☉江 蘇 省 太 湖 高 級(jí) 中 學(xué) 周德明

☉江蘇省無(wú)錫市濱湖區(qū)教研發(fā)展中心 王華民

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，其中直觀想象是六個(gè)核心素養(yǎng)之一.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象來(lái)感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).直觀想象包括“直觀感知”和“空間想象”兩部分.直觀是指通過(guò)對(duì)客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)；幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題［1］，徐利治教授認(rèn)為幾何直觀是指借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知.本文的討論側(cè)重于幾何直觀方面，通過(guò)建立形與數(shù)的聯(lián)系，借助幾何直觀理解問(wèn)題，構(gòu)建直觀模型探索解決問(wèn)題的方法.

一、建立數(shù)與形的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的意識(shí)

直觀想象的載體是圖形，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)的基本對(duì)象，相對(duì)而言，形直觀而數(shù)抽象.正如華羅庚先生所言：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ).向量的數(shù)量積具有代數(shù)形式與幾何形式雙重身份，而解析幾何本身就是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物.因此，向量和解析幾何試題的結(jié)合是非常自然的.

問(wèn)題1設(shè)點(diǎn)P是圓O：x2+y2=16上的任意一點(diǎn)，EF是圓M：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑，求的最大值.

解析：這是一道解幾背景的向量數(shù)量積的最值問(wèn)題，如圖1，一般應(yīng)從向量數(shù)量積的代數(shù)和幾何特征加以分析、求解.

圖1

（代數(shù)角度）根據(jù)數(shù)量積定義的坐標(biāo)表示：a·b=x1x2+y1y2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），E（m，n）.因?yàn)镋F是圓M：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑，則

由于m2+（n-2）2=1，即y）在圓O上，則所以4y.又因?yàn)?4≤y≤4，故的最大值為35.

（幾何角度）在△PEF中，PM為邊EF上的中線，運(yùn)用向量加法的三角形法則，得，將代入，化簡(jiǎn)得

觀察圖形，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”和兩圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，得，當(dāng)且僅當(dāng)P、O、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|取得最大值為6.

評(píng)注：代數(shù)法是抓住數(shù)量積定義的坐標(biāo)形式，從數(shù)的角度進(jìn)行推理運(yùn)算，有一定的運(yùn)算量；而幾何法則是充分利用圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從向量加法的三角形法則出發(fā)，將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為|PM|2-1，結(jié)合圖形，利用“三角形三邊關(guān)系”和圓的幾何性質(zhì)處理，簡(jiǎn)單、流暢，凸顯了幾何法的優(yōu)越性.當(dāng)然，上述解答也可先從幾何角度出發(fā)，得（*），再?gòu)拇鷶?shù)角度求解，設(shè)P點(diǎn)為（x，y），則，下面同代數(shù)法.

教學(xué)啟示：新課標(biāo)指出，要突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過(guò)形與數(shù)的結(jié)合，感悟知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).上述兩種不同視角是對(duì)數(shù)量積問(wèn)題處理的通性通法，本題幾何法優(yōu)勢(shì)明顯.在解析幾何與向量的解題教學(xué)中，可優(yōu)先考慮用“形”解，借助圖形、利用幾何性質(zhì)，往往比較簡(jiǎn)潔.筆者認(rèn)為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有兩個(gè)基本視角——數(shù)和形，以形助數(shù)或以數(shù)解形.從課堂教學(xué)反饋來(lái)看，部分學(xué)生雖有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，但意識(shí)不強(qiáng)，因此要通過(guò)問(wèn)題分析、學(xué)生談感悟等途徑，引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的意識(shí)，以加深對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

二、借助幾何直觀使抽象問(wèn)題形象化，促進(jìn)學(xué)生理解概念、建構(gòu)數(shù)學(xué)

由于幾何直觀主要是依托圖形來(lái)描述問(wèn)題，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象，因此需畫(huà)圖在前，分析在后.圖形也包括函數(shù)圖像、數(shù)據(jù)表格和具體情境等.教學(xué)中，借助幾何直觀，使抽象問(wèn)題具體化、形象化，促進(jìn)學(xué)生理解概念、建構(gòu)數(shù)學(xué)，為想象提供更高的平臺(tái)和起點(diǎn).

