盧小往

(1.蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，甘肅 蘭州 730050；2.淮安市楚州中學(xué)，江蘇 淮安 223200)

1 引言

素子模是素理想的推廣,最近幾年許多學(xué)者對(duì)素子模做了大量的研究[1～8].文獻(xiàn)[1]給出了素子模的概念并討論了其性質(zhì).文獻(xiàn)[2]對(duì)素子模做了推廣,給出弱素子模的概念及其性質(zhì).文獻(xiàn)[3]又將弱素子模推廣到幾乎素子模,指出素子模是幾乎素子模但反之未必.另一方面,文獻(xiàn)[4]引入了經(jīng)典素子模,并且指出經(jīng)典素子模比素子模更自然.受其啟發(fā)本文引入幾乎經(jīng)典素子模,并研究其性質(zhì).

本文中的環(huán)R指含幺交換環(huán),所涉及的模均為左R-模.設(shè)M是R-模，N是M的真子模；I是環(huán)R的真理想，a∈R.記

(N∶M)={r∈R|rM?N}，(N∶I)={m∈M|Im?N}，(N∶a)={m∈M|am∈N}.

稱I為弱素理想[5],如果對(duì)任意a,b∈R且滿足0≠ab∈I,有a∈I或b∈I;稱I為幾乎素理想[6],如果對(duì)任意a,b∈R且滿足ab∈II2,有a∈I或b∈I.稱N為素子模[1],如果對(duì)任意a∈R,m∈M且滿足am∈N,有m∈N或a∈(N∶M)；稱N為幾乎素子模[3],如果對(duì)任意a∈R,m∈M且滿足am∈N(N∶M)N,有m∈N或a∈(N∶M);稱N為經(jīng)典素子模[4],如果對(duì)任意a,b∈R,m∈M且滿足abm∈N, 有am∈N或bm∈N;稱N為弱素子模[2],如果對(duì)任意a∈R,m∈M且滿足0≠am∈N,有m∈M或a∈(N∶M);稱N為弱經(jīng)典素子模[7],如果對(duì)任意a,b∈R,m∈M且滿足0≠abm∈N,有am∈N或bm∈N.

2 主要結(jié)果

定義1 稱M的真子模N為幾乎經(jīng)典素子模,如果對(duì)任意a,b∈R,m∈M且滿足abm∈N(N∶M)N,有am∈N或bm∈N.

定理1 設(shè)M是R-模,N是M的真子模, 則下列各款等價(jià)：

(1)N是幾乎經(jīng)典素子模.

(2) 對(duì)任意a,b∈R,有(N∶ab)=((N∶M)N∶ab)∪(N∶a)∪(N∶b).

(3) 若a∈R和m∈M滿足am?N，則(N∶am)=((N∶M)N∶am)∪(N∶m).

(4) 若a∈R和m∈M滿足am?N,則(N∶am)=((N∶M)N∶am)，或(N∶am)=(N∶m).

(5) 若a∈R，R的理想I和m∈M滿足aIm?N(N∶M)N,則am∈N或Im?N.

(6) 對(duì)R的任意理想I和任意a∈R,有(N∶aI)=((N∶M)N∶aI)∪(N∶a)∪(N∶I).

(7) 若R的理想I和m∈M滿足ImN,則(N∶Im)=((N∶M)N∶Im)∪(N∶m).

(8) 若R的理想I和m∈M滿足ImN,則(N∶Im)=((N∶M)N∶Im)或(N∶Im)=(N∶m).

(9) 若R的理想I,J和m∈M滿足IJm?N(N∶M)N,則Im?N或者Jm?N.

證明(1)?(2) 設(shè)m∈(N∶ab)，則abm∈N.如果abm∈(N∶M)N,則m∈((N∶M)N∶ab).若abm?(N∶M)N,則am∈N或bm∈N,即m∈(N∶a)或m∈(N∶b),從而(N∶ab)?((N∶M)N∶ab)∪(N∶a)∪(N∶b).反過(guò)來(lái)的包含關(guān)系是顯然的.

