沈靜

摘? 要：乘法分配律在小學(xué)階段是最重要、最難學(xué)、應(yīng)用最廣泛的知識(shí)點(diǎn)。針對(duì)學(xué)生在綜合運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)算時(shí)出現(xiàn)的種種問(wèn)題，努力嘗試通過(guò)各類(lèi)課型，引導(dǎo)學(xué)生從具體的認(rèn)知開(kāi)始，從呈現(xiàn)模型—促進(jìn)模型—提高鞏固模型，不斷遞進(jìn)，深入理解分配律的本質(zhì)意義，化解分配律的難點(diǎn)，抓住簡(jiǎn)算的根本是轉(zhuǎn)化原則，促進(jìn)運(yùn)算律對(duì)計(jì)算方法的“熟能生巧”，有效提高學(xué)生靈活選擇運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)算的能力，樹(shù)立系統(tǒng)教學(xué)理念，訓(xùn)練學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：建立模型;變形;整合;思維訓(xùn)練;核心素養(yǎng)

運(yùn)算律的運(yùn)用是整個(gè)小學(xué)階段最重要的計(jì)算內(nèi)容，蘇教版教材從四年級(jí)下冊(cè)開(kāi)始引入，采用不完全歸納法，讓學(xué)生經(jīng)歷“計(jì)算—觀(guān)察—總結(jié)—驗(yàn)證—運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過(guò)程，引出規(guī)律。這樣的教學(xué)流程在學(xué)習(xí)單一的加法和乘法的交換結(jié)合律的時(shí)候，一般不會(huì)暴露由此引出的認(rèn)識(shí)的局限性，學(xué)生看似學(xué)得很扎實(shí)，但當(dāng)學(xué)習(xí)乘法分配律后，在選擇合適的方法進(jìn)行簡(jiǎn)算或者應(yīng)用分配律解決變化形式多、結(jié)構(gòu)稍復(fù)雜、較為隱秘的變式時(shí)（如25×48，64×99+64，64×99或85×101-85，85×101，75+25×97等），學(xué)生對(duì)這類(lèi)戴著面具的算式便束手無(wú)策，不能合理、靈活地進(jìn)行計(jì)算。究其原因，一是學(xué)生受到前期應(yīng)用交換結(jié)合律時(shí)湊整思想的思維干擾，二是機(jī)械識(shí)記了乘法分配律的外形，而沒(méi)有真正理解乘法分配律的本質(zhì)意義，缺乏必要的觀(guān)察數(shù)據(jù)和結(jié)構(gòu)特征的能力以及創(chuàng)造簡(jiǎn)算條件的轉(zhuǎn)化意識(shí) [1]。

針對(duì)以上問(wèn)題，基于長(zhǎng)期任教中高年級(jí)的經(jīng)驗(yàn)及探索，筆者認(rèn)為，在平時(shí)的教學(xué)中需要通過(guò)各類(lèi)課型，幫助學(xué)生遞進(jìn)深入理解乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵，化解分配律的難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的簡(jiǎn)算意識(shí)，促進(jìn)運(yùn)算律對(duì)計(jì)算方法的“熟能生巧”，有效提高學(xué)生合理、靈活計(jì)算的能力 [1]。

一、新授課注重分配律的內(nèi)涵，真正理解意義和算理，呈現(xiàn)模型

新授課上，在學(xué)生通過(guò)教材常規(guī)得出運(yùn)算律后，可以拓展追問(wèn)：你能用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解釋這一特殊的規(guī)律嗎？讓學(xué)生從舊知中尋找依據(jù)，明確這一等式并非隨意的組合，而是客觀(guān)現(xiàn)實(shí)中的必然規(guī)律，從意義上去真正理解乘法分配律。

1. 用數(shù)形結(jié)合支撐乘法分配律：理清“分配”的意義，突破“相同乘數(shù)”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用幾何直觀(guān)，從圖形面積的計(jì)算角度發(fā)現(xiàn)（如圖1），不管是分開(kāi)計(jì)算還是整體計(jì)算，結(jié)果是一樣的，深入理解18×15+12×15和（18+12）×15這兩個(gè)算式相等，直觀(guān)地再現(xiàn)了分配律的意義。經(jīng)過(guò)幾組這樣的練習(xí)（補(bǔ)充習(xí)題第48頁(yè)第1題），讓學(xué)生看圖，借助豐富的直觀(guān)表象理解得出等式，在理解算理的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)此運(yùn)算律是成立的，避免從形式上的機(jī)械記憶。

