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        GP-平坦模的若干性質(zhì)

        2019-03-20 13:35:56王修建甘德俊黃新宇李福軍
        巢湖學(xué)院學(xué)報(bào) 2019年6期
        關(guān)鍵詞:內(nèi)射模投射模子模

        王修建 甘德俊 黃新宇 李福軍

        (1.皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 六安 237012;2.安徽教育出版社,安徽 合肥 230601)

        0 引言

        20世紀(jì)40年代,純粹代數(shù)研究領(lǐng)域引入了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的部分概念和方法,它極大地豐富了代數(shù)學(xué)的研究思路和研究?jī)?nèi)容,使得同調(diào)不變量成為代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要的核心關(guān)鍵詞,并且在這一理論形成的初期,許多代數(shù)學(xué)家對(duì)從代數(shù)拓?fù)渲幸氲难芯繉?duì)象、研究方法以及研究過程中所思考的問題表現(xiàn)出前所未有的興趣,投入了大量的研究精力,產(chǎn)出了一大批成果,并逐漸使之發(fā)展成為代數(shù)學(xué)中的一個(gè)新的研究方向-同調(diào)代數(shù)。而同調(diào)代數(shù)形成和發(fā)展也促進(jìn)著交換代數(shù)、代數(shù)幾何、代數(shù)表示論以及李代數(shù)等研究領(lǐng)域的發(fā)展,尤其是在上世紀(jì)50年代,著名的Krull猜想通過同調(diào)代數(shù)的內(nèi)容和思路得到了解決,使得國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家日益重視同調(diào)代數(shù)的研究。近幾十年來,同調(diào)代數(shù)在國(guó)內(nèi)代數(shù)界取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展,無論在傳統(tǒng)的環(huán)論、模論領(lǐng)域,還是在近年迅猛發(fā)展的代數(shù)表示論領(lǐng)域,同調(diào)代數(shù)研究及應(yīng)用都是問題研究的熱點(diǎn)。

        模論與代數(shù)學(xué)的許多分支都有著密切的聯(lián)系,起突出重要作用的是投射模、內(nèi)射模和平坦模,而投射模、內(nèi)射模和平坦模是同調(diào)代數(shù)中最重要的三大模類,可以通過它們有效的研究經(jīng)典的同調(diào)維數(shù),刻畫著名的環(huán)類,如正則環(huán)、QF環(huán)、IF環(huán)等,以及用來證明環(huán)論和代數(shù)表示論的許多著名猜想。如Baer于1940年提出的內(nèi)射性的概念在刻畫QF環(huán)方面就起著重要的作用,從Baer準(zhǔn)則出發(fā),許多學(xué)者研究了自內(nèi)射性的種種真推廣。

        FP-內(nèi)射性?P-內(nèi)射性?GP-內(nèi)射性?單內(nèi)射性?極小內(nèi)射性。

        然而,平坦模與內(nèi)射模、投射模有著密切的關(guān)系,它也有著各種真推廣,一方面Enochs、Jenda等人把投射模、內(nèi)射模和平坦模拓展到了Gorenstein投射模、Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein平坦模,促進(jìn)了相對(duì)同調(diào)代數(shù)的發(fā)展;另一方面,國(guó)內(nèi)外代數(shù)研究工作者在經(jīng)典的同調(diào)代數(shù)中做著不同的真推廣,這些研究在特殊環(huán)等方面都得到了有益的結(jié)果。受這些工作的啟發(fā),本研究引入GP-平坦模的概念,并討論它與GP-內(nèi)射模的關(guān)系及其一些性質(zhì),然后嘗試用GP-平坦??坍嬆愁愄厥獾沫h(huán),研究GP-平坦維數(shù)及其相應(yīng)的GP-平坦性質(zhì)。

