王玉成 劉雄軍 陳澍

1）(南方科技大學(xué)物理系,深圳量子科學(xué)與工程研究院,深圳 518055）

2）(北京大學(xué)物理學(xué)院,國(guó)際量子材料中心,北京 100871）

3）(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué),量子信息與量子物理協(xié)同創(chuàng)新中心,合肥 230026）

4）(中國(guó)科學(xué)院物理研究所,北京凝聚態(tài)物理國(guó)家研究中心,北京 100190)

5）(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院,北京 100049）

6）(量子物質(zhì)科學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100084）

準(zhǔn)周期晶格在冷原子領(lǐng)域被廣泛研究,它使得人們可以在一維或者二維系統(tǒng)里研究擴(kuò)展到安德森局域的轉(zhuǎn)變.2008年,Inguscio研究組在冷原子系統(tǒng)里制備了一維準(zhǔn)周期晶格,并觀測(cè)到了安德森局域化現(xiàn)象,這極大地推動(dòng)了準(zhǔn)周期系統(tǒng)的理論和實(shí)驗(yàn)研究.后來(lái),Bloch研究組在制備的一維和二維準(zhǔn)周期晶格中都觀測(cè)到了多體局域的現(xiàn)象.最近,他們還在準(zhǔn)周期晶格中成功觀測(cè)到遷移率邊以及存在遷移率邊的系統(tǒng)的多體局域現(xiàn)象.這些冷原子實(shí)驗(yàn)推動(dòng)了多體局域以及遷移率邊等方向的研究.準(zhǔn)周期晶格已經(jīng)成為一個(gè)平臺(tái),它對(duì)很多物理現(xiàn)象的影響正在被廣泛研究,并可以嘗試在冷原子實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到這種影響.本文結(jié)合作者的一些相關(guān)工作,對(duì)一維準(zhǔn)周期晶格一些近期的研究進(jìn)行了簡(jiǎn)要綜述,介紹了一些相關(guān)的重要的冷原子實(shí)驗(yàn),討論了準(zhǔn)周期晶格的一些重要性質(zhì),以及它對(duì)一些物理現(xiàn)象(比如拓?fù)鋺B(tài))的影響.

1 引 言

近三十年來(lái),隨著一系列原子的激光冷卻與陷俘技術(shù)的實(shí)現(xiàn)和進(jìn)步[1],人們能夠研究超冷原子氣體中新奇的量子現(xiàn)象.一些關(guān)鍵性的技術(shù),比如菲斯巴赫(Feshbach)共振技術(shù)[2],應(yīng)用到冷原子系統(tǒng)上,人們可以調(diào)節(jié)原子間的有效相互作用.由于超冷原子氣具有高度純凈和容易操控的優(yōu)點(diǎn),成為了理想的量子模擬的平臺(tái),比如人們已經(jīng)成功模擬了費(fèi)米和玻色哈伯德(Hubbard)模型[3],自旋軌道耦合[4,5],拓?fù)淠Ｐ图跋嘧僛6,7],科斯特利茨-索利斯(Kosterlize-Thouless)相變[8],甚至霍金輻射[9]等.所以現(xiàn)在的理論物理學(xué)家提出一個(gè)新的現(xiàn)象時(shí),往往會(huì)考慮怎么在冷原子中模擬這種現(xiàn)象.另外,這些量子模擬不僅僅是驗(yàn)證凝聚態(tài)里的一些已知的結(jié)果,而且通過(guò)引入一些參數(shù)和新的環(huán)境,可以得到一些新的物理現(xiàn)象,這些新的物理現(xiàn)象又推動(dòng)了理論物理的發(fā)展.

在 1980 年,Aubry 和 André研究了一維準(zhǔn)周期系統(tǒng)[10](以下簡(jiǎn)稱(chēng)AA模型).盡管該系統(tǒng)不是隨機(jī)無(wú)序的,但是它仍然沒(méi)有平移對(duì)稱(chēng)性,它具有擴(kuò)展到局域的轉(zhuǎn)變的性質(zhì).此后,對(duì)于該模型以及該模型的一些推廣[11?14]被廣泛研究.2008 年,Roati等[15]在冷原子系統(tǒng)里成功模擬了AA模型,并且觀測(cè)到了安德森局域化的現(xiàn)象.這開(kāi)啟了人們?cè)诶湓酉到y(tǒng)里研究局域化問(wèn)題的新篇章,一系列理論與實(shí)驗(yàn)的成果被發(fā)現(xiàn).同時(shí)AA模型成為了研究其他物理現(xiàn)象的重要平臺(tái),比如在AA模型上加上p波配對(duì)項(xiàng)[16?19],可以用來(lái)研究拓?fù)涑瑢?dǎo)到安德森局域相的轉(zhuǎn)變,在AA模型上加上相互作用[20?22],可以研究熱化相到多體局域相的轉(zhuǎn)變.2015年,Schreiber等[23]在冷原子里制備出了帶有相互作用的AA模型,從而第一次觀測(cè)到多體局域相,這在一定程度上引發(fā)了多體局域研究的熱潮.

