康 敏

“方程與不等式（組）”是初中數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一，是數(shù)學(xué)中考的重點(diǎn)內(nèi)容和必考內(nèi)容之一。這類(lèi)問(wèn)題都是按照先學(xué)習(xí)定義，再學(xué)習(xí)解法，最后解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的順序研究的。做這類(lèi)題目，若抓住問(wèn)題的本質(zhì)，踩點(diǎn)解答，則可分?jǐn)?shù)到手。

踩點(diǎn)就是踩對(duì)考試中某一些得分的點(diǎn)，也可以說(shuō)答到點(diǎn)子上；踩點(diǎn)得分,其實(shí)就是分段得分。中考的閱卷評(píng)分辦法是踩對(duì)了多少知識(shí)點(diǎn)就給多少分。踩點(diǎn)得分的基本思想是：學(xué)會(huì)“肢解”題目，多去爭(zhēng)取踩分點(diǎn)，會(huì)做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭(zhēng)多得分，要有每分必爭(zhēng)的信念。我們一起看下面的例題。

例1求不等式組的正整數(shù)解。

【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大取中間、大大小小無(wú)解，確定不等式組的解集，在這個(gè)解集的范圍內(nèi)找正整數(shù)解。

解：

解不等式①，得：x＞-2，（解一元一次不等式）

∴不等式組的正整數(shù)解是1，2，3，4。（寫(xiě)出整數(shù)解）

例2已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0有一個(gè)根為0，則m=______。

【解析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，由根為0，把m=0代入原方程，列出關(guān)于m的方程。通過(guò)因式分解法解關(guān)于m的一元二次方程，求得m的值。特別考慮一元二次方程的定義，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，最終確定m的值即可。

解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0有一個(gè)根為0，

解①得m=0或m=2，（解一元二次方程）

綜上得：m=2。（綜合求出最終結(jié)果）

例3求證：不論m取何值，關(guān)于x的方程（x-1）（x-2）=m2總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

【解析】要判斷一元二次方程的根的情況，就要想到一元二次方程的根的判別式，而求根的判別式的前提是一元二次方程是一般形式。計(jì)算出根的判別式的值為1+4m2，利用平方的非負(fù)性、不等式的性質(zhì)判斷出判別式的符號(hào)。

解：化簡(jiǎn)，得：

x2-3x+2-m2=0，（化一元二次方程一般形式）

∵m2≥0，

∴4m2≥0，

∴1+4m2＞0，（判斷根的判別式與0的大小關(guān)系）

∴b2-4ac＞0，

∴不論m取何值，關(guān)于x的方程（x-1）（x-2）=m2總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

例4已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且|b+1 |＋（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根。

【解析】由二次根式非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、平方的非負(fù)性，可以得出3個(gè)分別關(guān)于a、b、c的一元一次方程，解一元一次方程，求出a、b、c的值，再把它們代入所求方程，最后用公式法或配方法求出一元二次方程的解。

解：∵≥0，| b +1 |≥0，（c+3）2≥0，且＋ |b +1 |＋（c+3）2=0，

∴a-1=0，b+1=0，c+3=0，（由具有非負(fù)性的3個(gè)整體之和為0得出方程）

∴a=1，b=-1，c=-3，（解一元一次方程）

把a(bǔ)=1，b=-1，c=-3代入ax2+bx+c=0得：

x2-x-3=0，（代入得方程）

即x1=。（解一元二次方程）

例5已知關(guān)于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=p（p+1）。

（1）試證明：無(wú)論p取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

（2）若原方程的兩根 x1、x2滿(mǎn)足 x12+x22-x1x2=3p2+1，求p的值。

【解析】（1）將原方程變形為一元二次方程的一般式，根據(jù)方程中各項(xiàng)的系數(shù)，計(jì)算出根的判別式b2-4ac的值，正好符合完全平方公式的特征，把它寫(xiě)為平方形式，即可證出：無(wú)論p取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）由完全平方公式的變形，把x12+x22-x1x2=3p2+1轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積的整體形式，這樣就需要利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代入后化為關(guān)于p的方程，解出即可。同學(xué)們即使不會(huì)做第一問(wèn)，也可以直接做第二問(wèn)，得第二問(wèn)的分?jǐn)?shù)。

（1）證明：原方程可變形為x2-5x+6-p2-p=0，（化一般形式）

∵a=1，b=-5，c=6-p2-p，（求出根的判別式）

∴b2-4ac=（-5）2-4×1×（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，

∴無(wú)論p取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（配方后再判斷）

（2）解：∵原方程的兩根為x1，x2，且a=1，b=-5，c=6-p2-p，

∴x1+x2=-=6-p2-p，（計(jì)算根與系數(shù)關(guān)系）

又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，

∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，（完全平方公式的變形）

∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，（代入變?yōu)榉匠蹋?/p>

∴25-18+3p2+3p=3p2+1，

∴3p=-6，

∴p=-2。（解方程，求出p的值）

例6“綠水青山就是金山銀山”。為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，A、B兩村準(zhǔn)備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱和捕魚(yú)網(wǎng)箱，每村參加清理人數(shù)及總開(kāi)支如下表：

10 16 68000村莊清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)/人清理捕魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)/人總支出/元A B 15 9 57000

（1）若兩村清理同類(lèi)漁具的人均支出費(fèi)用一樣，求清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱和捕魚(yú)網(wǎng)箱的人均支出費(fèi)用各是多少元。

（2）在人均支出費(fèi)用不變的情況下，為節(jié)約開(kāi)支，兩村準(zhǔn)備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱和捕魚(yú)網(wǎng)箱，要使總支出不超過(guò)102000元，且清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)，則有哪幾種分配清理人員方案？

【解析】本題主要是二元一次方程組與一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。（1）學(xué)會(huì)審題，找出已知量、未知量，設(shè)清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為x元，清理捕魚(yú)網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為y元，根據(jù)A、B兩村莊總支出的數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x、y的方程組，解之可得；（2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱，則（40-m）人清理捕魚(yú)網(wǎng)箱，根據(jù)“總支出不超過(guò)102000元，且清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)”列不等式組求解即可，特別注意最后的解要符合實(shí)際情況。

解：（1）設(shè)清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為x元，清理捕魚(yú)網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為y元，

解這個(gè)方程組，得：x=2000，y=3000，（求出方程組的解）

答：清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為2000元，清理捕魚(yú)網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為3000元。（寫(xiě)出答案得分）

（2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱，則（40-m）人清理捕魚(yú)網(wǎng)箱，根據(jù)題意，得：（列不等式組）

解這個(gè)不等式組得：18≤m＜20，（解不等式組）

∵m為整數(shù)，

∴m=18或m=19，（取整數(shù)值）

則分配清理人員方案有兩種：

方案一：18人清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱，22人清理捕魚(yú)網(wǎng)箱；方案二：19人清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱，21人清理捕魚(yú)網(wǎng)箱。（分情況討論并寫(xiě)出答案）

綜上，我們看到，對(duì)于方程與不等式類(lèi)題目，要仔細(xì)找準(zhǔn)題目中的已知、未知量以及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)分析。我們要下功夫去研究其命題特點(diǎn)、解題切入點(diǎn)與解題模型，注重知識(shí)間的聯(lián)系，萬(wàn)變不離其宗，學(xué)會(huì)找準(zhǔn)知識(shí)點(diǎn)，能拿的分?jǐn)?shù)一定要拿到。