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        不可忽視的“定義域”

        2019-03-14 08:49:54蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校孫龍華
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年3期
        關(guān)鍵詞:偶函數(shù)錯(cuò)因增函數(shù)

        ☉蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 孫龍華

        函數(shù)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué),在函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域這三大要素中,定義域是函數(shù)的基礎(chǔ),我們?cè)诮鉀Q函數(shù)問(wèn)題時(shí),應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域.一般而言,函數(shù)的定義域并不難求,正因如此,許多學(xué)生在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí),往往會(huì)忽視對(duì)函數(shù)定義域的求解,從而解錯(cuò)函數(shù)問(wèn)題,而且這種忽略定義域的粗心大意的壞習(xí)慣,會(huì)給他們今后函數(shù)的學(xué)習(xí)帶來(lái)很大的隱患.本文結(jié)合幾類學(xué)生錯(cuò)解的函數(shù)題目,談?wù)劧x域在函數(shù)問(wèn)題中的重要性.

        一、“判斷同一函數(shù)”中的定義域

        例1判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù):

        學(xué)生錯(cuò)解:①因?yàn)樗裕╢x)與g(x)為同一函數(shù).②因?yàn)?,所以(fx)與g(x)為同一函數(shù).

        錯(cuò)因分析:學(xué)生錯(cuò)解過(guò)程中忽視了對(duì)函數(shù)f(x)的定義域的求解,這樣在對(duì)函數(shù)f(x)解析式變形時(shí),沒(méi)有實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化,導(dǎo)致錯(cuò)解.

        解:①因?yàn)閤+1≥0且x-1≥0,x≥1,所以f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),又x2-1≥0,所以x≥1或x≤-1,g(x)的定義域?yàn)閤∈(-∞,-1]∪[1,+∞).因?yàn)閒(x)與g(x)定義域不同,故f(x)與g(x)不是同一函數(shù).

        ②同理,f(x)定義域?yàn)椋?∞,1)∪(1,+∞),g(x)的定義域?yàn)镽,定義域不同,故f(x)與g(x)不是同一函數(shù).

        點(diǎn)評(píng):判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí),必須要對(duì)這兩個(gè)函數(shù)的定義域、解析式和值域進(jìn)行判斷,這三個(gè)要素都相同的函數(shù),才是同一函數(shù).當(dāng)然,由于定義域、解析式相同的函數(shù),其值域肯定相同,所以一般我們只需判斷函數(shù)的定義域和解析式是否相同即可.本例中學(xué)生忽視了對(duì)定義域的求解,所以誤認(rèn)為是同一函數(shù).

        二、“求解析式”中的定義域

        例2若,求(fx)的解析式.

        學(xué)生錯(cuò)解:令,則x=(t-1)2,代入原式有(ft)=(t-1)2+2(t-1),所以f(t)=t2-1,故f(x)=x2-1.

        錯(cuò)因分析:換元法是求函數(shù)解析式的最基本的方法之一,本題學(xué)生采用了換元法來(lái)求函數(shù)f(x)的解析式,其思路是正確的,但是學(xué)生在換元的時(shí)候,沒(méi)有注意到新元的取值范圍,即函數(shù)f(t)=t2-1的定義域,導(dǎo)致出現(xiàn)了錯(cuò)誤.

        解法1:(換元法)令,則x=(t-1)2且t≥1,代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1),其中t≥1,整理得,故

        解法2:(配湊法)因?yàn)橛钟?,?/p>

        點(diǎn)評(píng):我們?cè)谇蠛瘮?shù)解析式時(shí),經(jīng)常會(huì)用到換元法,換元時(shí),一定不能忘記新元的取值范圍.因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)即使解析式相同,倘若定義域不同,那么這兩個(gè)也是不同的函數(shù).

        三、“求值域”中的定義域

        例3求函數(shù)的值域.

        學(xué)生錯(cuò)解:令,則x=t2+1,故原函數(shù)可化為y=t2+1+t,即,所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>

        錯(cuò)因分析:此題學(xué)生的解題思路是正確的,問(wèn)題出在換元之后的新函數(shù)y的定義域上,學(xué)生在換元的時(shí)候,忽視了新元t的取值范圍,這就導(dǎo)致轉(zhuǎn)化之后的新函數(shù)y=t2+t+1的定義域錯(cuò)誤,從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤.

        解:令則x=t2+1且t≥0,則原函數(shù)可化為y=,易知函數(shù)y在區(qū)間[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),所以當(dāng)t=0時(shí),函數(shù)y有最小值為y=1,所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>

        點(diǎn)評(píng):函數(shù)的定義域決定了函數(shù)的值域,所以當(dāng)我們求函數(shù)值域的時(shí)候,應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域,而換元法求值域,其本質(zhì)是利用換元法求函數(shù)的解析式,只不過(guò)在換元時(shí)切不可忘記對(duì)新元取值范圍的討論.

