☉廣東省廣州市花都區(qū)炭步鎮(zhèn)炭步初級中學(xué) 湯妙娟

新定義考題是目前各地中考、期中、期末考試的熱點(diǎn)題型，也在各級復(fù)習(xí)備考活動中占據(jù)重要位置，但是新定義考題的類型是豐富多樣的，其中北京市中考引領(lǐng)下的一類涉及隱圓、動圓的新定義考題風(fēng)格獨(dú)特，體現(xiàn)了少算多思、構(gòu)思要求高等特點(diǎn)，值得關(guān)注.本文結(jié)合北京海淀區(qū)2018年11月九上期中卷一道新定義考題，談?wù)勅绾螄@一道新定義考題開展“一題一課”的教學(xué)設(shè)計(jì)，供分享和研討.

一、新定義考題及思路解析

考題：（2018年11月北京海淀區(qū)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是x軸外一點(diǎn)，若平面內(nèi)的點(diǎn)B滿足：線段AB的長度與點(diǎn)A到x軸的距離相等，則稱點(diǎn)B是點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”.

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P1（2，2）、P2（1，-4）、

（2）若點(diǎn)M（1，2）和點(diǎn)N（1，8）是點(diǎn)A的兩個(gè)“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

思路解析：（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出草圖，如圖1，容易求出AP1=AP3=OA=2，所以點(diǎn)P1、P3是點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”.從“結(jié)構(gòu)”上看，可以作出一個(gè)半徑為2的圓A，此時(shí)圓A恰與x軸相切，并且點(diǎn)P1、P3恰在圓A上.

圖1

圖2

（2）先構(gòu)造圖2分析，MN//y軸，且MN=6，結(jié)合M、N都是點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”，可知點(diǎn)A應(yīng)該在線段MN的垂直平分線上，同時(shí)點(diǎn)A到x軸的距離也與AM、AN相等，可構(gòu)造圓A與x軸相切，且點(diǎn)M、N恰在圓A上，此時(shí)圓A的半徑為5.構(gòu)造直角三角形AMH，利用勾股定理可求出AH=4，于是點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，5）.根據(jù)對稱性，可知在第二象限有另一點(diǎn)A′與A關(guān)于直線MN對稱，也是符合要求的，即A′（-3，5）.綜上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，5）或（-3，5）.

（3）先作出圖3進(jìn)行分析，此時(shí)點(diǎn)M到x軸的距離為MH，點(diǎn)M到圓上一點(diǎn)的距離的最小值是MN，連接MT交圓T于N，此時(shí)MN小于MH.可以調(diào)整N點(diǎn)的位置使得MH=MN，這樣就符合“等距點(diǎn)”要求.

圖3

圖4

圖5

圖6

接下來構(gòu)造圖4，這種圖形位置情況下，點(diǎn)M到圓上一點(diǎn)的最小距離MN大于MH的長，不符合“等距點(diǎn)”要求.類似的，構(gòu)造圖5，當(dāng)圓到了x軸下方，與x軸無交點(diǎn)時(shí)，MN一定大于MH，也不符合“等距點(diǎn)”要求.

一個(gè)臨界狀態(tài)就是當(dāng)圓心T在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，圓T與x軸相切的位置關(guān)系，即t>-2.（注意，由于x>0，所以

再構(gòu)造圖6，分析出另一臨界狀態(tài)，當(dāng)△TOM恰構(gòu)成等邊三角形時(shí)，此時(shí)MN=MH.結(jié)合OT=OM=TM=t，于是MN=t-2，而在Rt△OMH中，MH=0.5t.當(dāng)t-2=0.5t，即t=4時(shí)，相應(yīng)的求出該等邊三角形邊長為4，滿足題意.故t≤4.

綜上，-2

解后反思：從上述求解來看，關(guān)鍵是理解新定義“等距點(diǎn)”的圖形結(jié)構(gòu)，從第（1）問開始，就會有一個(gè)隱性的圓貫穿問題探究的全過程，前兩問中的圓都是一個(gè)“確定”的圓，位置固定，而第（3）問中的圓是一個(gè)動圓，其圓心在y軸上上下平移，能否想清圓在上下平移過程中的兩處臨界位置成為解題的難點(diǎn)與關(guān)鍵所在.