本文詳細(xì)介紹一些一維準(zhǔn)周期系統(tǒng)及其應(yīng)用,先介紹AA模型以及它的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)和在其基礎(chǔ)上的一些推廣模型,接著在AA模型上加上相互作用,討論熱化到多體局域的轉(zhuǎn)變,并介紹如何在冷原子實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)多體局域現(xiàn)象,然后介紹AA模型相關(guān)的動(dòng)力學(xué)研究,最后討論準(zhǔn)周期勢(shì)對(duì)拓?fù)涑瑢?dǎo)和拓?fù)浒虢饘俚挠绊?

2 AA模型簡(jiǎn)介及其冷原子實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)

2.1 AA模型簡(jiǎn)介

1958年,美國(guó)物理學(xué)家Anderson[24]研究了無(wú)序晶體中電子的運(yùn)動(dòng),提出了強(qiáng)無(wú)序體系中電子局域化的概念.由于無(wú)序的存在,晶格的周期性被破壞,電子的波函數(shù)不再能擴(kuò)展到整個(gè)晶體中,而是在空間中按照指數(shù)形式衰減,這就是局域態(tài).由于無(wú)序的存在,動(dòng)量不再是描述電子態(tài)的好量子數(shù),因此通常采用緊束縛近似,在瓦尼爾基下進(jìn)行討論.考慮安德森模型其中表示第 i個(gè)格點(diǎn)的態(tài)矢量,表示格點(diǎn)之間的躍遷,是 i 格點(diǎn)的化學(xué)勢(shì),它在范圍內(nèi)隨機(jī)分布.本征態(tài)可寫(xiě)為中是粒子在 i 格點(diǎn)的概率幅.容易得到動(dòng)力學(xué)方程為

對(duì)于一維或二維系統(tǒng),很弱的隨機(jī)無(wú)序就會(huì)使系統(tǒng)變得局域.AA模型是一個(gè)一維準(zhǔn)周期系統(tǒng)[10](也可以稱(chēng)為非公約系統(tǒng)),其哈密頓量為

可以看到(3）式和(4）式有著完全類(lèi)似的形式,這時(shí)稱(chēng)這兩個(gè)方程是對(duì)偶的.對(duì)于固定的和,如果波函數(shù)∑ 是擴(kuò)展的(局域的),其變 到對(duì)偶空間的波函 數(shù)∑ 應(yīng)該是局域的 (擴(kuò)展的).所以這個(gè)系統(tǒng)的擴(kuò)展-局域的轉(zhuǎn)變點(diǎn)是.

為了直觀展示AA模型的擴(kuò)展局域的性質(zhì),下面研究這個(gè)系統(tǒng)的倒參與率(the inverse participation ratio,IPR)和波函數(shù)的分布.倒參與率是一個(gè)最常用的描述系統(tǒng)局域擴(kuò)展性質(zhì)的量[25–27]:系統(tǒng)的第個(gè)本征態(tài),它滿(mǎn)足歸一化條件1.如果一個(gè)態(tài)是擴(kuò)展的,容易驗(yàn)證,當(dāng)時(shí),趨于 0.而對(duì)于局域態(tài),在熱力學(xué)極限下,IPR是一個(gè)有限的非零值.固定躍遷強(qiáng)度和系統(tǒng)尺寸,在圖1中展示了AA模型的基態(tài)的倒參與率隨準(zhǔn)周期勢(shì)強(qiáng)度的變化,這里取的是開(kāi)邊界條件(open boundary condition,OBC).可以看出,IPR 在時(shí)接近于零,在處突變?yōu)橐粋€(gè)有限值,說(shuō)明系統(tǒng)在這一點(diǎn)從擴(kuò)展態(tài)變?yōu)榱司钟驊B(tài).在圖1的左右插圖中,分別展示了和時(shí)系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)的分布,可以看出時(shí)系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)分布在整個(gè)空間,這是擴(kuò)展態(tài)的特征,而時(shí)系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)分布在一個(gè)很小的區(qū)域內(nèi),這是局域態(tài)的分布特征.不止是基態(tài),容易驗(yàn)證其他態(tài)仍然有類(lèi)似的特征.

圖1 基 態(tài) 的 倒 參 與 率 隨 的 變 化 ， 這 里 固 定 和.左 右 的 插 圖 分 別 展 示 了 和 時(shí)系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)的分布Fig.1.IPR of ground states as a function of for this system with and .The left and right insets show the distribution of the ground state withand respectively.