1.借助直觀圖形，幫助學(xué)生理解函數(shù)概念，建構(gòu)性質(zhì)

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，其貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程，但函數(shù)的概念比較抽象，學(xué)生不太理解學(xué)習(xí)它的必要性.函數(shù)概念已經(jīng)有了初中階段的“變化說(shuō)”，為何在高中要學(xué)習(xí)“對(duì)應(yīng)說(shuō)”呢？學(xué)生一頭霧水.筆者認(rèn)為通過(guò)畫(huà)出圖形，舉例說(shuō)明來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)，可以起到事半功倍的效果.第一步，請(qǐng)同學(xué)們回憶初中的函數(shù)概念（略），函數(shù)的三種表示——解析式法、列表法和圖像法.第二步，畫(huà)出下邊兩個(gè)圖形，并提問(wèn)：圖2、圖3是不是函數(shù)？通過(guò)觀察圖像可以清晰發(fā)現(xiàn)，x在變化，但y在某一個(gè)范圍內(nèi)是不變的，按原來(lái)的函數(shù)觀點(diǎn)解釋，有點(diǎn)牽強(qiáng)，因此有必要對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)行拓展、修正與完善.第三步，出示兩個(gè)對(duì)應(yīng)的集合圖，如圖4，教師簡(jiǎn)要說(shuō)明后，讓學(xué)生概括出函數(shù)的定義，并完善（定義略）.

圖2

圖3

評(píng)注：教師通過(guò)舉例、兩次畫(huà)圖，讓學(xué)生感知到具體的圖形、具體的函數(shù)，看得見(jiàn)摸得著，一目了然，使抽象的函數(shù)具體化，學(xué)生更容易理解.類似地，指數(shù)函數(shù)對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)全新的函數(shù)，學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是通過(guò)畫(huà)兩個(gè)特殊的指數(shù)函數(shù)的圖像，并用《幾何畫(huà)板》演示不同底數(shù)a對(duì)圖像的影響，得出兩類指數(shù)函數(shù)的圖像，而圖像可以直觀地反映出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：在x軸上方過(guò)定點(diǎn)（0，1）和a＞1、0＜a＜1時(shí)函數(shù)的單調(diào)性等.

2.借助直觀情境，探求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的教學(xué)中，一位骨干教師創(chuàng)設(shè)了下面兩個(gè)問(wèn)題情境：

情境1：蘇教版必修5P40的一道探究題（上一課作業(yè)題12）：1934年?yáng)|印度（今孟加拉國(guó)）學(xué)者德拉姆（Sundaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”：

（1）每一行有何特點(diǎn)？每一列有何特點(diǎn)？

（2）“正方形篩子”中位于第100行的第100個(gè)數(shù)是多少？

學(xué)生回答后教師出示問(wèn)題1：求這個(gè)“正方形篩子”第一行的前100個(gè)數(shù)之和？求這個(gè)“正方形篩子”第一行的前n個(gè)數(shù)之和？

明確目標(biāo)：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題.

情境2：教師用ppt出示鋼管實(shí)物圖（如圖5）：這是某倉(cāng)庫(kù)堆放的一堆鋼管，縱截面如圖6所示，則這堆鋼管的總數(shù)有多少？

圖5

圖6

問(wèn)題2鋼管圖形給我們什么信息？這是一個(gè)關(guān)于什么的數(shù)學(xué)問(wèn)題？

學(xué)生不難得出：最上面一層有4根，下面每一層比上一層多一根，最下面一層有9根，這是一個(gè)求等差數(shù)列前6項(xiàng)和的問(wèn)題.9，共有6層，從而鋼管總數(shù)為

再推廣到一般Sn=a1+a2+a3+…+an，得出倒序相加法（略）.

