☉江蘇省張家港市樂余高級中學(xué) 趙 鈺

如果把一個(gè)具體的理論應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程當(dāng)中，就會(huì)發(fā)現(xiàn)理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐之間能夠有很好的關(guān)聯(lián)性.圖示理論在對很多學(xué)習(xí)理論的解釋上有非常重要的作用，特別是在數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中，圖示理論在幫助數(shù)學(xué)定理的理解、概念的把握以及問題的分析方面都有重要的作用.它能夠使教師對學(xué)生的知識掌握情況更加的了解.數(shù)學(xué)教師一直都非常地重視將圖示理論應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程當(dāng)中.圖示理論的應(yīng)用在進(jìn)行課程改革的過程中一直沒有進(jìn)行過很大的改變，仍保持著其原有的色彩.

一、圖示理論的概念

圖示這一概念的發(fā)展有一定的歷史過程，大部分人將圖示理解為在腦海中已經(jīng)形成的固有的知識結(jié)構(gòu)，但是有一些人認(rèn)為圖示是固有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（與上述所說的知識結(jié)構(gòu)不同），還有一部分人對于圖示的理解是：圖示不是知識結(jié)構(gòu)，而是對經(jīng)驗(yàn)的組合.雖然這些理解存在一些偏差，但是這些對于圖示的理解仍有相似之處，就是圖示可以視為在腦海中對已經(jīng)具備的經(jīng)驗(yàn)或者知識的組合［1］.

著名的心理學(xué)家皮亞杰對圖示的探索非常的深入，所以通常會(huì)將皮亞杰理論叫做圖示理論.在這一理論當(dāng)中，學(xué)習(xí)的發(fā)生是以圖示為基礎(chǔ)的，學(xué)習(xí)的過程主要是由順應(yīng)、圖示、同化以及平衡四個(gè)部分組成的.

在進(jìn)行課程改革之后，有爭議的部分就是理論支柱方面，但是在教學(xué)的過程中，構(gòu)建主義還是具有很大的應(yīng)用.構(gòu)建主義對于學(xué)生原先積累的知識以及經(jīng)驗(yàn)有著較高的要求，這一點(diǎn)與圖示理論非常相似，所以很多學(xué)者認(rèn)為構(gòu)建主義可以看成圖示理論的一種發(fā)展，也可以看成一種重要的學(xué)習(xí)方式.

二、圖示理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

圖示理論在教學(xué)過程中有著廣泛的應(yīng)用，比如，在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能夠憑借原先的經(jīng)驗(yàn)來對概念進(jìn)行理解［2］.

以蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1中第二章“圓錐曲線”這一概念的學(xué)習(xí)為例，在進(jìn)行學(xué)習(xí)認(rèn)識之前，老師首先要講解圓錐曲線的由來：用一個(gè)平面采取不同的方式去截一個(gè)圓錐，就會(huì)得到不同的曲線，因此就產(chǎn)生了雙曲線、橢圓以及拋物線的概念.在實(shí)際的教學(xué)過程中可以發(fā)現(xiàn)，雖然在此之前學(xué)生在生活中會(huì)對這些概念有一定的了解，但是之前的這些圖示在現(xiàn)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的時(shí)候不能夠有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，因?yàn)檫@三種曲線的形成，都是需要通過兩個(gè)定點(diǎn)，或者一個(gè)點(diǎn)以及一條直線之間的關(guān)系來定義，而這種方法比較難理解［3］.比如，學(xué)生之前對于拋物線的理解就是一個(gè)物體拋出去形成的軌跡，但是如果將拋物線定義為到一個(gè)定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，那么對于學(xué)生的理解來講就比較的困難了，這就是概念建構(gòu)的復(fù)雜性.

在運(yùn)用圖示理論進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)可以分成以下幾個(gè)步驟：

首先，讓學(xué)生自己羅列出對于橢圓以及雙曲線的知識的理解.這種做法可以讓圖示更加地清晰.第二步，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)采用動(dòng)畫表現(xiàn)的方式將平面與圓錐進(jìn)行相切.