二、圍繞考題設(shè)計(jì)的解題微教學(xué)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 熟悉定義

給出“等距點(diǎn)”定義后，教師可結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，舉例幫助學(xué)生理解，然后安排學(xué)生在小組內(nèi)互相舉例，加強(qiáng)對定義的理解.然后給出以下小問：

問題1：若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），判斷點(diǎn)B（2，2）、C（1，-4）是否為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”，并說明理由.

問題3：請判斷E（1，4）是否為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”.如果是，請說明理由；如果不是，能否將點(diǎn)E適當(dāng)平移，使之成為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”？

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 初步運(yùn)用

例1 若點(diǎn)M（1，2）和點(diǎn)N（1，8）是點(diǎn)A的兩個(gè)“等距點(diǎn)”，

（1）根據(jù)新定義，有人認(rèn)為點(diǎn)A一定在直線y=5上，你覺得這種判斷正確嗎？說說你的理由.

（2）小睿指出，點(diǎn)M、N應(yīng)該同時(shí)在半徑為5的圓上，你覺得有道理嗎？

（3）根據(jù)對稱性，點(diǎn)A應(yīng)該有幾種不同的位置？結(jié)合以上分析，求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：通過幾個(gè)鋪墊式問題，有效化解了考題第（2）問的難點(diǎn)與解題障礙，想清以上3個(gè)關(guān)鍵步驟，就能口算得解．

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 挑戰(zhàn)難題

（1）當(dāng)t=1時(shí)，畫出圖形，并在圖形中找出滿足條件的一組點(diǎn)M、N.

（2）當(dāng)t=5時(shí)，以O(shè)T為一邊作等邊三角形OTP，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）當(dāng)t=-3時(shí)，能否找到符合要求的點(diǎn)M、N？結(jié)合圖形進(jìn)行分析說明.

（4）直接寫出t的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：為了讓學(xué)生能想到、想清兩處臨界位置，設(shè)計(jì)了（1）~（3）的鋪墊式問題，為的是使學(xué)生學(xué)會分析，數(shù)形結(jié)合，讓圓T動起來，逐漸逼近問題的兩種臨界位置.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 變式再練

變式題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是x軸外一點(diǎn)，若平面內(nèi)的點(diǎn)B滿足：線段AB的長度與點(diǎn)A到x軸的距離相等，則稱點(diǎn)B是點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”.

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)P（13，2）、P（22，6）、）中，點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”是________.

（2）若點(diǎn)M（1，2）和點(diǎn)N（1，6）是點(diǎn)A的兩個(gè)“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

三、進(jìn)一步的思考

1.深刻理解新定義考題，需要想清新定義的本質(zhì)

新定義問題往往都是基于初中階段所學(xué)過的一些概念發(fā)展而來的，這時(shí)結(jié)合新定義所舉的圖形或例子，想清辨明新定義的本質(zhì)所在，新定義所對應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)或某種基本圖形，是后續(xù)問題求解的關(guān)鍵.事實(shí)上，這也是我們在概念教學(xué)時(shí)應(yīng)該注意的一個(gè)薄弱點(diǎn)，即章建躍教授所批判的“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意，大量練習(xí)”式的數(shù)學(xué)概念教學(xué)對學(xué)生理解數(shù)學(xué)造成的“傷害”.像上文新定義考題第（3）問的本質(zhì)就是圓T（半徑為2）在y軸上上下平移，尋找兩個(gè)位置符合題意，相應(yīng)找到兩個(gè)臨界值.

2.開展新定義考題教學(xué)，需要預(yù)設(shè)鋪墊式問題

新定義考題的教學(xué)不能只是拿著一道題就從前講到后，而要對試題的呈現(xiàn)方式做出必要的變式改編，上面我們給出的就是通過分解步驟，預(yù)設(shè)鋪墊式問題，以問題串的方式推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程，這需要教師在課前精心準(zhǔn)備，特別是教師需要具備一定的命題改編能力.在預(yù)設(shè)鋪墊式問題時(shí)，還要注意貼近原考題的設(shè)問方向，不能離“題”太遠(yuǎn)，偏離原設(shè)問的設(shè)問或變式不宜出現(xiàn).講評最后，為了檢測學(xué)生的理解情況，還可對原考題整體上進(jìn)行簡單的變式改編，如上文課例中的環(huán)節(jié)（四），就是針對原考題對各個(gè)小問進(jìn)行了簡單的數(shù)字或符號的變式，并沒有破壞原題的設(shè)問本質(zhì)與問題結(jié)構(gòu)，側(cè)重考查學(xué)生對考題的掌握程度.