2. 從乘法意義的角度深入理解分配律的內(nèi)涵。如圖2，拋開(kāi)圖形，直接根據(jù)乘法的意義來(lái)說(shuō)明，“20個(gè)3加上1個(gè)3等于（20+1）個(gè)3，即21個(gè)3”，相同的因數(shù)無(wú)論放在乘號(hào)前還是乘號(hào)后，乘法分配律的等價(jià)轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)形式都是成立的。

3. 從解題的角度，利用行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系來(lái)促進(jìn)理解。適當(dāng)調(diào)整教學(xué)順序（把例7和例6交換教學(xué)順序），借助線(xiàn)段圖分析數(shù)量關(guān)系，理解并比較和（差）乘某數(shù)（如圖3）與兩積之和（差）（如圖4）這兩種不同解題思路之間的聯(lián)系，體會(huì)在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的應(yīng)用中，乘法分配律的兩種基本結(jié)構(gòu)形式存在的合理性和科學(xué)性，促進(jìn)乘法分配律的模型結(jié)構(gòu)思想的建立 [2]。

如此，在初步理解分配律意義的基礎(chǔ)上，再通過(guò)以上方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度、不同深度理解分配律，溝通了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，做到算理先行，有效理解乘法分配律的內(nèi)涵，建立乘法分配律結(jié)構(gòu)和意義上的相融，以便更好地建構(gòu)乘法分配律的數(shù)學(xué)模型。

二、拓展課注重乘法分配律的外形基本結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)特點(diǎn)，促進(jìn)建模

在應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算初期，計(jì)算積與某數(shù)相加減時(shí)（如97×25+75或75+25×97），學(xué)生往往受乘法結(jié)合律的影響或湊整思想的誤導(dǎo)，違背運(yùn)算順序，先計(jì)算兩個(gè)數(shù)的和 [2]。針對(duì)這類(lèi)錯(cuò)誤，我們?cè)谕卣拐n教學(xué)過(guò)程中更要重視對(duì)乘法分配律的外形數(shù)據(jù)特點(diǎn)和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析與解讀，強(qiáng)化學(xué)生的結(jié)構(gòu)意識(shí)，明確乘法分配律只有“和（差）乘某數(shù)”和“兩積之和（差）”這兩種基本結(jié)構(gòu)形式。在清晰結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，再引出對(duì)數(shù)據(jù)特征的研究：前一種結(jié)構(gòu)形式中的某數(shù)一定是后一種結(jié)構(gòu)形式中的兩積中的其中一個(gè)因數(shù)，由此展開(kāi)分析，明確以下兩類(lèi)也屬于乘法分配律的基本結(jié)構(gòu)范疇，使學(xué)生對(duì)乘法分配律有更清晰更深刻的認(rèn)識(shí)，并在后續(xù)的拓展應(yīng)用時(shí)能自如把握復(fù)雜變式的類(lèi)型，駕輕就熟，解決問(wèn)題 [3]。

1. 位置變化的拓展：以一般字母表達(dá)式（a+b）×c=a×c+b×c為基本式展開(kāi)分析，如變化為c×（a+b）=c×a+c×b，即“某數(shù)乘和”，這是在乘法分配律中應(yīng)用乘法交換律的位置變化的拓展，雖然這樣的變化較為簡(jiǎn)單，但也屬于乘法分配律的基本形式。

2. 同級(jí)運(yùn)算的推廣：可以應(yīng)用教材第67頁(yè)的第16題：“算一算下面每組的兩道算式是否相等，再說(shuō)說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)。32×（30-2）○32×30-32×2”，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合乘法的意義解釋兩道算式相等的道理，并說(shuō)明：兩數(shù)之和乘某數(shù)的結(jié)構(gòu)形式也可以為兩數(shù)之差乘某數(shù)，其屬于乘法分配律的基本推廣形式 [3]。

除了以上兩種情況外，高年級(jí)還有項(xiàng)數(shù)的拓展：將兩數(shù)之和（差）乘某數(shù)拓展到若干數(shù)之和（差）乘某數(shù)，而若干數(shù)之和（差）乘某數(shù)等于若干積之和（差），這是增加項(xiàng)數(shù)的變化。