評(píng)注：創(chuàng)設(shè)的兩個(gè)問(wèn)題情境，一個(gè)是由一道作業(yè)題（數(shù)表）引出等差數(shù)列的求和問(wèn)題，是從解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的需要上來(lái)創(chuàng)設(shè)的情境，比較自然；另一個(gè)是課本上的一道鋼管總數(shù)問(wèn)題（實(shí)物），從圖形的直觀性上，學(xué)生看出鋼管數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，從高斯求和聯(lián)想到倒序拼接，以此歸納出等差數(shù)列求和的倒序相加法.這是借助數(shù)表和實(shí)物兩個(gè)幾何直觀來(lái)幫助學(xué)生理解等差數(shù)列求和公式的形成過(guò)程.

教學(xué)啟示：對(duì)于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等問(wèn)題，借助函數(shù)圖像、數(shù)表、實(shí)物等幾何直觀，既有助于學(xué)生理解概念，建構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)論（公式、定理、性質(zhì)），也有助于學(xué)生借助函數(shù)圖像，架起方程、不等式通往函數(shù)的“橋梁”，得出不等式的解集，還可從變換的視角將復(fù)雜函數(shù)“看”簡(jiǎn)單.因此，要通過(guò)訓(xùn)練讓學(xué)生感受圖形的力量，可以通過(guò)經(jīng)常畫(huà)簡(jiǎn)圖以達(dá)到熟練地看圖說(shuō)話、借圖表達(dá)、借圖探究的目的，從而培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)用圖的意識(shí).有時(shí)借助《幾何畫(huà)板》等數(shù)學(xué)軟件的動(dòng)態(tài)演示，會(huì)使圖形更形象、更直觀，學(xué)生也更容易弄清問(wèn)題的本質(zhì).

如何求和呢？有的學(xué)生聯(lián)想到高斯求和法.教師肯定后，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形角度去處理：在這堆鋼管旁邊倒放著一堆鋼管（如圖6），每層的鋼管總數(shù)都等于4+

三、構(gòu)建直觀模型使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生拓寬思路、提升能力

數(shù)學(xué)家黎曼說(shuō)過(guò)：“每一個(gè)數(shù)學(xué)公式背后都有一個(gè)反映其本質(zhì)的幾何模型.”其實(shí)，許多代數(shù)問(wèn)題的背后都有一個(gè)幾何模型，有的模型是隱性的，不易發(fā)現(xiàn)，需要憑借一雙慧眼，通過(guò)想象，挖掘其幾何意義，構(gòu)建直觀模型，才能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，最終尋求解題突破.

1.構(gòu)造特殊的幾何圖形，利用直觀模型解決問(wèn)題

由于向量有著豐富的幾何背景和幾何意義，向量及其運(yùn)算的工具性貫穿于高中數(shù)學(xué)教材體系的不同內(nèi)容和不同問(wèn)題之中，因此要理解向量運(yùn)算的幾何意義，構(gòu)造幾何圖形，以發(fā)揮向量幾何直觀的優(yōu)勢(shì).

問(wèn)題3（無(wú)錫市高一期末測(cè)試題12）設(shè)向量a，b滿足|a-b|=2，|a|=2，且a-b與a的夾角為則|b|=______.

解析1：從代數(shù)運(yùn)算角度考慮（略）.

解析2：從向量幾何意義角度思考，畫(huà)出圖形，如圖7，這三個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且一個(gè)角為60°，則該三角形為等邊三角形，故|b|=2.

圖7

評(píng)注：這是筆者所教高三“向量復(fù)習(xí)課”的一個(gè)真實(shí)案例，教師在出示問(wèn)題3后，大部分學(xué)生想到了解析1會(huì)有一定的運(yùn)算量；解析2是夏同學(xué)自告奮勇上講臺(tái)，通過(guò)構(gòu)造圖形來(lái)解決的，贏來(lái)了一片掌聲，夏同學(xué)很興奮.通過(guò)舉手反饋，該班能想到構(gòu)造法的寥寥無(wú)幾.