2.2 AA模型的冷原子實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)

由于晶體中存在電子-電子以及電子-聲子的相互作用,所以很難在晶體中直接觀測(cè)到安德森局域化.冷原子系統(tǒng)干凈和可控的特性為直接觀測(cè)到安德森局域現(xiàn)象提供了可能.2008 年,Roati等[15]在冷原子系統(tǒng)中成功模擬了AA模型,并在此基礎(chǔ)上觀測(cè)到了安德森局域態(tài).他們首先在光勢(shì)阱中冷卻得到一團(tuán)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensate),然后通過(guò)菲斯巴赫共振技術(shù)將原子間的相互作用調(diào)到零,最后將其放入一維雙色光晶格中,如圖2所示[15].一維雙色光晶格勢(shì)可以通過(guò)兩束激光以駐波的形式產(chǎn)生,一束激光的波長(zhǎng)為,產(chǎn)生主晶格,另一束波長(zhǎng)為產(chǎn)生弱的次晶它們的形式為[28,29]:

式中矩陣元為

圖2 實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)周期晶格的原理示意圖.J描述的是主晶格最近鄰格點(diǎn)之間的躍遷, 是由次晶格導(dǎo)致的在位能最大的差別Fig.2.Sketch of the quasiperiodic lattice realized in the experiment.J describes the hopping between the nearestneighbor sites of the primary lattice and is the maximum shift of the on-site energy induced by the secondary lattice.

考慮到晶格勢(shì)很深時(shí)瓦尼爾函數(shù)的高度局域化,這里交疊積分只取到了躍遷項(xiàng)的次近鄰部分和次晶格勢(shì)的在位部分.利用和

(9）式最后一項(xiàng)的積分可以寫(xiě)成AA模型中的準(zhǔn)周期勢(shì)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的形式.定義

舍去常數(shù)項(xiàng),易得

因此,得到了AA模型類(lèi)似的哈密頓量

實(shí)驗(yàn)上可以測(cè)量系統(tǒng)的輸運(yùn)性質(zhì)來(lái)研究擴(kuò)展-局域轉(zhuǎn)變:突然撤掉簡(jiǎn)諧勢(shì)讓原子在這個(gè)晶格中運(yùn)動(dòng),然后利用原位吸收成像技術(shù)測(cè)量原子隨時(shí)間的演化.會(huì)發(fā)現(xiàn)在準(zhǔn)周期勢(shì)強(qiáng)度很弱的情況下,系統(tǒng)迅速膨脹;而在準(zhǔn)周期勢(shì)強(qiáng)度很大的情況下,系統(tǒng)基本上沒(méi)有擴(kuò)散發(fā)生.這和前面通過(guò)動(dòng)力學(xué)方程對(duì)安德森模型中擴(kuò)展態(tài)和局域態(tài)的描述是一致的.

3 AA 模型的推廣

3.1 存在遷移率邊的一維準(zhǔn)周期模型

對(duì)于三維系統(tǒng),如果加的無(wú)序強(qiáng)度在某個(gè)范圍內(nèi),系統(tǒng)的能帶中可能會(huì)出現(xiàn)遷移率邊和.滿(mǎn)足的本征值對(duì)應(yīng)的態(tài)是擴(kuò)展的,如果費(fèi)米面在這個(gè)范圍內(nèi),系統(tǒng)就表現(xiàn)出金屬屬性,或者范圍的本征值對(duì)應(yīng)的態(tài)是局域的,如果費(fèi)米面在這個(gè)范圍,系統(tǒng)就表現(xiàn)出絕緣體屬性.通?？梢酝ㄟ^(guò)摻雜、加壓或者加電磁場(chǎng)等方式調(diào)節(jié)費(fèi)米面或遷移率邊的位置,從而使系統(tǒng)可以發(fā)生金屬-絕緣體的轉(zhuǎn)變.

在AA模型之后,科學(xué)家們?cè)诖嘶A(chǔ)上提出幾個(gè)準(zhǔn)周期模型[11?14],這使得可以在一維系統(tǒng)里研究遷移率邊.如哈密頓量(2）式中化學(xué)勢(shì)項(xiàng)寫(xiě)為.可以看出,當(dāng)時(shí),該系統(tǒng)簡(jiǎn)化為AA模型.固定躍遷強(qiáng)度,理論和數(shù)值研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)以及時(shí),這個(gè)系統(tǒng)存在遷移率邊,在能帶的中間(),所有的態(tài)是擴(kuò)展的,在能帶的兩邊(),所有的態(tài)是局域的,是兩個(gè)遷移率邊的位置.當(dāng)時(shí),所有的態(tài)都是局域的.另一種擴(kuò)展是在躍遷項(xiàng)上做文章[13,14].考慮下面一個(gè)緊束縛模型:

3.2 存在遷移率邊的一維準(zhǔn)周期光晶格的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)

最近,Li等[30]和 Lüschen 等[31]在冷原子系統(tǒng)中成功實(shí)現(xiàn)了存在遷移率邊的一維準(zhǔn)周期光晶格

圖3 實(shí)驗(yàn)原理圖.制備的初始 CDW 態(tài)，以及在局域、中間和擴(kuò)展相中，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，分別對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的末態(tài) (a)初態(tài)分布，制備為CDW態(tài)(根據(jù)定義，有 ,);(b)局域態(tài) ( , );(c)中間態(tài)，對(duì)應(yīng)于不同的能量存在局域態(tài)和擴(kuò)展態(tài) ( , );(d)擴(kuò)展態(tài)( , )Fig.3.Schematics of the experiment.Schematic illustration of the initial CDW state and the states reached after time evolution in the localized, intermediate, and extended phase,respectively:(a)Initial state:CDW state ( ,); (b) localized phase( , ); (c) the intermediate phase,extended and localized states coexist at different energies ( , );(d) extended phase( , ).

這個(gè)系統(tǒng)存在三個(gè)相:局域相,擴(kuò)展相和中間相(包含局域態(tài)和擴(kuò)展態(tài)的相).實(shí)驗(yàn)中為了測(cè)得這三個(gè)相,他們制備了一個(gè)電荷密度波(charge density wave,CDW)的初態(tài),如圖 3(a)所示,然后考慮這個(gè)初態(tài)的演化.如果系統(tǒng)中存在局域態(tài),那么初始的CDW的模式將會(huì)存在很長(zhǎng)的時(shí)間,考慮一個(gè)能反映奇偶格點(diǎn)的密度分布差異的量,在很長(zhǎng)時(shí)間的演化后,它仍不等于零,如圖 3(b)和圖 3(c)所示.這里,()表示偶(奇)格點(diǎn)的原子數(shù).如果系統(tǒng)中存在擴(kuò)展態(tài),那么初態(tài)會(huì)往整個(gè)空間擴(kuò)散,因此原子云的總尺寸將變大.引入可以反映這個(gè)變化的量,那么如果系統(tǒng)存在擴(kuò)展態(tài),將大于零,如圖3(c)和圖3(d)所示.如果所有的態(tài)都是局域的,則等于零,如圖 3(b) 所示.如果所有的態(tài)都是擴(kuò)展的,將等于零,如圖 3(d) 所示.如果系統(tǒng)中既存在擴(kuò)展態(tài)又存在局域態(tài),那么在一段時(shí)間演化之后,和都將不為零,如圖 3(c) 所示.在實(shí)驗(yàn)中通過(guò)測(cè)量這兩個(gè)量,證明了這個(gè)系統(tǒng)中中間相的存在,從而間接地說(shuō)明了遷移率邊的存在.

4 存在相互作用的一維準(zhǔn)周期系統(tǒng)

安德森局域化考慮的是單粒子的問(wèn)題,下面加上粒子間的相互作用.相互作用可以影響系統(tǒng)的自能,自能的虛部在一定程度上反映了單粒子激發(fā)的壽命,如果單粒子激發(fā)在有限時(shí)間內(nèi)可衰減,系統(tǒng)是可熱化的,如果單粒子激發(fā)有無(wú)限長(zhǎng)的衰減時(shí)間,系統(tǒng)可穩(wěn)定存在,它是多體局域的,所以相互作用可以影響熱化相和多體局域相之間的轉(zhuǎn)變[32].另外,從動(dòng)力學(xué)角度來(lái)分析一個(gè)封閉的多體系統(tǒng)的初態(tài)在任意長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)會(huì)演化成什么樣的態(tài).根據(jù)初始態(tài)的細(xì)節(jié)信息會(huì)不會(huì)在演化過(guò)程中消失也可以區(qū)分熱化相和多體局域相[33].多體局域的系統(tǒng)在任意長(zhǎng)的時(shí)間演化后都不會(huì)熱化,從動(dòng)力學(xué)上看它保留了初始態(tài)的信息,并且它對(duì)于局域的微擾是不敏感的.多體局域在過(guò)去幾年里被廣泛研究[34?37],它正逐漸成為其他理論的基礎(chǔ),比如時(shí)間晶體(time crystal),就是通過(guò)弗洛凱 (Floquet)周期驅(qū)動(dòng)和多體局域結(jié)合定義的[38].人們第一次在實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到多體局域現(xiàn)象就是在一維的準(zhǔn)周期晶格中[23].下面先討論加相互作用的AA模型的相變[20?22].