通過(guò)以上對(duì)乘法分配律結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)這兩大特征的理解分析與拓展，調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)題目整體結(jié)構(gòu)及數(shù)據(jù)的觀(guān)察思考，引導(dǎo)學(xué)生善于從計(jì)算的簡(jiǎn)潔性出發(fā)，靈活地選擇兩種基本結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行變換訓(xùn)練（變形操作），幫助學(xué)生進(jìn)一步建立乘法分配律的模型結(jié)構(gòu)思想，體驗(yàn)簡(jiǎn)算的樂(lè)趣，這才是訓(xùn)練學(xué)生計(jì)算技能，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)算意識(shí)的重要途徑。

三、練習(xí)課注重乘法分配律的非標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)形式的訓(xùn)練，提高建模

俞正強(qiáng)老師說(shuō)：運(yùn)算律首先來(lái)自計(jì)算，來(lái)自對(duì)算法的改造與變形，它是通過(guò)觀(guān)察特征，如數(shù)字特征、運(yùn)算符號(hào)等來(lái)幫助人們簡(jiǎn)算的。運(yùn)用乘法分配律簡(jiǎn)算之所以復(fù)雜，就在于有些算式的呈現(xiàn)并不符合乘法分配律的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)形式，這使得學(xué)生在應(yīng)用乘法分配律時(shí)，對(duì)需要轉(zhuǎn)個(gè)彎才能簡(jiǎn)算的題型缺乏必要的改造轉(zhuǎn)化思想，不能為計(jì)算創(chuàng)造簡(jiǎn)算的條件。這就需要教者在練習(xí)課的教學(xué)中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)題目整體結(jié)構(gòu)及數(shù)據(jù)的觀(guān)察、思考，引導(dǎo)學(xué)生把握這些變式類(lèi)型，將等式變形為乘法分配律的基本結(jié)構(gòu)形式中的某一種，化難為易。

1. 某數(shù)與接近整百數(shù)的數(shù)相乘的算式。教材例6：“象棋的單價(jià)是32元，圍棋的單價(jià)58元，王老師買(mǎi)102副中國(guó)象棋，一共要付多少元？”按照“算理先行，理到法隨”的原則，由學(xué)生口算的過(guò)程先算100副象棋的價(jià)格，再加2副象棋的價(jià)格就是102副象棋的總價(jià)，由此總結(jié)得出：當(dāng)出現(xiàn)兩數(shù)相乘且其中一個(gè)乘數(shù)接近整百數(shù)的時(shí)候，我們可以變數(shù)102為式（100+2），把其中的一個(gè)乘數(shù)變成和或差的形式，使得結(jié)構(gòu)上符合乘法分配律的基本結(jié)構(gòu)形式——“和乘某數(shù)”，再變形成另一種結(jié)構(gòu)形式——“兩積之和”，進(jìn)行簡(jiǎn)算。以上由非標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)算試題引入，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏的簡(jiǎn)算條件，這樣的引導(dǎo)，抓住了學(xué)生的“癥結(jié)”，利用轉(zhuǎn)化的思想，體驗(yàn)運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算的簡(jiǎn)便。以后學(xué)生面對(duì)這類(lèi)簡(jiǎn)算特征并不明顯的題目時(shí)，往往都能根據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)特征，從轉(zhuǎn)化的思想出發(fā)，轉(zhuǎn)化成基本結(jié)構(gòu)形式，并選擇合適的計(jì)算方法，進(jìn)一步提升學(xué)生的簡(jiǎn)算意識(shí)和能力。

