班秀和，韋儒和

(廣西師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計科學學院，廣西 南寧 530001)

關于NA-內(nèi)射模

班秀和，韋儒和*

(廣西師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計科學學院，廣西 南寧 530001)

文章中引入了NA-內(nèi)射模的概念：稱M為NA-內(nèi)射模.如果對于任意模A的任意Noether子模B有B到模M的任意同態(tài)均可提升為A到M的同態(tài).文中給出了NA-內(nèi)射模的等價條件，得到了關于NA-內(nèi)射模的直積、直和等運算的若干結(jié)果，指出了NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模的實質(zhì)性推廣，運用NA-內(nèi)射?？坍嬃薔oether環(huán)和一類V-環(huán).

NA-內(nèi)射模；Noether環(huán)；V-環(huán)

0 引言

本文對內(nèi)射模進行了推廣，引入了NA-內(nèi)射模的概念，給出了NA-內(nèi)射模的等價條件，并指出了NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模的實質(zhì)性推廣，得到了關于NA-內(nèi)射模的直積、直和等運算的若干結(jié)果，運用NA-內(nèi)射?？坍嬃薔oether環(huán)和一類V-環(huán).

本文的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán)，并用R表示這樣的環(huán).模都是右酉模.我們將用符號B≤A，E(A)，Soc(A)分別表示B是A的子模，A的內(nèi)射包，A的基座.文中未指出來源的基本概念和結(jié)果可以在文獻[1，2]中看到.

1 結(jié)果與證明

首先給出NA-內(nèi)射模的定義.

定義1 設A是任意模，B是A的任意Noether子模，若B到模M的任意同態(tài)均可提升為A到M的同態(tài)，則稱M為NA-內(nèi)射模.

由定義知，NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模.

稱模M為右極小內(nèi)射模，如果環(huán)R的任意極小右理想I到M的同態(tài)都可以提升為R到M的同態(tài)[3].顯然NA-內(nèi)射模是極小內(nèi)射模，因此NA-內(nèi)射模是介于內(nèi)射模和極小內(nèi)射模之間的一類模.

受文獻[4]的啟發(fā)，我們給出下面的引理1.該引理在NA-內(nèi)射模的問題考慮中會很有用.

引理1M是NA-內(nèi)射模的充分必要條件,是M包含它的Noether子模的一個內(nèi)射包.

證明 必要性.設A是M的Noether子模，ι是A到M的包含映射，E(A) 是A的內(nèi)射包，ι＇是A到E(A)的包含映射，則存在同態(tài)g：E(A) →M，使得ι=gι＇，但g在A上的限制g∣A=ι，且A在E(A)中本質(zhì)，所以g是單的，故g(E(A))≤M是A的內(nèi)射包.

充分性.設B是任意模A的Noether子模，ι是B到A的嵌入，α是B到M的同態(tài)，則由于α(B) ≤M是Noether的，所以由條件就有E(α(B) )≤M.這樣由E(α(B) )的內(nèi)射性就知存在同態(tài)β:A→E(α(B))，使得α=βι.將β看作是A到M的同態(tài)，則知M是NA-內(nèi)射模.引理證畢.

推論1 設Q是內(nèi)射模，U是Q的Noether子模，則模M是NA-內(nèi)射模的充分必要條件,U到模M的任意同態(tài)均可提升為Q到M的同態(tài).

證明 必要性顯然.對于充分性，設A是M的Noether子模，E(A) 是A的內(nèi)射包，則由引理1的必要性證法可得，E(A)≤M，從而由引理1知，M是NA-內(nèi)射模.

定理1Πi∈IMi是NA-內(nèi)射模當且僅當Mi，i∈I是NA-內(nèi)射模.

證明 用內(nèi)射模相應命題的證法即可得證(可參見文獻[1]或文獻[2]).

由定理1可知，NA-內(nèi)射模的有限直和仍是NA-內(nèi)射模，NA-內(nèi)射模的直和項仍是NA-內(nèi)射模.

定理2 NA-內(nèi)射模的任意直和仍是NA-內(nèi)射模.

證明 設Mi，i∈I，是NA-內(nèi)射模，A是⊕Mi，i∈I的Noether子模，則由A是Noether的可知，有I的有限子集I0，使得A?⊕Mi，i∈I0.由于I0有限，所以⊕Mi是NA-內(nèi)射模.于是由引理1知，A的內(nèi)射包E(A) ?⊕Mi，i∈I0，因此，E(A)?⊕Mi，i∈I.這樣再由引理1就有⊕Mi，i∈I是NA-內(nèi)射模. 證畢.

上面提到內(nèi)射模是NA-內(nèi)射模，而由定理2可知NA-內(nèi)射模不必是內(nèi)射模.

事實上，設K是域，R=Πi∈IKi，Ki=K，I是無限集.在R中以分量的方式定義如下的加法和乘法: 對于(ki) ，(kˊi) ∈R，ki，kˊi∈Ki，(ki) +(kˊi)= (ki+kˊi)，(ki) (kˊi)= (kikˊi)，易檢驗R是一個環(huán).設A=⊕i∈IKi，則顯然AR≤RR. 因Ki=K是域，所以Ki作為自身上的右模，都內(nèi)射.于是由文獻[1]的第5章的習題(11)知，AR是內(nèi)射模的直和，但AR不內(nèi)射.另一方面，由定理2知AR是NA-內(nèi)射模.