4.1 存在相互作用的AA模型

考慮在AA模型中加上近鄰排斥相互作用的費(fèi)米子模型,其哈密頓量為[21]:

4.2 一維準(zhǔn)周期系統(tǒng)中多體局域的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)

實(shí)驗(yàn)上第一次觀測(cè)到多體局域現(xiàn)象的是Schreiber等[23].他們制備的系統(tǒng)是在AA模型上加上在位的相互作用,即

圖4 (a) 隨 的 變 化 .當(dāng) 系 統(tǒng) 尺 寸 為 和 時(shí) 用 的 樣 品 數(shù) 是 ,當(dāng) 時(shí) 用 的 樣 品 數(shù) 是 ,當(dāng) 時(shí)用 的 樣 品數(shù)是 ;(b) 平均 的 糾 纏熵 和 隨 的變化.當(dāng) 和 時(shí) 用 個(gè)樣 品,當(dāng) 時(shí) 用個(gè)樣品,當(dāng) 時(shí)用 個(gè)樣品.相互作用強(qiáng)度始終被固定為 .這里一個(gè)樣品指的是任選一個(gè)初相位 [21]Fig.4.(a) as a function of .Here we use50samples for and ,30samples for ,and20samples for;(b)averaged entanglement entropy and versus .Here we use500samples for and ,100 samples for and 30 samples for .The interaction strength is fixed at .Here a sample is specified by choosing an initial phase [21].

另外,熱化相和多體局域相的糾纏熵隨時(shí)間的變化也明顯不同[44,45].多體局域相對(duì)應(yīng)的糾纏熵隨時(shí)間變化是對(duì)數(shù)增加的,這是既不同于熱化相,也不同于安德森局域態(tài)的性質(zhì).所以也可以在實(shí)驗(yàn)中測(cè)量糾纏熵隨時(shí)間的變化觀測(cè)系統(tǒng)從熱化到多體局域的轉(zhuǎn)變[23].

進(jìn)一步,Bordia等[46]也成功在二維系統(tǒng)中觀測(cè)到多體局域現(xiàn)象.最近,Kohlert等[47]還在已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的有遷移率邊的系統(tǒng)里引入相互作用,并觀測(cè)到多體局域.這些實(shí)驗(yàn)都是在準(zhǔn)周期的系統(tǒng)中完成的,并極大地促進(jìn)了多體局域方面的理論研究.

5 一維準(zhǔn)周期系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)

正如前面提到的,擴(kuò)展態(tài)和局域態(tài)在動(dòng)力學(xué)上會(huì)表現(xiàn)出明顯不同的性質(zhì).下面基于AA模型討論常見(jiàn)的三種動(dòng)力學(xué)方面的研究:系統(tǒng)參數(shù)不變的動(dòng)力學(xué)演化,周期驅(qū)動(dòng)和參數(shù)突變的動(dòng)力學(xué)演化.

5.1 AA模型的動(dòng)力學(xué)演化

圖5 AA 模型中取不同的 時(shí)隨時(shí)間 t的變化的對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)圖,這里固定 ,躍遷強(qiáng)度 ,以及系統(tǒng)尺寸√Fig.5.Log-log plot of the width vs time t for several values of in the AA model with ,and .

另一個(gè)常用來(lái)描述AA模型不同相的動(dòng)力學(xué)演化差異的是初態(tài)的殘存率 (return probability)[53,54],即若假設(shè)初態(tài)是粒子在某一個(gè)格點(diǎn)上,在一段時(shí)間演化之后,研究這個(gè)粒子還待在這個(gè)格點(diǎn)的概率.因?yàn)樵诤竺娴腁A模型的動(dòng)力學(xué)相變中會(huì)詳細(xì)介紹這個(gè)量,所以這里不再贅述.

5.2 周期驅(qū)動(dòng)的準(zhǔn)周期晶格

考慮下面的準(zhǔn)周期勢(shì)是周期驅(qū)動(dòng)的模型[55]:

圖6 固定 和 ,平均信息熵隨周期 的變化.左上角的插圖展示了平均糾纏熵的導(dǎo)數(shù)隨周期 的變化 ,這 里 固 定 (藍(lán) 色 ), (紅 色 ),和(綠色).右下角的插圖展示了平均糾纏熵隨 的變化,這里分別固定 (藍(lán)色), (紅色), (綠色)[55]Fig.6.The mean information entropy as a function offor this system with and .The left up inset shows the derivative of the mean information entropy as a function of with fixed (blue), (red),and (green). The right down inset shows the derivative of the mean information entropy as a function ofwith (blue), (red),and (green)[55].

