍，再根據實際情況，x要取整數，從而在范圍內取有限的整數解，得出結果。此種題型是方程（組）與不等式（組）非常具有代表性的應用，不論是從年份來看，還是從各個地區(qū)來看，在中考中最受青睞。此題分值比較大，難度中等偏上。

四、在函數中的應用

例5（2018·江蘇揚州）“揚州漆器”名揚天下，某網店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數關系，如圖所示。

（1）求y與x之間的函數關系式。

（2）如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）該網店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程。為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍。

【分析】（1）可用待定系數法來確定y與x之間的函數關系式。

（2）根據利潤=銷售量×單件的利潤，然后將（1）中的函數關系式代入其中，求出利潤和銷售單價之間的關系式，然后根據其性質來判斷出最大利潤。

（3）首先得出w與x的函數關系式，進而利用所獲利潤等于3600元時，對應x的值，根據增減性，求出x的取值范圍。

【解答】（1）設y=kx+b，

故y與x之間的函數關系式為：y=-10x+700。

（2）由題意，得-10x+700≥240，

解得x≤46，

設利潤為w，w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，

∵-10＜0，

∴x＜50時，w隨x的增大而增大，

∴x=46時，w大=-10（46-50）2+4000=3840。

答：當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元。

（3）令w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，

即-10（x-50）2=-250，

x-50=±5，

解得x1=55，x2=45，

當45≤x≤55時，捐款后每天剩余利潤不低于3600元。

【點評】利用方程或方程組求二次函數解析式基本上屬于必考題。二次函數的表達式有3種：一般式、頂點式和交點式。根據所給條件選擇恰當的表達式，建立方程模型即可求解。