        1 GP-平坦模與GP-內(nèi)射模

        右R-模MR稱為平坦模,若對(duì)于R的任意左理想I,都有0→M?I→M?R成立。如上所述,平坦模是模范疇中非常重要的一類模,在環(huán)和模范疇的研究中至今都非常重要,近年來一直廣受關(guān)注,利用平坦模及廣義平坦模可以刻畫許多重要的環(huán)。顯然,投射模一定是平坦模,反之不一定成立(注:環(huán)R上每個(gè)左R平坦模是投射模的充分必要條件是,環(huán)R是左完全環(huán)。)。眾所周知,關(guān)于平坦性的問題已經(jīng)被廣泛研究,本研究是在引入GP-平坦模的定義基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究了GP-內(nèi)射模和GP-平坦模的一點(diǎn)性質(zhì),同時(shí)也給出了GP-平坦維數(shù)的一些性質(zhì)。文中所考慮的環(huán)是指具有單位元的結(jié)合環(huán),所考慮的模都是指酉模,各類環(huán)與模的定義以及所用各種記號(hào)基本上都可在文獻(xiàn)[1-8]中找到,后文使用時(shí)不再一一說明。

        定義1 一個(gè)右R-模M稱為GP-平坦模,如果對(duì)于R的任一元素r,存在m∈N,使得任意的n≥m,n∈N,都有 0→MR?Rrn→MR?R 成立。

        命題1 M是GP-平坦右R模當(dāng)且僅當(dāng) M*是 GP-內(nèi)射左 R 模,其中 M*=Homz(M,Q/Z)為 M的特征模。

        證明:若右R-模M是GP-平坦右R模,則顯然有正合列 0→Rrn→R, 有 0→M?Rrn→M?R正合,由于Q/Z是內(nèi)射余生成子,那么

        反之,我們繼續(xù)考慮如上的交換圖,這時(shí),右列是正合的,得出左列是正合的,故每個(gè)Mα是GP-平坦模。

        命題3 設(shè)M,N是GP-平坦模,則M?N仍是GP-平坦模。

        證明:取m為一個(gè)足夠大的自然數(shù),則對(duì)于任一自然數(shù)n≥m,

        因?yàn)?α,γ 同構(gòu),若 x∈ker β,則 0=ψβ(x)=γτ(x),則 τ(x)=0,因?yàn)?γ 是單的,且兩行正合,則有x=σ(y),對(duì)某個(gè) y∈A?Rrn。 但這樣 0=β(σ(y))=φ(α(y))可得 α(y)=0(φ 單)。 這樣 y=0,x=σ(y)=0可得β同構(gòu),由定義B是GP-平坦模①短正合列中的三個(gè)模有著一定的聯(lián)系,命題4給出了前后兩模的GP-平坦性決定了中間模的GP-平坦性,我們自然會(huì)思考其它條件的GP-平坦性,尤其是中間模的GP-平坦性能否決定前后兩端模的GP-平坦性,如不行,需要在什么條件下才能成立,為此我們首先引入純子模的定義。。

        稱φ(A)是B的純子模。

        引理1[10-11]對(duì)右R-模M來說,下列條件等價(jià):

        (1)M是絕對(duì)純的.

        (2)M 是 E(M)的純子模(E(M)為 M 的內(nèi)射包).

        (3)M 是 FP-內(nèi)射模.

        (4)M是FP-內(nèi)射模的純子模.

        引理2 設(shè)R是任意環(huán),對(duì)右R-模M來說,下列條件等價(jià):

        (1)M 是 GP-平坦模;

        (2)對(duì)任意環(huán)R,存在m∈N,使得任意的n≥m,n∈N,有 Tor1R(M,R/Rrn)=0。

        命題5 設(shè)0→AR→BR→CR→0是純正合列,若B是GP-平坦模,則A和C都是GP-平坦的。

        證明:對(duì)于任意環(huán)R,存在m∈N,使得任意的n≥m,n∈N,由長(zhǎng)正合列有

        定理1 對(duì)于環(huán)R,下列條件是等價(jià)的:

        (1)GP-平坦模的直積是GP-平坦的;

        (3)環(huán)R是左GP-凝聚環(huán);

        (4)左R-模M是GP內(nèi)射的,當(dāng)且僅當(dāng) M*是GP-平坦的;

        (5)左R-模M是GP內(nèi)射的,當(dāng)且僅當(dāng) M**是GP內(nèi)射的;

        (6)右R-模M是GP-平坦的,當(dāng)且僅當(dāng) M**是GP-平坦的;