由于AA模型中不存在遷移率邊,所以可以定義一個(gè)平均的信息熵.圖6展示了這個(gè)平均的信息熵隨驅(qū)動(dòng)周期的變化,這里固定了準(zhǔn)周期勢(shì)的強(qiáng)度.可以看出,隨著周期的增大,這個(gè)平均的信息熵從近似于零的小值變?yōu)橐粋€(gè)非零的有限值,這意味著這個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)從局域態(tài)變?yōu)閿U(kuò)展態(tài).在圖6的插圖中,展示了不同強(qiáng)度的準(zhǔn)周期勢(shì)時(shí),平均信息熵的導(dǎo)數(shù)隨周期的變化.當(dāng),和時(shí),這個(gè)導(dǎo)數(shù) 的 尖 峰 分 別 出 現(xiàn) 在,和處.圖6下方的插圖展示了不同周期時(shí),平均信息熵的導(dǎo)數(shù)隨的變化,可以看出當(dāng),和時(shí),平均信息熵導(dǎo)數(shù)的尖峰分別出現(xiàn)在,和的地方.可以看出,平均信息熵導(dǎo)數(shù)的尖峰位置滿(mǎn)足,這對(duì)應(yīng)于這個(gè)系統(tǒng)從動(dòng)力學(xué)局域到擴(kuò)展的轉(zhuǎn)變點(diǎn).

下面從這個(gè)系統(tǒng)的有效哈密頓量中來(lái)分析這個(gè)轉(zhuǎn)變點(diǎn),

5.3 準(zhǔn)周期晶格中擴(kuò)展-局域轉(zhuǎn)變的動(dòng)力學(xué)相變

圖7 固定系統(tǒng)尺寸 ,平均信息熵隨 和 的變化[55]Fig.7.The mean information entropy versus both andfor the system with [55].

動(dòng)力學(xué)相變最近被廣泛研究[62?65],它擴(kuò)展了我們對(duì)相變的理解.第一次在局域擴(kuò)展的轉(zhuǎn)變中引入動(dòng)力學(xué)相變的概念是在AA模型中[66],即哈密頓量如 (2） 式所示,下面設(shè)作為能量單位.制備一個(gè)初態(tài),使之是哈密頓量的一個(gè)本征態(tài),然后突然改變系統(tǒng)的參數(shù),用哈密頓量描述,研究在一段時(shí)間演化后,初態(tài)的殘存率[67?71]

圖8 取不同值時(shí) Loschmidt echo 的演化.初態(tài)選準(zhǔn)周期勢(shì)強(qiáng)度為 ((a),(b))和 ((c),(d)) 的哈密頓量的基態(tài)[66]Fig.8.Evolution of Loschmidt echo in a long time with different s.The initial state is chosen to be the ground state of the Hamiltonian with ((a),(b))and ((c),(d))[66].

下面對(duì)Loschmidt echo怎么趨于零進(jìn)行定量描述,引入一個(gè)接近于零的小量對(duì)做截?cái)?給定一個(gè)大的時(shí)間間隔,在中,測(cè)量滿(mǎn)足的時(shí)間間隔長(zhǎng)度,定義為.相當(dāng)于引入了一個(gè)勒貝格測(cè)度(Lebesgue measure)[66].為了方便,研究.固定,在圖 9(a)中,展示了取不值同時(shí)(,,和),隨的變化.這里的初 態(tài) 仍 然 是 選 系 統(tǒng) 的 基 態(tài) .可 以 看 出,在和時(shí) 的 表 現(xiàn) 確 實(shí) 不 同 .當(dāng)時(shí),總是零,但是過(guò)了轉(zhuǎn)變點(diǎn)后,它隨著的變大突然增大到一個(gè)有限的非零值.盡管這個(gè)非零值會(huì)依賴(lài)于截?cái)嗟牡拇笮?但是這種在轉(zhuǎn)變點(diǎn)突變的性質(zhì)不會(huì)隨著截?cái)嗟牟煌淖?