圖1

當(dāng)截面位置平行于圓錐軸線時(shí)，所成截交線就是雙曲線，如圖1所示；當(dāng)截面位置傾斜于圓錐軸線時(shí)，所成截交線就是橢圓，如圖2所示；當(dāng)截面位置平行于圓錐一條母線時(shí)，所成截交線就是拋物線，如圖3所示；在演示之后進(jìn)行總結(jié)歸納，這個(gè)環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生以小組形式自行歸納.

第三步，利用直線與定點(diǎn)之間的距離條件，對這三種曲線的概念進(jìn)行重新理解.最后，對這兩種認(rèn)識方法以及方式進(jìn)行對比比較，建立新的圖示.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中存在的另一個(gè)重要內(nèi)容就是對于問題的解決，根據(jù)圖示理論來看，學(xué)生要會(huì)運(yùn)用自己已經(jīng)建立起來的圖示去解決新的問題.在進(jìn)行數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)過程中，一些習(xí)題是具有生活背景的，那么，對于學(xué)生的圖示是一個(gè)考驗(yàn)的過程.因此教師在進(jìn)行鞏固復(fù)習(xí)的時(shí)候，需多應(yīng)用與生活息息相關(guān)的例題，來鍛煉學(xué)生運(yùn)用圖示解決實(shí)際問題的能力.

例1根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實(shí)情況，一般卡車高3m，寬1.6m.現(xiàn)要設(shè)計(jì)橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持距中線0.4m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為am，求能使卡車安全通過時(shí)a的最小正整數(shù)值.

解：如圖4所示，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.由題意可得拋物線的方程為

取x=1.6+0.4=2，代入拋物線方程得

由題可知，y>3，即

又因?yàn)閍>0，所以a2-12a-16>0，解得

又因?yàn)閍為正整數(shù)，所以a應(yīng)取14，15，16…

所以使卡車安全通過時(shí)a的最小正整數(shù)為14.

反思：本題的解題過程可歸納為兩步：①根據(jù)實(shí)際問題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點(diǎn)2m處y的值；②通過解不等式y(tǒng)＞3，結(jié)合問題的實(shí)際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中經(jīng)常用到.

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中圖示理論的重要性

雖然在教學(xué)過程中運(yùn)用圖示理論對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)行輔助不是一個(gè)創(chuàng)新之處，但是卻給人們帶來了很多反思.很多人認(rèn)為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)只是為了應(yīng)付考試，所以在進(jìn)行數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中將自己困在應(yīng)付考試的空間里面.雖然在這一方面會(huì)帶給老師很多職業(yè)成就.但是，如果從對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)角度進(jìn)行思考，就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己并沒有理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，沒有對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的進(jìn)行深入的了解.而對于數(shù)學(xué)的教學(xué)過程來講，這是一個(gè)教師自身能力以及專業(yè)素養(yǎng)提升的過程.但是如果只是為了應(yīng)付考試，教師只會(huì)整天研究考試，沒有進(jìn)行其他方面的研究鉆研，那么教師的教學(xué)能力以及專業(yè)素養(yǎng)沒有得到一定的成長.最后從數(shù)學(xué)對于學(xué)生成長的影響來講，雖然在現(xiàn)在對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是為了能夠在高考當(dāng)中取得好的成績，但是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程也是思維能力的鍛煉過程，學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，并運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中，這對于學(xué)生的發(fā)展來講也是非常重要的.

上面所例示的這些思考，都是為了闡述一個(gè)道理，那就是圖示理論在教學(xué)過程中有著廣泛的應(yīng)用.圖示理論在很多的教學(xué)過程以及相關(guān)的課程改革中都沒有進(jìn)行較大的改動(dòng).圖示理論能夠直接將有效的學(xué)習(xí)過程展現(xiàn)出來，能夠幫助老師掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，提高老師的教學(xué)效率.