        四、“判斷奇偶性”中的定義域

        例4判斷函數(shù)的奇偶性.

        學(xué)生錯(cuò)解:因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù).

        錯(cuò)因分析:學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性的定義掌握得不夠清晰,偶函數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么稱函數(shù)f(x)是偶函數(shù),通過(guò)對(duì)偶函數(shù)定義的分析,我們發(fā)現(xiàn)若x∈A,則必有-x∈A,因此偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是判斷偶函數(shù)的前提條件,而這位學(xué)生并沒(méi)有對(duì)函數(shù)的定義域加以求解,從而導(dǎo)致了錯(cuò)解.

        解:因?yàn)?-x2≥0且x2-1≥0,所以x∈{1,-1},f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,此時(shí),函數(shù)可化為f(x)=0,滿足f(-x)=f(x)=-f(x),故函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

        點(diǎn)評(píng):由函數(shù)奇偶性的定義,我們不難發(fā)現(xiàn),判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性要從兩個(gè)方面去入手:①定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②f(-x)與f(x)的關(guān)系.另外,求解出定義域之后,要重新考查函數(shù)解析式是否可以化簡(jiǎn),然后再去判斷,萬(wàn)萬(wàn)不能不考慮定義域,而直接去判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,這樣極易帶來(lái)錯(cuò)誤的判斷.

        五、“單調(diào)性”中的定義域

        例5求函數(shù)y=log2(x2-2x-3)的單調(diào)增區(qū)間.

        學(xué)生錯(cuò)解:函數(shù)y=log2(x2-2x-3)可以看成由函數(shù)y=log2t與t=x2-2x-3復(fù)合而成,因?yàn)楹瘮?shù)t=x2-2x-3在區(qū)間(-∞,1)上為單調(diào)減函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),且函數(shù)y=log2t為定義域上的單調(diào)增函數(shù),故根據(jù)復(fù)合函數(shù)的同增異減的原則,原函數(shù)y=log2(x2-2x-3)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞).

        錯(cuò)因分析:因?yàn)楹瘮?shù)t=x2-2x-3是嵌入到對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2t中的真數(shù)位置,故要滿足t=x2-2x-3>0,實(shí)際上也就是要先求函數(shù)y=log2(x2-2x-3)的定義域,而學(xué)生并沒(méi)有這么做.

        解:先求出函數(shù)y=log2(x2-2x-3)的定義域,即解不等式x2-2x-3>0,得到x<-1或x>3,所以函數(shù)y=log2(x2-2x-3)的定義域?yàn)閧x|x<-1或x>3},此外,函數(shù)y=log2(x2-2x-3)可以看成由函數(shù)y=log2t與t=x2-2x-3復(fù)合而成,因?yàn)楹瘮?shù)t=x2-2x-3在區(qū)間(-∞,1)上為單調(diào)減函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),且函數(shù)y=log2t為定義域上的單調(diào)增函數(shù),故根據(jù)復(fù)合函數(shù)的同增異減的原則,再結(jié)合{x|x<-1或x>3},得原函數(shù)y=log2(x2-2x-3)的單調(diào)增區(qū)間為(3,+∞).

        點(diǎn)評(píng):因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間,所以求任何一個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),都需要先求出這個(gè)函數(shù)的定義域,特別是在求與對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),學(xué)生更容易忽視對(duì)定義域的考慮,這點(diǎn)必須強(qiáng)調(diào).

        六、“解不等式”中的定義域

        例6求不等式的解集.

        學(xué)生錯(cuò)解:因?yàn)椋杂忠驗(yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),所以,所以,所以不等式的解集為

        錯(cuò)因分析:由于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)閤∈(0,+∞),所以中應(yīng)有2-x>0,即x<2,學(xué)生并沒(méi)有注意到這一限制.

        解:因?yàn)?,所以又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),所以不等式的解集為

        點(diǎn)評(píng):求解與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的不等式時(shí),不要忘記真數(shù)大于0這個(gè)限制條件,否則容易造成錯(cuò)解.

        函數(shù)的三大要素:定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域,定義域作為我們研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)碰到的第一個(gè)問(wèn)題,也是最基礎(chǔ)的問(wèn)題,它直接影響著后續(xù)我們對(duì)函數(shù)解析式、值域以及函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究,函數(shù)的定義域是解決所有函數(shù)問(wèn)題時(shí)都必須優(yōu)先考慮的先決條件,因此,我們教師要教育學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)一定要養(yǎng)成優(yōu)先考慮函數(shù)定義域的習(xí)慣,這樣才不至于在函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)中犯有關(guān)定義域方面的低級(jí)錯(cuò)誤,當(dāng)然,隨著函數(shù)學(xué)習(xí)的不斷深入,學(xué)生一定會(huì)有越來(lái)越深刻的體會(huì).W

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