6 準(zhǔn)周期勢(shì)對(duì)系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)的影響

最近幾十年,拓?fù)鋺B(tài)(拓?fù)浣^緣體、拓?fù)涑瑢?dǎo)體和拓?fù)浒虢饘?的發(fā)展是凝聚態(tài)發(fā)展的一個(gè)重要的方向[72?75].對(duì)拓?fù)湎嘧兊拿枋龀隽死实缹?duì)稱(chēng)性破缺的理論,加深了我們對(duì)凝聚態(tài)的認(rèn)識(shí).如果系統(tǒng)是周期的,可以通過(guò)調(diào)節(jié)躍遷強(qiáng)度的相對(duì)大小來(lái)誘導(dǎo)拓?fù)浜头峭負(fù)渲g的轉(zhuǎn)變[76,77].在開(kāi)邊界條件下,這個(gè)轉(zhuǎn)變會(huì)對(duì)應(yīng)于邊緣態(tài)的出現(xiàn)或消失;在周期邊界條件下,這個(gè)轉(zhuǎn)變可以計(jì)算拓?fù)洳蛔兞縼?lái)描述,這個(gè)不變量在實(shí)驗(yàn)上可以通過(guò)索利斯泵浦(Thouless Pumping)來(lái)測(cè)量[78?81].如果系統(tǒng)中存在無(wú)序或者準(zhǔn)周期勢(shì),那么一個(gè)自然且有趣的問(wèn)題是它們會(huì)對(duì)系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)產(chǎn)生什么影響.下面研究在一維p波超導(dǎo)鏈[82]和外爾半金屬[83?85]中增加準(zhǔn)周期勢(shì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響.

圖9 固定系統(tǒng)參數(shù) , 和 時(shí) 隨 的變 化:(a) 不 同的顏色對(duì)應(yīng)不同的 值,這里的初態(tài)是初始哈密頓量的基態(tài);(b)選取不同的初態(tài), 表示初始哈密頓量的第 n個(gè)本征態(tài).在 處,可以清晰地看到一個(gè)相邊界.這里固定 [66]Fig.9.The behavior of versus for the system with , and :(a)Different colors correspond to different s and the initial state is chosen to be the ground state of the initial Hamiltonian;(b)different choice of initial state with standing for the eigenstates of the initial Hamiltonian .A clear boundary can be seen at .Here we choose [66].

6.1 準(zhǔn)周期勢(shì)對(duì)一維p波超導(dǎo)鏈的影響

在一維p波超導(dǎo)鏈上加上準(zhǔn)周期勢(shì)[16,18,19],討論其影響.系統(tǒng)的哈密頓量為

這個(gè)哈密頓量可以用波戈留波夫-德熱納變換 (Bogoliubove-de Gennes(BDG)transformation)[16,89]來(lái)對(duì)角化:

圖10 (a)固定兩個(gè) p 波配對(duì)強(qiáng)度 和時(shí)，MIPR隨準(zhǔn)周期勢(shì)強(qiáng)度 的變化，這里用的系統(tǒng)尺寸是 ;(b)系統(tǒng)隨 p 波配對(duì)強(qiáng)度 和準(zhǔn)周期勢(shì)強(qiáng)度 變化的相圖，I:擴(kuò)展相，II:臨界相，III:局域相.這里固定Fig.10.(a) MIPR as a function of the incommensurate potential strength at two p-wave pairing strengthand .Here use ;(b) phase diagram of this system with a p-wave pairing strengthand incommensurate potential strength .I:extended phase,II:critical phase and III:localized phase.Here fix.

6.2 準(zhǔn)周期勢(shì)對(duì)外爾半金屬的影響

考慮下面的可在冷原子中實(shí)現(xiàn)的外爾半金屬模型的哈密頓量[90]:

圖11 (a)在開(kāi)邊界條件下,固定 和 時(shí)系統(tǒng)的能譜;(b),(c) 不同的 值時(shí)最低激發(fā)模的 ((b)) 和 ((c)) 的分布[16]Fig.11.(a)Energy spectra of this system with and under OBC.The distributions of (b)and (c)for the lowest excitation with different [16].

這是下帶所有本征態(tài)的IPR的平均.MIPR可以給出下帶所有填充態(tài)的擴(kuò)展到局域轉(zhuǎn)變的信息.圖12(a)和圖12(b)分別展示了第個(gè)本征態(tài)的IPR 和 MIPR 作為和的函數(shù),這里取.從圖中可以看出,在附近的態(tài)是擴(kuò)展的,而其他區(qū)域的態(tài)在方向已經(jīng)變得局域,也就是說(shuō)附近的態(tài)在方向更難變得局域,即需要更大的才能使外爾點(diǎn)附近的態(tài)變得局域.圖12(c)和圖12(d)分別刻畫(huà)了固定時(shí)第個(gè)本征態(tài)的IPR和MIPR作為和的函數(shù).圖 12(e)和圖 12(f)展示了固定時(shí)第個(gè)本征態(tài)的IPR和MIPR作為和的函數(shù).從這些圖中可以看出在,>時(shí)開(kāi)始有本征態(tài)在方向變得局域,而動(dòng)量在附近的本征態(tài)在時(shí)才由擴(kuò)展變?yōu)榫钟?從(40)式出發(fā),可以直觀地理解這一現(xiàn)象.A和B子格之間的有效躍遷強(qiáng)度大小依賴(lài)于和.A和B子格間的躍遷是在平面內(nèi),其躍遷強(qiáng)度越大,粒子在方向的運(yùn)動(dòng)就會(huì)更容易變得局域,反之,平面內(nèi)的躍遷強(qiáng)度越小,則方向的運(yùn)動(dòng)變得局域所需要的就越大.當(dāng)和時(shí),從(40)式中可以看出,兩個(gè)子格間的有效躍遷強(qiáng)度是零,這時(shí)粒子在方向的運(yùn)動(dòng)發(fā)生擴(kuò)展到局域的轉(zhuǎn)變所需要的最大,而且可以看出這時(shí)這個(gè)模型可以簡(jiǎn)化為AA模型,所以時(shí)所有方向的本征態(tài)變成局域,這和我們的數(shù)值結(jié)果是一致的.