(2)?(3) 設(shè)a∈R,m∈M，且am?N.若x∈(N∶am)，則axm∈N.因此m∈(N∶ax).由am?N,得m?(N∶a).根據(jù)條件(2)，有m∈((N∶M)N∶ax)或m∈(N∶x),即x∈((N∶M)N∶am)或x∈(N∶m),從而(N∶am)?((N∶M)N∶am)∪(N∶m).反過(guò)來(lái)的包含關(guān)系是顯然的.

(3)?(4) 根據(jù)“如果一個(gè)理想等于兩個(gè)理想之并，則這個(gè)理想等于其中一個(gè)理想”可得.

(4)?(5) 設(shè)aIm?N(N∶M)N，則I?(N∶am)且I?((N∶M)N∶am).如果am∈N，則結(jié)論成立.如果am?N，則根據(jù)條件(4)得I?(N∶m),即Im?N.

(5)?(6) 設(shè)m∈(N∶aI)，則aIm?(N∶M)N,于是m∈((N∶M)N∶aI).若aIm?(N∶M)N,則am∈N或者Im?N，即m∈(N∶I),從而(N∶aI)?((N∶M)N∶aI)∪(N∶a)∪(N∶I).而反過(guò)來(lái)包含關(guān)系是顯然的.

(7)?(8) 與(3)?(4)同理.

(8)?(9) 設(shè)IJm∈N(N∶M)N,則J?(N∶Im)且J((N∶M)N∶Im).如果Im?N，則結(jié)論成立.如果ImN,則根據(jù)條件(8)得J?(N∶m),即Jm?N.

(9)?(1) 設(shè)abm∈N(N∶M)N,得(a)(b)m?N(N∶M)N.由條件(9)得(a)m?N或者(b)m?N,從而am∈bm∈N.故N是幾乎經(jīng)典素子模.

定理2 設(shè)M是R-模，N是M的子模，則有：

(1) 如果N是M的幾乎經(jīng)典素子模，則對(duì)任意a,b∈R,m∈M且滿足abm∈N(N∶M)N，有am∈N或bm∈N或ab∈(N∶M).

(2) 若(N∶M)是幾乎素理想，如果對(duì)任意a,b∈R,m∈M滿足條件abm∈N(N∶M)N，有am∈N或bm∈N或ab∈(N∶M)，則N是M的幾乎經(jīng)典素子模.

證明(1) 顯然.

定理3 設(shè)M是R-模，N是M的真子模，則N是M的幾乎經(jīng)典素子模當(dāng)且僅當(dāng)N/(N∶M)N是M/(N∶M)N的弱經(jīng)典素子模.

定理4 設(shè)K是M的子模且K?(N∶M)N，則N是M的幾乎經(jīng)典素子模當(dāng)且僅當(dāng)N/K是M/K的幾乎經(jīng)典素子模.

證明必要性.設(shè)a,b∈R,m+K∈M/K滿足ab(m+K)∈N/K-(N/K∶M/K)(N/K),則abm+K∈N/K-(N∶M)(N/K),因此abm∈N(N∶M)N.因?yàn)镹是M的幾乎經(jīng)典素子模，所以am∈N或者bm∈N,從而a(m+K)∈N/K或者b(m+K)∈N/K.故N/K是M/K的幾乎經(jīng)典素子模.

充分性.設(shè)a,b∈R,m∈M滿足abm∈N(N∶M)N,則由K?(N∶M)N?M得abm+K∈N/K-(N∶M)(N/K),即ab(m+K)∈N/K-(N/K∶M/K)(N/K).由于N/K是M/K的幾乎經(jīng)典素子模，所以a(m+K)∈N/K或者b(m+K)∈N/K.所以am∈N或者bm∈N.故N是M的幾乎經(jīng)典素子模.

下述定理表明幾乎經(jīng)典素子模對(duì)于局部化運(yùn)算是封閉的.

定理5 設(shè)N是M的幾乎經(jīng)典素子模，S是R的乘法閉子集且滿足(N∶M)∩S=?，則S-1N是S-1M的幾乎經(jīng)典素子模.

下面考慮幾乎素子模與幾乎經(jīng)典素子模的關(guān)系.