2. 積加（減）某數(shù)或某數(shù)加（減）積的算式。這類(lèi)題型，教材沒(méi)有給出例題進(jìn)行專(zhuān)門(mén)的教學(xué)，學(xué)生往往不容易解決，且常常和乘法結(jié)合律發(fā)生混淆。比如：43+43×99，48×101-48，從題面上看，簡(jiǎn)算特征并不明顯，不符合乘法分配律的兩種基本結(jié)構(gòu)形式中的某一種，但我們可以仔細(xì)觀(guān)察，比較接近積加（減）積的結(jié)構(gòu)形式。有例5“四年級(jí)有6個(gè)班，五年級(jí)有4個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)24根跳繩。四、五年級(jí)一共要領(lǐng)多少根跳繩？”的教學(xué)鋪墊，有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)的積淀，學(xué)生已初步具有敏銳的觀(guān)察力和綜合分析能力及轉(zhuǎn)化意識(shí)，把某數(shù)變數(shù)為式，轉(zhuǎn)化成基本結(jié)構(gòu)形式再進(jìn)行簡(jiǎn)算。那么，如45×102-90或97×125+375或75+25×97這樣的類(lèi)型便不會(huì)受到湊整思想的影響，違反運(yùn)算順序先算加法了。

3. 積加（減）積的算式。如第76頁(yè)思考題999×8+111×28，符合乘法分配律的運(yùn)算結(jié)構(gòu)特征，但數(shù)字特征并不明顯，觀(guān)察到999和111的倍數(shù)關(guān)系，利用積不變的規(guī)律，以式換式，將999×8等量轉(zhuǎn)化為111×72，這樣“+”號(hào)兩邊的乘法算式也被明顯關(guān)聯(lián)起來(lái)了，即都是關(guān)于111的，符合乘法分配律的“積+積”的運(yùn)算結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而再變形成另一種結(jié)構(gòu)形式，便可使計(jì)算簡(jiǎn)便。還可以追問(wèn)：這里還有其他的等積轉(zhuǎn)化方式嗎？經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期訓(xùn)練，學(xué)生能自覺(jué)觀(guān)察兩個(gè)算式中的乘數(shù)特征，找到聯(lián)系，進(jìn)而通過(guò)轉(zhuǎn)化找到兩個(gè)乘法算式中相同的乘數(shù)再簡(jiǎn)算，體驗(yàn)到正確運(yùn)用運(yùn)算定律能有效提高計(jì)算的正確性所帶來(lái)的喜悅。

以上是教材出現(xiàn)的三種轉(zhuǎn)化應(yīng)用，在練習(xí)過(guò)程中，首先明確無(wú)論題目怎么變化，只要通過(guò)變數(shù)為式或變式為式的方式進(jìn)行變形，就能轉(zhuǎn)化成乘法分配律兩種基本結(jié)構(gòu)形式中的一種，再看是否要二次使用乘法分配律;其次，要運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算，必須符合兩個(gè)條件：有相同因數(shù);相同因數(shù)的個(gè)數(shù)能進(jìn)行湊整。應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，就一定能找到乘法分配律（包括其他運(yùn)算律）的基本結(jié)構(gòu)形式。學(xué)生在講和練互動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程中把握了乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵，在簡(jiǎn)便計(jì)算及解決問(wèn)題時(shí)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，不斷將知識(shí)重組整合，形成知識(shí)的線(xiàn)狀結(jié)構(gòu)體系，進(jìn)一步建構(gòu)了乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用模型順利解決了現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

四、復(fù)習(xí)課注重知識(shí)的整合與系統(tǒng)性，鞏固建模

在教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)覺(jué)得每一堂課都扎扎實(shí)實(shí)教了，學(xué)生也覺(jué)得掌握了，但面對(duì)綜合類(lèi)題目的時(shí)候?qū)W生卻束手無(wú)策。究其原因，就是學(xué)生缺乏解決問(wèn)題的知識(shí)模塊化，他們學(xué)習(xí)新知的初期，在頭腦中呈現(xiàn)的是點(diǎn)線(xiàn)狀的知識(shí)，還沒(méi)有形成內(nèi)在的邏輯體系。運(yùn)算律的知識(shí)之間是密切相關(guān)的，在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中我們要整體設(shè)計(jì)，在五個(gè)運(yùn)算律學(xué)完之后，連同練習(xí)中出現(xiàn)的除法和減法的性質(zhì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體的梳理復(fù)習(xí)（如圖5），引導(dǎo)學(xué)生不僅對(duì)乘法分配律的外形結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)進(jìn)行分析解構(gòu)，還要及時(shí)聯(lián)系已學(xué)的加法和乘法的交換結(jié)合律，將乘法分配律納入運(yùn)算律的知識(shí)體系中，整合認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生找到解答同類(lèi)問(wèn)題的內(nèi)在邏輯性，將點(diǎn)線(xiàn)狀零散的知識(shí)系統(tǒng)化，形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)知識(shí)體系，深化鞏固乘法分配律的數(shù)學(xué)模型。