教學(xué)啟示：史寧中先生認(rèn)為“直觀不是‘教’出來(lái)的，而是自己‘悟’出來(lái)的，這就需要積累經(jīng)驗(yàn)”.夏同學(xué)能夠借助想象，構(gòu)造出一個(gè)三角形解決了問(wèn)題，說(shuō)明他直覺(jué)思維能力強(qiáng)，對(duì)平面幾何中特殊三角形的判定和性質(zhì)很熟練.“構(gòu)造”是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的重要途徑，如何讓夏同學(xué)的一點(diǎn)“星火”燎原呢？學(xué)生的幾何直觀雖有先天成分，但高水平的幾何直觀的養(yǎng)成，則需依賴于個(gè)體積極參與到幾何活動(dòng)中.在向量、解析幾何的教學(xué)中，要積極引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)想圖、作圖和用圖的習(xí)慣，注意聯(lián)想幾何圖形的形象關(guān)系；在函數(shù)、數(shù)列的教學(xué)中，要挖掘符號(hào)背后隱含的圖形信息，學(xué)會(huì)“看”出思路，“看”出簡(jiǎn)潔，積累方法和經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)構(gòu)造，這樣不但有利于探索解決問(wèn)題的思路和預(yù)測(cè)結(jié)果，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和直觀想象素養(yǎng).

2.挖掘隱性的幾何模型，利用軌跡思想解決問(wèn)題

雖然解析幾何的基本思想是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，但仍需強(qiáng)調(diào)圖形的重要性，包括圖形的觀察，特別是運(yùn)動(dòng)變化中的不變性，抓住幾何特征去思考，或挖掘動(dòng)點(diǎn)的軌跡，利用軌跡思想去解決.有的代數(shù)問(wèn)題需要挖掘其背后的幾何意義，而且利用幾何模型來(lái)探索思路往往簡(jiǎn)單易行.

問(wèn)題4（無(wú)錫市高二期末測(cè)試題14）已知直線ax+by+c=0始終平分圓C：x2+y2-2x+4y-4=0（C為圓心）的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)P（6，9）作直線l：（2a-b）x+（2b-c）y+（2c-a）=0的垂線，垂足為H，則線段CH長(zhǎng)度的最大值是______.［2］

解析：這道壓軸題涉及到直線與圓，是高考考查的C級(jí)要求，但得分率很低（僅0.1）.由直線始終平分圓的周長(zhǎng)知，直線過(guò)圓心C（1，-2），故a+c=2b.因直線l含有較多字母，不妨消c，得l：a(2x+y-3)+b(4-x)=0.由2x+y-3=0且4-x=0，得直線l過(guò)定點(diǎn)Q（4，-5），而接下來(lái)學(xué)生的思維受阻.因?yàn)榫€段CH的變化是源于垂足H的變化，故可以挖掘隱含的“軌跡”信息，由P，Q為定點(diǎn)且∠PHQ=90°知，動(dòng)點(diǎn)H的軌跡是以PQ為直徑的一個(gè)圓，計(jì)算得圓心D（5，2），半徑，所以，因此可以求出線段CH的最大值為

評(píng)注：本題含兩個(gè)變量x，y，三個(gè)參數(shù)a，b，c，運(yùn)用了消元、軌跡的思想和對(duì)稱、配方的方法，綜合性較強(qiáng).從學(xué)生反饋來(lái)看，直線過(guò)定點(diǎn)的隱含信息尚有四成的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)，但“隱圓”的信息僅有幾位學(xué)生發(fā)現(xiàn).

