周 斌
“你若不離不棄,我必生死相依”表明兩人關(guān)系親密或?qū)矍橹邑?。而我們的初中?shù)學(xué)中,也有這樣一對(duì)小伙伴——方程和不等式,它們是生死相依的關(guān)系。今天我們就來說說它們的親密關(guān)系。
例1(2018·江蘇揚(yáng)州)關(guān)于x的方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么m的取值范圍是_______。
【分析】本題主要考查兩點(diǎn):1.既然題目中提出方程“有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”,暗示了這個(gè)方程必須是一元二次方程,即二次項(xiàng)系數(shù)不為0;2.要會(huì)判斷一元二次方程的根的情況。
解:關(guān)于x的方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴m≠0,且Δ=(-2)2-4×m×3=4-12m>0,
【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵是理解題目中的“關(guān)于x的方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的本質(zhì):首先二次項(xiàng)的系數(shù)不為0;其次根的判別式要大于0。
例2(2017·江蘇宿遷14題變式)若關(guān)于x的分式方程-3解是非負(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______。
【分析】本題主要考查分式方程的解法、分式方程增根的意義等知識(shí),要求同學(xué)們能用不等式(組)來刻畫分式方程解的情況。
解:原關(guān)于x的分式方程可變形為
方程兩邊同乘最簡公分母(x-2),得m=-(1-x)-3(x-2),
∴x≥0,且x-2≠0,
解得m的取值范圍是m≤5且m≠1。
【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟,以及對(duì)分式方程解的意義的理解。
例3(2017·江蘇興化)已知關(guān)于x、y的方程組給出下列說法:
①當(dāng)a=1時(shí),方程組的解也是方程x+y=2的一個(gè)解。
③無論a取什么數(shù),2x+y的值始終不變。
④若y=x2+5,則a=-4。
其中正確的是( )。
A.②③④ B.①②④
C.③④ D.②③
【分析】本題主要考查二元一次方程的解法,而解法的核心是消元,要會(huì)用含a的代數(shù)式分別表示x和y。
解:把a(bǔ)=1帶入x+y=1-a,得x+y=0,故①是錯(cuò)誤的;將x+y=1-a與x-y=3a+5相加,得:2x=2a+6,x=a+3,將x+y=1-a與x-y=3a+5相減,得:2y=-4a-4,y=-2a-2,x-2y≥8就轉(zhuǎn)化為(a+3)-(-4a-4)≥8,解得:a≥,故②是正確的。
把2x+y轉(zhuǎn)化為(2a+6)+(-2a-2),合并同類項(xiàng),得2x+y=4,故③是正確的。
把方程y=x2+5轉(zhuǎn)化為-2a-2=(a+3)2+5,即-2a-2=a2+6a+9+5,a2+8a+16=0,解得:a=-4,故④是正確的。
所以正確答案是A。
【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵是用含a的代數(shù)式分別表示x和y,并將題目中所涉及的不等式和方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元一次不等式和一元二次方程。
例4(2016·山東濟(jì)寧)某地2014年為做好“精準(zhǔn)扶貧”,投入資金1280萬元用于異地安置,并規(guī)定投入資金逐年增加,2016年在2014年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元。
(1)從2014年到2016年,該地投入異地安置資金的平均增長率為多少?
(2)在2016年異地安置的具體實(shí)施中,該地計(jì)劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定前1000戶(含第1000戶)每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元,1000戶以后每戶每天補(bǔ)助5元,按租房400天計(jì)算,試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)。
【分析】對(duì)第一問,設(shè)從2014年到2016年,該地投入異地安置資金的平均增長率為x。要注意2016年的投入資金是1280+1600=2880(萬元),從而可列方程求解;第二問注意找到題目中數(shù)量之間的不等關(guān)系,即每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元的搬遷戶的租房獎(jiǎng)勵(lì)總額+每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)5元的搬遷戶的租房獎(jiǎng)勵(lì)總額≥500萬。注意每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元的搬遷戶有1000戶,設(shè)每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)5元的搬遷戶有y戶,即可列出不等式求解,進(jìn)而得到題目的答案。
解:(1)設(shè)從2014年到2016年,該地投入異地安置資金的平均增長率為x。
根據(jù)題意,得1280(1+x)2=1280+1600,
解這個(gè)方程,得x1=0.5,x2=-2.5(不合題意,舍去)。
答:從2014年到2016年,該地投入異地安置資金的平均增長率是50%。
(2)設(shè)今年該地有y戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)。
根據(jù)題意,得0.0008×1000×400+0.0005×400(y-1000)≥500,
解這個(gè)不等式,得y≥1900,
y≥1900的最小值是1900。
答:今年該地至少有1900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程及一元一次不等式的應(yīng)用。我們要找出題目中能夠反應(yīng)數(shù)量關(guān)系的語句,并能正確列出方程和不等式。
例5(2013·江蘇宿遷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=x+2與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0。若k<x0<k+1,則整數(shù)k的值是_______。
【分析】先求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn),聯(lián)立兩函數(shù)解析式,求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)x0,將x0代入k<x0<k+1中,估算即可確定出k的值。
解:聯(lián)立兩函數(shù)解析式得:
配方得:x2+6x+9=24,即(x+3)2=24,
解得:x1=2-3或x2=-2-3(舍去),
∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0=2-3,
∴整數(shù)k的值是1。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題。確定兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵。對(duì)用消元法解方程組的核心知識(shí)的理解及尋求不等式的整數(shù)解也是解決此題的關(guān)鍵要素。
例6(2018·江蘇南京)已知二次函數(shù)y=2(x-1)(x-m-3)(m 為常數(shù))。
(1)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。
(2)當(dāng)m取什么值時(shí),該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方?
【分析】本題是二次函數(shù)與一元二次方程、一元一次不等式的結(jié)合,二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是由相應(yīng)的一元二次方程解的個(gè)數(shù)確定的。二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,此時(shí)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)大于0,即為問題要求的答案。
(1)證明:當(dāng)y=0時(shí),2(x-1)(x-m-3)=0。
解得x1=1,x2=m+3。
當(dāng)m+3=1,即m=-2時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)m+3≠1,即m≠-2時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
所以不論m為何值,該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。
(2)解:當(dāng)x=0時(shí),y=2m+6,即該函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2m+6。
當(dāng)2m+6>0,即m>-3時(shí),該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。
【點(diǎn)評(píng)】正確解答此題的關(guān)鍵是明確函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的意義,進(jìn)而將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程和不等式問題。