周 斌

“你若不離不棄，我必生死相依”表明兩人關(guān)系親密或?qū)?ài)情忠貞。而我們的初中數(shù)學(xué)中，也有這樣一對(duì)小伙伴——方程和不等式，它們是生死相依的關(guān)系。今天我們就來(lái)說(shuō)說(shuō)它們的親密關(guān)系。

考點(diǎn)一：方程和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)

例1（2018·江蘇揚(yáng)州）關(guān)于x的方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是_______。

【分析】本題主要考查兩點(diǎn)：1.既然題目中提出方程“有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，暗示了這個(gè)方程必須是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)不為0；2.要會(huì)判斷一元二次方程的根的情況。

解：關(guān)于x的方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴m≠0，且Δ=（-2）2-4×m×3=4-12m＞0，

【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵是理解題目中的“關(guān)于x的方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的本質(zhì)：首先二次項(xiàng)的系數(shù)不為0；其次根的判別式要大于0。

例2（2017·江蘇宿遷14題變式）若關(guān)于x的分式方程-3解是非負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______。

【分析】本題主要考查分式方程的解法、分式方程增根的意義等知識(shí)，要求同學(xué)們能用不等式（組）來(lái)刻畫(huà)分式方程解的情況。

解：原關(guān)于x的分式方程可變形為

方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母（x-2），得m=-（1-x）-3（x-2），

∴x≥0，且x-2≠0，

解得m的取值范圍是m≤5且m≠1。

【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟，以及對(duì)分式方程解的意義的理解。

例3（2017·江蘇興化）已知關(guān)于x、y的方程組給出下列說(shuō)法：

①當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=2的一個(gè)解。

③無(wú)論a取什么數(shù)，2x+y的值始終不變。

④若y=x2+5，則a=-4。

其中正確的是（ ）。

A.②③④ B.①②④

C.③④ D.②③

【分析】本題主要考查二元一次方程的解法，而解法的核心是消元，要會(huì)用含a的代數(shù)式分別表示x和y。

解：把a(bǔ)=1帶入x+y=1-a，得x+y=0，故①是錯(cuò)誤的；將x+y=1-a與x-y=3a+5相加，得：2x=2a+6，x=a+3，將x+y=1-a與x-y=3a+5相減，得：2y=-4a-4，y=-2a-2，x-2y≥8就轉(zhuǎn)化為（a+3）-（-4a-4）≥8，解得：a≥，故②是正確的。

把2x+y轉(zhuǎn)化為（2a+6）+（-2a-2），合并同類(lèi)項(xiàng)，得2x+y=4，故③是正確的。

把方程y=x2+5轉(zhuǎn)化為-2a-2=（a+3）2+5，即-2a-2=a2+6a+9+5，a2+8a+16=0，解得：a=-4，故④是正確的。

所以正確答案是A。

【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵是用含a的代數(shù)式分別表示x和y，并將題目中所涉及的不等式和方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元一次不等式和一元二次方程。

考點(diǎn)二：方程和不等式（組）的實(shí)際運(yùn)用

例4（2016·山東濟(jì)寧）某地2014年為做好“精準(zhǔn)扶貧”，投入資金1280萬(wàn)元用于異地安置，并規(guī)定投入資金逐年增加，2016年在2014年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬(wàn)元。

（1）從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的平均增長(zhǎng)率為多少？

（2）在2016年異地安置的具體實(shí)施中，該地計(jì)劃投入資金不低于500萬(wàn)元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元，1000戶以后每戶每天補(bǔ)助5元，按租房400天計(jì)算，試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)。

【分析】對(duì)第一問(wèn)，設(shè)從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的平均增長(zhǎng)率為x。要注意2016年的投入資金是1280+1600=2880（萬(wàn)元），從而可列方程求解；第二問(wèn)注意找到題目中數(shù)量之間的不等關(guān)系，即每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元的搬遷戶的租房獎(jiǎng)勵(lì)總額+每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)5元的搬遷戶的租房獎(jiǎng)勵(lì)總額≥500萬(wàn)。注意每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元的搬遷戶有1000戶，設(shè)每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)5元的搬遷戶有y戶，即可列出不等式求解，進(jìn)而得到題目的答案。

解：（1）設(shè)從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的平均增長(zhǎng)率為x。

根據(jù)題意，得1280（1+x）2=1280+1600，

解這個(gè)方程，得x1=0.5，x2=-2.5（不合題意，舍去）。

答：從2014年到2016年，該地投入異地安置資金的平均增長(zhǎng)率是50%。

（2）設(shè)今年該地有y戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)。

根據(jù)題意，得0.0008×1000×400+0.0005×400（y-1000）≥500，

解這個(gè)不等式，得y≥1900，

y≥1900的最小值是1900。

答：今年該地至少有1900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程及一元一次不等式的應(yīng)用。我們要找出題目中能夠反應(yīng)數(shù)量關(guān)系的語(yǔ)句，并能正確列出方程和不等式。

考點(diǎn)三：方程、不等式（組）和函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用

例5（2013·江蘇宿遷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x+2與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0。若k＜x0＜k+1，則整數(shù)k的值是_______。

【分析】先求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，將x0代入k＜x0＜k+1中，估算即可確定出k的值。

解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：

配方得：x2+6x+9=24，即（x+3）2=24，

解得：x1=2-3或x2=-2-3（舍去），

∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0=2-3，

∴整數(shù)k的值是1。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題。確定兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵。對(duì)用消元法解方程組的核心知識(shí)的理解及尋求不等式的整數(shù)解也是解決此題的關(guān)鍵要素。

例6（2018·江蘇南京）已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m 為常數(shù)）。

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。

（2）當(dāng)m取什么值時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方？

【分析】本題是二次函數(shù)與一元二次方程、一元一次不等式的結(jié)合，二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是由相應(yīng)的一元二次方程解的個(gè)數(shù)確定的。二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)大于0，即為問(wèn)題要求的答案。

（1）證明：當(dāng)y=0時(shí)，2（x-1）（x-m-3）=0。

解得x1=1，x2=m+3。

當(dāng)m+3=1，即m=-2時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m+3≠1，即m≠-2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

所以不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。

（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=2m+6，即該函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2m+6。

當(dāng)2m+6＞0，即m＞-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

【點(diǎn)評(píng)】正確解答此題的關(guān)鍵是明確函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的意義，進(jìn)而將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程和不等式問(wèn)題。