定理6 設(shè)M是R-模，則有：

(1)M的幾乎素子模都是幾乎經(jīng)典素子模.

(2) 若M是循環(huán)模，則M的幾乎經(jīng)典素子模都是幾乎素子模.

證明(1) 設(shè)N是M的幾乎素子模，a,b∈R和m∈M滿足abm∈N(N∶M)N，則有a∈(N∶M)或bm∈N，進(jìn)而am∈N或bm∈N.所以N是M的幾乎經(jīng)典素子模.

(2) 設(shè)M=Rm，N是M的幾乎經(jīng)典素子模.若r∈R和x∈M滿足rx∈N(N∶M)N，令x=sm，其中s∈R，則有rx=rsm∈N(N∶M)N.由于N是M的幾乎經(jīng)典素子模，故有rm∈N或sm∈N，從而rM?N或x∈N.所以N是M的幾乎素子模.

例1 設(shè)R=,M=p⊕⊕,其中p是素?cái)?shù).考慮.

我們說(shuō)明N是M的幾乎經(jīng)典素子模.設(shè)m,n,z,w∈,p滿足則故p|mnx,z=0，所以p|m或p|nx.如果p|m,則如果p|nx,則因此N是M的幾乎經(jīng)典素子模.

下面考慮幾乎經(jīng)典素子模與模的直和的關(guān)系.

定理7 設(shè)M1,M2是R-模，N1是M1的真子模，則下列條件等價(jià)：

(1)N=N1⊕M2是M=M1⊕M2的幾乎經(jīng)典素子模.

(2)N1是M1的幾乎經(jīng)典素子模，且對(duì)每個(gè)r,s∈R,m1∈M1有，若rsm1∈(N∶M)N1,rm1?N1,sm1?N1則rs∈((N∶M)M2∶M2).

證明(1)?(2)設(shè)N=N1⊕M2是M=M1⊕M2的幾乎經(jīng)典素子模.又設(shè)r,s∈R,m1∈M1滿足rsm1∈N1(N1∶M1)N1，則rs(m1,0)∈N1⊕M2(N1⊕M2)即rs(m1,0)∈N(N∶M)N.因此r(m1,0)∈N或者s(m1,0)∈N,從而rm1∈N1或者sm1∈N1,由此可得N1是M1的幾乎經(jīng)典素子模.假設(shè)rs?((N∶M)M2∶M2),則存在m2∈M2使得rsm2?(N∶M)M2,從而rs(m1,m2)∈N(N∶M)N,因此r(m1,m2)∈N或者s(m1,m2)∈N,從而rm1∈N1或者sm1∈N1，矛盾.故rs∈((N∶M)M2∶M2).

(2)?(1)設(shè)r,s∈R,(m1,m2)∈M=M1⊕M2.又設(shè)rs(m1,m2)∈N(N∶M)N.如果rsm1∈N1(N1∶M1)N1,則根據(jù)(2)得，rm1∈N1,所以r(m1,m2)∈N或者s(m1,m2)∈N.如果rsm1∈(N1∶M1)N1,則rsm2?(N∶M)M2,從而rs?((N∶M)M2∶M2).由(2)得rm1∈N1或者sm1∈N1,所以r(m1,m2)∈N或者s(m1,m2)∈N.所以N=N1⊕M2是M=M1⊕M2的幾乎經(jīng)典素子模.

定理8 設(shè)M1,M2是R模，N1,N2分別是M1,M2的真子模.如果N=N1⊕N2是M=M1⊕M2的幾乎經(jīng)典素子模，則Ni是Mi的幾乎經(jīng)典素子模,i=1,2.

證明設(shè)r,s∈R,m1∈M1滿足rsm1∈N1(N1∶M1)N1，則rs(m1,0)∈(N1⊕N2)(N1⊕N2∶M1⊕M2)(N1⊕N2),由N=N1⊕N2是M=M1⊕M2的幾乎經(jīng)典素子模得，r(m1,0)∈N1⊕N2或者s(m1,0)∈N1⊕N2,從而rm1∈N1或者sm1∈N1.所以N1是M1的幾乎經(jīng)典素子模.同理N2是M2的幾乎經(jīng)典素子模.