        (7)對(duì)于任意環(huán) S,

        其中n為某一個(gè)固定常數(shù)后任一自然數(shù),B為(R,S)-雙模,CS是內(nèi)射的。

        證明:(1)?(2)顯然。

        (3)?(1) 設(shè){Mi|i∈I}是一簇 GP-平坦模,要證∏i∈IMi也是GP-平坦模,由定理3知,我們只需證 α:(∏i∈IMi)?Rrn→(∏i∈IMi)Rrn是單的。 考慮如下交換圖:

        由(3)知Rrn是有限表現(xiàn)的,所以ε是同構(gòu),且β也是同構(gòu),又{Mi|i∈I}是一簇GP-平坦模,則得 γi:Mi?Rrn→MiRrn是單的, 所以 γ 是單的,從而知α是單的,那么∏i∈IMi是GP-平坦模。

        (3)?(7) 見引理 3。

        (7)?(4) 令 S=Z,C=Q/Z,B=M,則由條件知有

        所以左R-模M是GP內(nèi)射的,當(dāng)且僅當(dāng) M*是GP-平坦的。

        (4)?(5) 設(shè)左R-模M是GP內(nèi)射的,則由所給條件知,M*是GP-平坦模,從而M**是GP內(nèi)射的,反之顯然。

        (5)?(6) 如果 M 是 GP-平坦模,則 M*是GP內(nèi)射的,由所給條件知M***是GP內(nèi)射的,從而M**是GP-平坦模。反之,若M**是GP-平坦模,由引理1知M是M**的純子模,所以M是GP-平坦模。

        2 GP-平坦維數(shù)

        下設(shè)環(huán)R為交換環(huán),由于每個(gè)R-模M都有平坦分解,而平坦模是GP-平坦模,所以每個(gè)R-模都有GP-平坦模,即存在正合列

        則在M的所有這種形狀的GP-平坦分解中,必有一個(gè)GP-平坦分解,其中的非負(fù)整數(shù)n是最小的,這個(gè)最小的n稱為R-模M的GP-平坦維數(shù),記為Gfd(M)=n,若上述的 n不存在,則記為Gfd(M)=∞。 記 Gfd(R)=sup{Gfd(M)|M 為任意的R-模}為環(huán)R的GP-平坦維數(shù);WD(R)為環(huán)R的整體維數(shù)。并由定義,不難得出如下結(jié)論①(1)Gfd(R)≤WD(R),對(duì)任意的環(huán) R;(2)若 R 是遺傳環(huán),則有 Gfd(R)≤1;(3)若 R 是 Von Nenmann 正則環(huán),則 Gfd(R)=0。。

        命題6 R-模是GP-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)Gfd(M)=0。

        證明:設(shè)M是GP-平坦模,則M有GP-平坦分解 0→…→0→F0→M→0, 其中 F0=M,F(xiàn)i=0,?i≥1,那么 Gfd(M)=0。 反之,設(shè) Gfd(M)=0,則 M有一個(gè)GP-平坦分解…→0→F0→M→0,其中Fi=0,?i≥1,因此,F(xiàn)0?M,故 M 是 GP-平坦模。

        命題7 Gfd(M)≤1當(dāng)且僅當(dāng)GP-平坦模的子模是GP-平坦模。

        證明:對(duì)任意右 R-模 M,有 Gfd(M)≤1,設(shè) F0是GP-平坦模,F(xiàn)1是F0的子模,則有正合列0→F1→F0→F0/F1→0,由于已知 Gfd(F0/F1)≤1,則有F1是GP-平坦模。反之,設(shè)M是任意右R-模,則有自由模F0,使正合列0→F1→F0→M→0成立,由于F0是GP-平坦模,由已知F1也是GP-平坦模,得 Gfd(M)≤1。

        類似于GP-平坦模,由于每個(gè)R-模M都有內(nèi)射分解,而內(nèi)射模是GP-內(nèi)射模,可定義GP-內(nèi)射維數(shù)的定義,并刻畫兩者之間的關(guān)系。