為了研究系統(tǒng)的費(fèi)米面隨著準(zhǔn)周期勢(shì)增大的變化,下面數(shù)值計(jì)算態(tài)密度 (density of states,DOS),其定義為

圖12 第N個(gè)本征態(tài)的IPR((a))和 MIPR((b))隨 和 的 變 化 ,這 里 固 定 ;第 N 個(gè) 本 征 態(tài) 的 IPR((c))和MIPR((d))隨 和 的變化,這里固定 ;第 N 個(gè)本征態(tài)的 IPR((e)) 和 MIPR((f))作為 和 的函數(shù),這里固定 .其他參數(shù)是 和 [91]Fig.12.IPR((a))and MIPR((b))as a function of and with fixed ;IPR((c))and MIPR((d))as a function of and with fixed ;IPR((e))and MIPR((f))as a function of and with fixed .The lattice size is and

圖13 (a)不同晶格尺寸 時(shí), 隨 的變化,這里固定 ;(b) 固定 ,取不同的準(zhǔn)周期勢(shì)強(qiáng)度 時(shí)系統(tǒng)的態(tài)密度隨能量的變化[91]Fig.13.(a) versus for different lattice size with fixed ;(b)DOS with as a function of energy for various values of incommensurate potential strength [91].

最近,人們還研究了在外爾半金屬的三個(gè)方向上都加上準(zhǔn)周期勢(shì)[96]以及在節(jié)鏈(nodal-link)半金屬的一個(gè)方向上加上準(zhǔn)周期勢(shì)[97,98]時(shí)系統(tǒng)發(fā)生的相變,都得到了一些有趣的結(jié)果.

7 總結(jié)與展望

當(dāng)一個(gè)新的物理現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)的時(shí)候,一個(gè)自然而有趣的問(wèn)題就是這種物理現(xiàn)象能否被無(wú)序(或準(zhǔn)周期勢(shì))輕易地破壞,比如前面提到的準(zhǔn)周期勢(shì)對(duì)拓?fù)涑瑢?dǎo)體相和拓?fù)浒虢饘傧嗟挠绊?所以對(duì)無(wú)序(或準(zhǔn)周期勢(shì))的研究具有持久的生命力.在一維系統(tǒng)或者冷原子系統(tǒng)中,準(zhǔn)周期勢(shì)的優(yōu)點(diǎn)顯得尤為突出:一方面它本身具有很好的性質(zhì),比如可解析得到擴(kuò)展到局域的轉(zhuǎn)變點(diǎn)等,使得對(duì)這類(lèi)模型本身的研究就很有意義,如文中提到的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究;另一方面,這種勢(shì)在冷原子實(shí)驗(yàn)中更容易實(shí)現(xiàn),因此正如文中提到的,第一次實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到準(zhǔn)周期勢(shì)導(dǎo)致的局域轉(zhuǎn)變,第一次實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到多體局域,第一次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證遷移率邊的存在等等都是在冷原子中實(shí)現(xiàn)的準(zhǔn)周期勢(shì)的晶格中完成的.正是因?yàn)樵诶湓又袑?shí)現(xiàn)了很多與準(zhǔn)周期勢(shì)有關(guān)的物理現(xiàn)象,反過(guò)來(lái)又推動(dòng)了這方面的理論研究.相信在將來(lái),準(zhǔn)周期勢(shì)會(huì)被應(yīng)用到更多的領(lǐng)域,會(huì)帶來(lái)更多有趣的物理現(xiàn)象.本文主要涉及了準(zhǔn)周期勢(shì)帶來(lái)的局域轉(zhuǎn)變方面的工作,實(shí)際上當(dāng)體系處于擴(kuò)展態(tài)時(shí)在準(zhǔn)周期格子系統(tǒng)中也展示了豐富的拓?fù)湎?有興趣的讀者可以參考相關(guān)的文獻(xiàn)[77,99–101].