問(wèn)題5（2012鹽城二?！?4）若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為_(kāi)____.［3］

解析：本題用代數(shù)符號(hào)表示，含四個(gè)變量，許多學(xué)生不知所措，需要挖掘代數(shù)符號(hào)的幾何意義.條件式背后的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)（a，b）在曲線a2-2lna=b上，動(dòng)點(diǎn)（c，d）在直線3c-d=4上.目標(biāo)式背后的幾何意義是兩點(diǎn)間距離的平方，不難得出該問(wèn)題的幾何意義是曲線y=x2-2lnx與直線y=3x-4上（各取一點(diǎn)）兩動(dòng)點(diǎn)距離的最小值的平方，則轉(zhuǎn)化為一個(gè)常規(guī)的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)曲線求導(dǎo)，得切點(diǎn)（2，4-2ln2）到直線y=3x-4的距離，從而求出最小值.

評(píng)注：這道難題的解答過(guò)程能變得如此簡(jiǎn)潔、流暢，是源于想象出了代數(shù)問(wèn)題的幾何背景，用解析幾何的視角來(lái)解決，揭示問(wèn)題的本質(zhì)：求兩條曲線上（各取一點(diǎn)）兩動(dòng)點(diǎn)距離的最小值的平方.

教學(xué)啟示：類似于問(wèn)題4的試題頻頻出現(xiàn)在高考和競(jìng)賽題中，如2000北京春季高考題22，2008年江蘇高考題13，第十屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題等，它具有一定的普遍性，都是挖掘代數(shù)符號(hào)的幾何模型——圓（動(dòng)點(diǎn)的軌跡），再利用圓的相關(guān)性質(zhì)求解.而且有些看似與軌跡無(wú)關(guān)的取值范圍問(wèn)題，只要充分挖掘其潛在的幾何意義，求出方程、判斷軌跡，就可以發(fā)現(xiàn)解題思路.問(wèn)題5構(gòu)建了“直線與曲線”的模型.當(dāng)然，根據(jù)解決問(wèn)題的需要，還可能構(gòu)建其他幾何直觀模型，如橢圓（2011年高考重慶卷），三點(diǎn)共線（蘇北四市高三調(diào)研試卷）等.這些問(wèn)題都是通過(guò)想象、挖掘，構(gòu)建出幾何模型，使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化.然而“軌跡”思想和隱性信息的挖掘卻是不少學(xué)生的軟肋，需引起師生的重視，既要有挖掘隱性信息的意識(shí)，也要熟悉高中數(shù)學(xué)中常用到的直線、圓、橢圓等軌跡，借助模型的幾何性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力.能給出基本不等式的幾何解釋嗎？”其實(shí)這個(gè)模型也是基本不等式的幾何直觀模型，天平秤以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也是幾何直觀，有助于學(xué)生感受、理解基本不等式.遺憾的是，受題海戰(zhàn)術(shù)的影響，日常教學(xué)對(duì)該情境不夠重視，僅讓學(xué)生課后看看.

新課標(biāo)指出直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).需要指出的是，有的幾何直觀是借助經(jīng)驗(yàn)、觀察、類比所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系的直接感知，其正確性還需要通過(guò)邏輯推理的嚴(yán)格證明.在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形直觀和空間想象來(lái)思考問(wèn)題的意識(shí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力，從而積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟事物的本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.從本文分析可見(jiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)還須注重“自然性”，從平面到空間，從數(shù)到形，不是一個(gè)過(guò)渡而是一次飛躍，是自然而然的質(zhì)變［4］.要做到“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的境界還有很長(zhǎng)的路，隨著各地新課標(biāo)的實(shí)施，教育工作者會(huì)越來(lái)越重視學(xué)科核心素養(yǎng)，今后的高考也會(huì)逐步加大對(duì)核心素養(yǎng)的考查力度，所以數(shù)學(xué)教師要立足于課堂主陣地，潛心研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).任務(wù)是艱巨的，但前途是光明的，值得我們?yōu)橹龀霾恍傅呐?

我們注意到，人教版、蘇教版等很多教材的編者都比較重視幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，譬如蘇教版的“基本不等式”，開(kāi)始就給出了“天平秤”實(shí)物和一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，之后出示一個(gè)“半圓模型”（如圖8），最后提出思考題：“你