唐烈崢，阮江軍，丁衡宇，黃 濤，劉海龍

(1.武漢大學 電氣與自動化學院，武漢 430072；2國網(wǎng)湖南省電力檢修公司，長沙 410004；3.國網(wǎng)江蘇省電力工程咨詢有限公司，南京 210000；4.中國船舶重工集團公司 第712研究所，武漢 430064)

0 引 言

異步電機端部漏磁會在繞組上產(chǎn)生時變電磁力，長期的電磁振動容易使繞組絕緣磨損和疲勞斷裂[1-2]。而另一方面，隨著電力電子和控制技術的進步，交流調(diào)速系統(tǒng)得到了快速發(fā)展，目前已逐步取代了傳統(tǒng)的直流傳動系統(tǒng)，其中變頻調(diào)速是交流調(diào)速中應用最多的一種方式[3]。異步電機的變頻調(diào)速雖然大大拓寬了其應用面，但也使定子電流及端部磁場中存在大量高次諧波分量，高次諧波的存在勢必影響到端部繞組振動。

端部電磁場分析是振動計算的基礎，常用的方法主要包括解析法和數(shù)值計算法。Lawrenson提出的方法是解析法中最為經(jīng)典和具有代表性的[4]，其思路是將端部繞組分成許多短小的直載流導體，通過計算任意兩段載流元之間的電磁力，并進行疊加得到繞組總體的電磁力分布，計算中將鐵心結構簡化為磁導率無窮大的理想磁鏡面，并用附加的“氣隙回轉電流”補償定轉子的磁位差，此后，其他學者又進一步提出了分離變量法[5-6]、直接積分法[7]等有用方法，盡管很多文獻報道了解析計算方法的研究，但由于難以準確描述端部復雜的結構，且不能考慮鐵芯的飽和效應[8]，該方法計算精度較低。數(shù)值方法可以解決任意形狀、任意類型的邊界條件以及復雜的源分布問題，且計算成本低、效率高，已成為電機電磁場分析的主要方法。早期的研究由于受到計算能力的制約，主要采用準三維有限元法或有限差分法[1,9-12]，假設電磁場沿電機軸向按照正弦分布，并將定轉子端部線圈電流以等效電流層代替，建立二維軸對稱模型進行求解，但準三維有限元法難以考慮切向磁密，也不可能考慮齒部效應[13]。針對上述問題，許多研究者開始采用全三維有限元法計算端部繞組電磁場，Lin R在感應電機端部電磁場計算方面開展了大量工作[2,14-16]，文獻[2]采用三維時諧場進行了異步電機端部繞組電磁分析。

針對變頻器驅動異步電機的振動問題，丁衡宇等分析了電機本體所受的電磁激振力[18-20]，Chen F等計算了繞組在某一時刻的電磁力[21]，而未能進行瞬態(tài)分析，劉海龍等開展了變頻異步電機底腳的振動試驗研究[22]。

目前，國內(nèi)外對變頻器驅動異步電機的端部繞組磁場仿真分析鮮有研究。為此，本文首先采用二維場路耦合時步有限元法求解得到定子繞組電流，在此基礎上通過三維瞬態(tài)磁場仿真分析端部繞組的漏磁，最后設計了與仿真模型一致的異步電機，并測量其端部繞組的磁密，仿真結果與試驗測量值吻合良好，研究結果可為異步電機的優(yōu)化設計提供一定參考。

1 理論基礎

變頻器驅動下異步電機端部繞組的電磁問題是一個電路、電磁場與運動系統(tǒng)等物理量相互耦合的非線性問題，直接求解難度較大。本文先采用二維場路耦合時步有限元法求得定子繞組電流，以此作為加載條件進行電機端部的三維磁場計算。由于變頻器供電下電流和磁場中均存在大量高次諧波，時諧場只能考慮單次諧波的影響，因此文中均采用瞬態(tài)場進行求解。

1.1 二維場路耦合控制方程

1.1.1 場路直接耦合

電機本體的平面電磁場求解可以通過二維有限元法實現(xiàn)，定子繞組端部與轉子端環(huán)等效為電阻、電感納入路方程中，通過場-路方程相結合實現(xiàn)聯(lián)立求解[23]，使模型可充分考慮轉子繞組中的渦流、鐵磁材料的非線性和端部參數(shù)對整體電磁場的影響。

由于定子繞組是絞線結構，忽略感應渦流，該區(qū)域滿足下述電磁場方程[19]：

(1)

式中，A為矢量磁位；Js為源電流密度；υ為磁阻率，數(shù)值為磁導率的倒數(shù)。

考慮端部阻抗的定子繞組電壓平衡方程為

(2)

式中，u為外施電壓，R和Lσext分別為定子相繞組的總電阻和端部漏感，可用經(jīng)典電機設計程序計算，由于端部不存在鐵心，經(jīng)典計算很準確；e為電極本體的定子感應電動勢，可根據(jù)法拉第電磁感應定律按下式計算

(3)

式中，Leff為鐵心有效長度；S為每相繞組電流區(qū)域面積；n為繞組區(qū)域剖分單元數(shù)，Aei為單元矢量磁位的平均值。

轉子導條的渦流區(qū)域的控制方程為

(4)

式中，φ為電位；σ為電導率。

鐵心與氣隙非導電區(qū)域沒有外加源項，電磁場方程如下：

(5)

定子鐵心外表面滿足磁力線平行邊界條件：

A=0

(6)