用定理2可得到Noether環(huán)的一個特征.

定理3 R是Noether環(huán)的充分必要條件是每一NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模.

必要性.用Baer法則即可得證.

充分性.設⊕i∈IQi是任意內(nèi)射模的直和，則由定理2，⊕i∈IQi是NA-內(nèi)射模，于是由條件，⊕i∈IQi是內(nèi)射的，所以R是Noether環(huán)，定理證畢.

定理4 設R是環(huán)，則有

1) Noether NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模.

2) 有限余生成NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模.

3) 若模M的Noether子模是NA-內(nèi)射模，則M的每一子模是NA-內(nèi)射模.

4) 若非Noether的有限生成模M的極大子模是NA-內(nèi)射模，則M是NA-內(nèi)射模.

證明1) 設M是Noether NA-內(nèi)射模，則由引理1知，M包含其自身的內(nèi)射包E(M)，于是M=E(M)，即M是內(nèi)射模.

2) 設M是有限余生成NA-內(nèi)射模，則Soc(M)是Noether的，因此由引理1就有E(Soc(M)) ≤M，但E(Soc(M)) 在M中本質(zhì)，所以E(Soc(M)) =M，即M是內(nèi)射模.

3) 由1)和引理1即得.

4) 設A是M的Noether子模，則由于M是有限生成的，所以有M的極大子模L，使得A≤L，再由L是NA-內(nèi)射模和引理1即可得，M是NA-內(nèi)射模.定理證畢.

定理5 設I是全序集，Ai，i∈I是NA-內(nèi)射模，且對于i

證明 設L是B的Noether子模，則由于L是有限生成的，所以存在Ai，使得L≤Ai，于是由條件及引理1就有E(L) ≤Ai，所以E(L) ≤B.再由引理1即得B是NA-內(nèi)射模.定理證畢.

下面考慮每個模是NA-內(nèi)射模的環(huán).

定理6 設R是環(huán)，則以下條件等價：

1)R是V-環(huán)，且Noether模有非零基座.

2) 每個模是NA-內(nèi)射模.

3) 每個有限生成模是NA-內(nèi)射模.

4) 每個Noether模是NA-內(nèi)射模.

證明 1)→2).設A是任意模，B是A的任意Noether子模，則由條件B有非零基座，因此存在單模E1≤B.由于R是V-環(huán)，所以E1是內(nèi)射的，故B=E1⊕C，若C為零則結(jié)論已成立，若C不為零,則C仍是Noether的和C的基座非零，因此存在內(nèi)射的單模E2≤C，使得C=E2⊕D. 由此得B= (E1⊕E2)⊕D.若D為零，則結(jié)論已成立.若D不為零,則D仍是Noether的和D的基座非零.反復重復上述過程并注意到B的Noether性，即可得到B是有限個內(nèi)射單模的直和，從而B是內(nèi)射的，即E(B)=B≤A，于是由引理1，A是NA-內(nèi)射模.

2)→3)→4)顯然.

4)→1)由條件，任意單模E是NA-內(nèi)射模，從而由定理4的1)知，E是內(nèi)射的，所以R是V-環(huán).其次設A是任意Noether模，B是A的任意子模，則B也是Noether的.這樣由條件B是NA-內(nèi)射模，從而由定理4的1)知，B是內(nèi)射模，所以B是A的直和項，所以A是半單的，于是A的基座非零.

[1] 卡施 F. 模與環(huán)[M].北京：科學出版社，1994.

[2] Anderson F W, Fuller K R. Rings and categories of modules[M]. New York: Springer-Verlag, 1974.

[3] Nicholson W K, Yousif M F. Mininjective Rings[J]. Journal of algebra, 1997,187:548-578.

[4] Ramamurthi V S. Rangaswamy K M. On finitely injective modules[J]. J Austral Math Soc, 1973,16:239-248.

On NA-injective Modules

BAN Xiu-he, WEI Ru-he

(School of Mathematical and Statistics Sciences, Guangxi Teachers Education University, Nanning, 530023, China)

The concept of NA-injective modules was introduced which was a generalization of injective module in this paper. Let B to be any Noetherian submodule of a right R-module A, M was called a NA-injective module if any homomorphism of B into M extends to one of A into M. Characterizations of NA-injective modules were given, some results concerning the direct products and the direct sums of NA-injective modules are obtained, a NA-injective module which is not injective is given. Noetherian rings, a class of V-rings, are characterized by NA-injective modules.

NA-injective module; Noetherian ring; V-ring

2016-11-02

國家自然科學基金項目(11461010)；廣西科技開發(fā)項目(1599005-2-13)；廣西教育廳科研基金項目(KY2015ZD075).

*

班秀和(1962—)，男，廣西平果人，碩士，主要從事環(huán)論方面的研究.

O153.3

A

1009-2102(2016)04-0005-03