        設(shè)R-模M有如下形狀的GP-內(nèi)射分解

        則在M的所有這種形狀的GP-內(nèi)射分解中,必有一個(gè)GP-內(nèi)射分解,其中的非負(fù)整數(shù)n是最小的,這個(gè)最小的n稱為R-模M的GP-內(nèi)射維數(shù),記為Gid(M)=n,若上述的 n不存在,則記為Gid(M)=∞。

        定理2 設(shè)R是一個(gè)環(huán),對(duì)任意的R-模M,Gfd(M)=Gid(M*)。

        證明:設(shè) M 是任意 R-模,Gfd(M)=n,由 GP-平坦分解的定義知,存在一個(gè)正合列

        眾所周知,若每一個(gè)R-模都是平坦模,則R稱為正則環(huán);若每一個(gè)內(nèi)射R-模都是平坦模,則稱R稱為IF環(huán)。可以說,近幾十年來,正則環(huán)和IF環(huán)一直國(guó)內(nèi)外環(huán)論專家關(guān)注的焦點(diǎn),尤其在歷屆的中日韓環(huán)論國(guó)際會(huì)議上,一直是討論的熱點(diǎn)。我們現(xiàn)在利用GP-平坦性做一下推廣,可以得到一些平行的結(jié)論。若每一個(gè)R-模都是GP-平坦模,則稱R稱為GP-正則環(huán);若每一個(gè)內(nèi)射R-模都是平坦模,則稱R稱為IGPF環(huán)②環(huán)R是正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是GP-正則環(huán),并且GP-平坦模的子模都是平坦模。事實(shí)上,對(duì)于任意的R-模F,存在正合列0→F→F′,根據(jù)題設(shè)R是GP-正則環(huán),那么由定義知F、F′為GP-平坦模,又由題設(shè)GP-平坦模的子模都是平坦模知F是平坦模,因此R是正則環(huán),反之顯然。。

        結(jié)合文獻(xiàn)[12],類似于文獻(xiàn)[13]的證明,我們可以得到如下命題

        定理3 設(shè)R為一任意環(huán),則下述等價(jià):

        (1)R 為 GP-正則環(huán);

        (2)內(nèi)射R-模的本質(zhì)子模是GP-平坦模;

        (3)GP-平坦R-模的同態(tài)像是GP-平坦模;

        (4)任意R-模的兩個(gè)GP-平坦子模的和是GP-平坦模;

        (5)任意R-模的兩個(gè)同構(gòu)的GP-平坦子模的和是GP-平坦模。

        定理4 設(shè)R為一任意環(huán),則下述等價(jià):

        (1)R 為 IGPF 環(huán);

        (2)FP-內(nèi)射R-模Q的都是GP-平坦模;

        (3)若 Q1?Q 都是 FP-內(nèi)射 R-模,則 Q/Q1是GP-平坦模;

        (4)對(duì)任意的 R-模 M,E(M)是 GP-平坦模;

        (5)任意的R-模M是GP-平坦模的子模;

        (6)內(nèi)射R-模M是GP-平坦模的子模。

        證明:(1)?(2) 因?yàn)?FP-內(nèi)射模Q是內(nèi)射包 E(Q)的純子模,根據(jù)題設(shè)知 E(Q)是 GP-平坦模,由命題5知Q是GP-平坦模。

        (2)?(3) 顯然 0→Q1→Q→Q/Q1→0 是純正合列,而Q1是FP-內(nèi)射模,Q是GP-平坦模,所以由命題5知Q/Q1是GP-平坦模。

        (1)?(4)?(5)?(6) 顯然成立。

        (6)?(1) 設(shè)M為任一內(nèi)射模,M為F的子模且F為GP-平坦模,則存在正合列0→F→M,由命題2知M是GP-平坦模,即證R為IGPE環(huán)。

        (3)?(1) 任一內(nèi)射模M是FP-內(nèi)射模,而0模也是FP-內(nèi)射模,因此有條件知M=M/0是GP-平坦模,即證R為IGPE環(huán)。

        由定理4不難得出,環(huán)R是IF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是IGPE環(huán),并且GP-平坦模的每個(gè)內(nèi)射子模都是平坦模。

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