1.1.2 電磁場與運動問題間接耦合

電磁場間接耦合轉子運動方程的基本思想是：固定時間步長，通過求解某一時步的電磁場獲得電場轉矩Tem，以此計算下一時刻電機轉子的速度以及位置，如此進行下去便可得到場路耦合運動方程的求解，其中，轉子的運動方程如下：

(7)

(8)

式中，Ω為轉子角速度，Jm為轉動慣量，TL為負載轉矩。

1.2 磁場控制方程

以二維場路耦合時步有限元法得到的定子繞組電流作為加載條件，進行三維磁場計算，以矢量磁位為自由度進行求解，滿足式(1)的控制方程。

2 仿真算例

2.1 電機模型

異步電機計算模型與文獻[24]中所述一致，如圖1所示。定子繞組采用三角形連接，電機結構參數(shù)如表1所示。逆變器采用雙極性同步脈寬調(diào)制的控制方式，載波為三角波，頻率fc設置為1650Hz；調(diào)制波為頻率fr=50Hz的正弦波，調(diào)制系數(shù)H=0.8。

圖1 異步電機計算模型

表1 電機主要結構參數(shù)

2.2 二維場路耦合時步有限元計算

場路耦合仿真中時間步長的設置對結果有較大影響，步長較長時會出現(xiàn)明顯的三相不對稱，且波形畸變嚴重，因此為提高計算精度，將步長取為0.00002s；為使電機盡快達到穩(wěn)態(tài)，將轉子的初始轉速設置為2880r/min，仿真時長為0.8s。鐵心為非線性鐵磁材料DW465_50型硅鋼片，在仿真中設置其磁化曲線，以充分考慮鐵心飽和效應。定子A相繞組電流波形仿真結果如圖2所示。

圖2 定子A相繞組電流及其FFT

從圖中可見，0.5s之后電機基本進入穩(wěn)態(tài)運行；對定子A相電流進行快速傅里葉變換，主要諧波頻率為1550、1750、3250、3350、4850和5050Hz，完全符合SPWM調(diào)制的頻譜規(guī)律，可在一定程度上說明仿真的正確性。

2.3 三維磁場計算

以二維場路耦合時步有限元計算得到的定子繞組電流為加載條件，采用有限元法進行三維磁場求解，端部繞組計算模型如圖3所示，考慮到分析難度，模型中忽略了轉子鐵心及導條渦流的影響，僅建立了定子鐵心和繞組。仿真中時間步長設置為0.0002s，以充分考慮高次諧波的影響。

圖3 計算模型及局部剖分圖

仿真求解完后獲取0.8s時刻定子繞組的電流密度分布如圖4所示，可見電密加載方向以及大小及周期性均符合二極電機三相繞組電密的分布規(guī)律，從而進一步驗證了加載方法的正確性。

圖4 端部繞組電流密度

A相繞組中鼻子段某點各方向磁密的FFT如圖5所示。受采樣頻率限制，最高頻率只能分析到2500Hz，磁密主要高次諧波頻率為1550Hz與1750Hz，由于磁密由電流分布決定，從理論上分析，兩者應具有相同的特征頻率，對比圖2(b)和圖5可知仿真結果與理論分析吻合較好。

圖5 定子A相繞組鼻子段磁密FFT

3 試驗驗證

3.1 試驗布置

為驗證所提仿真方法的有效性，設計了與仿真模型一致的三相鼠籠式異步電機，具體參數(shù)如2.1節(jié)所述，樣機實物圖如圖6所示。

圖6 測試電機實物圖

定子電流由電流互感器獲取。端部繞組磁密采用探測線圈的反電動勢測量，本試驗中采用了PCB板作為探測線圈，如圖7(a)所示，并用環(huán)氧樹脂板固定于端部繞組鼻子處，以測量3個不同方向的磁場，如圖7(b)所示。

圖7 用于磁場測量的探測線圈及其布置

3.2 測試結果

3.2.1 定子繞組電流

對測量的定子繞組A相電流進行快速傅里葉變換，結果如圖8所示，主要諧波頻率為1550、1750、3250和3350Hz。對比圖2(a)可見，仿真得到的電流特征頻率和基波幅值均與試驗測量結果吻合良好。

圖8 定子繞組A相電流測量結果

3.2.2 端部繞組磁密

如前所述，磁密通過PCB線圈的反電動勢間接測量，在正弦分析中，磁密的計算公式為

(9)

式中，Bm和Em分別為磁密和感應電動勢的幅值，N和S為線圈匝數(shù)和截面積。

對測量到的感應電動勢進行傅里葉變換，然后將每一頻率分量的電動勢代入式(9)即可得到磁密的頻譜分布，結果如圖9所示，主要特征頻率均為1550 Hz和1750 Hz。對比圖5可見，試驗測量值與仿真結果在特征頻率和幅值方面均較為接近，有效地驗證了前述仿真模型的準確性。

圖9 定子A相繞組鼻子段磁密測量結果

4 結 論

本文提出了變頻器供電下異步電機端部繞組的磁場仿真方法，通過二維場路耦合時步有限元求得定子電流，在此基礎上進行端部繞組的三維瞬態(tài)磁場分析。開展了模擬樣機的試驗測試，結果表明：仿真得到的定子電流及端部繞組鼻子段的磁密與試驗測量結果和理論分析均吻合良好，為后續(xù)進一步研究變頻器對端部繞組振動的影響提供了基礎。