在應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的復(fù)習(xí)課中設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：（1）是同級(jí)運(yùn)算還是不同級(jí)的運(yùn)算？（2）所有的同級(jí)簡(jiǎn)算其實(shí)只需要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行什么操作？（換位、加或去括號(hào)）（3）加（去）括號(hào)的時(shí)候要注意什么？（括號(hào)前面是減號(hào)或除號(hào)，去括號(hào)的時(shí)候，里面的符號(hào)要變號(hào)）（4）不同級(jí)的運(yùn)算律只有哪個(gè)運(yùn)算律？（5）如果是乘法分配律，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，如果需要轉(zhuǎn)化成另一種結(jié)構(gòu)形式，要進(jìn)行什么操作？（變形）（6）如果遇上非標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)形式，第一步應(yīng)該怎樣將哪個(gè)數(shù)變數(shù)為式或?qū)⒛膫€(gè)算式變式為式？把以上問(wèn)題反復(fù)拋給學(xué)生，讓他們聯(lián)系已獲得的新知，應(yīng)用相應(yīng)的方法去探索。前期的新授猶如西醫(yī)，頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳，有針對(duì)性，見(jiàn)效快，后期的練習(xí)課和復(fù)習(xí)課猶如中醫(yī)，需要講究全身的調(diào)理、整體的診斷和理療。教師在幫助學(xué)生整理知識(shí)的過(guò)程中，對(duì)這類(lèi)運(yùn)算律條理化、有序化，再總結(jié)提煉，培養(yǎng)學(xué)生由此及彼的推理能力，讓他們感受到知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展規(guī)律，那么，如25×48的這類(lèi)題型，學(xué)生便能自覺(jué)運(yùn)用不同的運(yùn)算定律，獲得不同的拆分方法（如圖6），進(jìn)而得到簡(jiǎn)算的快樂(lè)體驗(yàn)。

25×48

=25×（4×12）→變數(shù)為式

=25×4×12→去括號(hào)

=100×12

=1200

25×48

=25×（40+8）→變數(shù)為式

=25×40+25×8→變形

=100×200

=1200

乘法分配律在小學(xué)階段是最重要、最難學(xué)、應(yīng)用最廣泛的知識(shí)點(diǎn)，如能在初學(xué)階段通過(guò)以上各類(lèi)課型，引導(dǎo)學(xué)生從具體的認(rèn)知開(kāi)始，從呈現(xiàn)模型—促進(jìn)模型—提高鞏固模型，不斷遞進(jìn)深入理解分配律的本質(zhì)意義，化解分配律的難點(diǎn)，抓住簡(jiǎn)算的根本是轉(zhuǎn)化原則，培養(yǎng)學(xué)生的簡(jiǎn)算意識(shí)，不但有助于學(xué)生加深對(duì)四則運(yùn)算意義和計(jì)算方法的理解，更能有效提高學(xué)生靈活選擇運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)算的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)也為學(xué)生以后學(xué)習(xí)和探索有關(guān)小數(shù)、分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。比如，五、六年級(jí)時(shí)，小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算實(shí)踐中甚至還會(huì)出現(xiàn)新的變式，增加簡(jiǎn)算難度，如小數(shù)計(jì)算中的小數(shù)點(diǎn)的變化：31.2+3.12×90;分?jǐn)?shù)乘除法中，對(duì)乘除法的互逆變換：18÷+82×等。直到中學(xué)階段的有理數(shù)、實(shí)數(shù)的運(yùn)算，乘法分配律都有著不可估量的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 俞正強(qiáng)，邵曉燕. 追尋厚實(shí)、樸實(shí)的課堂教學(xué)——“乘法分配律”研課歷程[J]. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2013（z1）：52-54.

[2]? 俞軍. 借助幾何直觀(guān)? 促進(jìn)有效建?！浴俺朔ǚ峙渎伞币徽n為例[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（6）.

[3]? 王文英. 結(jié)構(gòu)入手? 認(rèn)識(shí)規(guī)律——從“乘法分配律”的教學(xué)談起[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014（3）.